四年级下册数学试题第八讲高斯求和全国通用无答案.docx

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四年级下册数学试题第八讲高斯求和全国通用无答案

第八讲高斯求和

[同步巩固演练]

1、数列4，7，10，…，295，298中，298是第几项？

2、数列7，15，23，…，799中，799是第几项？

3、从自然数4开始数，每后面一个数比前一个数大1，数到100时，一共数了多少个数？

4、数列的公差是5，第50项是700，首项是多少？

5、求数列1，3，5，7，…的第20项。

6、求数列1，4，7，…的第21项。

7、求数列3，10，17…的第15项。

8、在数列7，10，13，16，…中，907是第几个数？

第907个数是多少？

9、求出下列各题的值：

（1）从1到100的所有单数的和；

（2）从1到100的所有双数的和；

（3）从51到121的所有单数的和。

10、求出0至100（包括0与100）内所有4的倍数所组成的和。

11、自1开始，每隔两个数写出一个数来，得到数列：

1，4，7，10，13，…，求出这个数列前100项之和。

12、自然数中所有三位数之和是多少？

13、一只小虫沿笔直的树干跳着往上行，每跳一次都上升4厘米，它从离地面10厘米处开始跳，如果把这一处称为小虫的第一落脚点，那么它的第100个落脚点正好在树梢，这棵树高多少厘米？

14、如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往一每一层都比它下面一层多放1支，最上面一层是120支，这个V形架上共放着多少支铅笔？

第14题

15、有12个同学聚会，如果见面时每个同学都和其余的人握手1次，那么一共握手多少次？

16、按一定规律排列的算式：

4＋2，5＋8，6＋14，7＋20，…，那么第100个算式是什么？

17、小刚练习口算，他按照自然数的顺序从1开始求和，当加到某个数时，和是1300，在验算时发现，他重复加了一个数，问这个数是多少？

18、把1988表示成28个连续偶数之和，其中最大的偶数是多少？

19、编号为1~9的九个盒中共放有351粒米，已知每个盒子都比前一个盒子多同样粒米，如果1号盒子内放了11粒米，问后面的盒子比前一号的盒子多放几粒米？

[能力拓展平台]

1、七个人的年龄各不相同，和是99岁，其中最大的年龄是18岁，那么最小年龄至少是多少岁？

2、在两位数10，11，…，98，99中，将每个被2除余2的数的个位与十位之间添加一个小数点，其余的数不变，问：

经过这样改变之所，所有数的和是多少？

3、有一列数1，1993，1992，1，1991，1990，1…，从第三个数起，每个数都是它前面两个数中大数减小数的差，求从第一数起到1993个数，这1993个数之和。

4、有10个盒子，44只乒乓球，把这44只乒乓球放到盒子中，能不能使每个盒中的球数都不相同（每个盒子中至少要放一个球）？

5、影剧院共有25排座位，第一排有20个座位，以后每排比前一排多2个座位，最后一排有75个座位，问：

影剧院共有多少个座位？

6、力学小学的礼堂里共有30排座位，从第一排开始，以后每排比前一排多2个座位，最后一排有75个座位，问：

这个礼堂共有多少个座位？

7、7条直线最多能把一个长方形分成多块？

8、如图是一个五边形点阵，中心是一个点为第一层，第二层每边为两个点（五边形顶点处的一个点为相邻两边所公用），第三层每边3个点，第四层每边4个点……其余类推，如果这个五边形点阵共有30层，那么点阵中一共有多少个点？

第8题

9、两条直线相交可得1个交点，在同一平面上6条直线最多可得多少个交点？

10、如图所示为切大饼的示意图，切一刀只有一种切法，切两刀有两种切法，切三刀有4种切法……问切十一刀有多少种切法（规定：

三刀或三刀以下不能切在同一点上，如图所示）？

第10题

11、有11个连续单数的和是1911，这11个数中最小的是多少？

12、下表中30个格子中各有1个数，除最上面一行和最左边一列的格子内已写上数外，其它格子的数等于同一行最左边一个数与同一列最上面一个数之和（例如a=16+19=35），求方格内30个数的和。

10

11

13

15

17

19

12

14

16

a

18

13、盒子里放有1只球，一位魔术师第一次从盒子里将这1只球拿出，变成3只球后放回盒子里；第2次从盒子里拿出2只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里；如此继续下去，最后第10次从盒子里拿出10只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里，这时盒子里共有多少只球？

14、在1~100内所有不能被5或9整除的数的和是多少？

15、已知一串数：

1，2，2，2，3，3，3，3，3，…，试问：

（1）10是这串数中的第几到几个数？

（2）这串数中的第80个数是几？

（3）这串数中前80个数的和是多少？

16、下面方阵中所有数的和是多少。

1900190119021903…1949

1901190219031904…1950

1902190319041905…1951

1903190419051906…1952

：

：

：

：

：

1948194919501951…1997

1949195019511952…1998

17、把所有奇数排列成下面的数表，根据规律，请指出：

①197排在第几行的第几个数？

②第10行的第9个数是多少？

１

３５７

911131517

19212325272931

333537394143454749

……

18、将自然数如下排列，

12671516　…

3581417…

491318…

1012…

11…

…

在这样的排列下，数字3排在第2行第1列，13排在第3行第3列，问：

1993排在第几行第几列？

[全讲综合训练]

1、求0至100内能够被5整除的数的和。

2、50把锁钥搞乱了，为了使每锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？

3、5个连续整数的和为225，求这5个数的第一个数为多少？

4、小张看一本故事书，第一天看了25页，以后每天比前一天多看的页数相同，第25天看了97页刚好看完，问：

这本书共有多少页？

5、已知数列：

2，5，3，3，7，2，5，3，3，7，2，5，3，3，7，…这个数列的第30项是哪个数字？

到第25项止，这些数的和是多少？

6、一个剧场设置了22排座位，第一排有36个座位，往后每排都比前一排多2个座位，这个剧场共有多少个座位？

7、求一切除以4余1的两位数的和是多少？

8、学校进行乒乓球选拨赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行了78场比赛，有多少人参加了选拨赛？

9、时钟每个整点敲该钟点数，每半点敲一下，一昼夜共敲多少下？

10、某小组有10个同学，放假时，握手告别，每两人都握一次，问共握了多少次手？

11、体育课上，同学们玩丢石子的游戏，从A点出发，先走1米放1个石子，再走5米放3个石子，接着走9米放5个石子，再接着走13米放7个石子，…，照此规律，最后到B点时需要放15个石子，问从A到B共有多少米？

12、体育课上，教师让全班45个同学站成一行，小王站在最后，老师让第一个人报1，从第二个人开始，每后一个人都比前一个报的数要多3，小王应报几？

13、求自然数中所有三位数的和。

14、从1开始，每隔两个数写出一个数来，得到数列：

1，4，7，10，13，16，…，求前100个数的和。

15、求从1开始的连续100个单数的和。

16、求数列2，4，6，8，10，…，200的和。

17、连续九个自然数的和为54，则以这九个自然数的末项作为首项的九个连续自然数之和是多少？

18、一堆钢管，最下面一层放137根，每往上一层，钢管就少放一根，最上面一层放一根，这堆钢管多少根？

19、梯子最高的一级宽31厘米，最低一级宽110厘米，中间还有9级，各级的宽度成等差数列，中间一级宽多少厘米？

20、在4与40之间插入哪8个数以后，能使这10个数成为等差数列？

21、三个数成等差数列，它们的和是21，积是91，这三个数是多少？

22、已知等差数列第1项是15，第6项是35，求公差。

23、有5个数组成等差数列，数列中第三个数是5，求这五个数的和。

24、有12个数组成等差数列，第六项与第七项的和是12，求这12个数的和。

25、王师傅3月1日开始用新机器织布，第一天织10米，以后每天都比前一天多织2米，则3月31日那天织了几米？

3月份一共织了多少米？

26、11至18这8个连续自然数的和再加上1992后所得的值恰好等于另外8个连续数的和，这另外8个连续自然数中的最小数是多少？

27、100个连续自然数（按从小到大的顺序排列）的和是8450，取出其中第1个，第3个…第99个，再把剩下的50个数相加，得多少？

28、把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，第1个数与第6个数分别是多少？

29、在1~2000以内的所有自然数中，既不能被8整除，也不能被12整除的数的和是多少？

30、小咪家住在一条胡同里，胡同里的门牌号从1号开始挨着排下去。

小咪将全胡同的门牌号进行口算求和，结果误把1看成了10，得到的错误结果为100，那么实际上全胡同共有多少家？

第八讲高斯求和

[同步巩固演练]

1、99

（290-4）÷3+1=99

2、100

（799-7）÷8+1=100

3、97

（100-4）÷1+1=97

4、455

700-（50-1）×5=455

5、39

1+（20-1）×2=39

6、61

1+（21-1）×3=61

7、101

3+（15-1）×7=101

8、301，2725

（907-7）÷3+1=301，7+（907-1）×3=2725

9、

（1）2500

（2）2550（3）3096

（1）（1+99）×50÷2=2500

（2）（2+100）×50÷2=2550

（3）（51+121）×36÷2=3096

10、1300

4+8+12+…+96+98+100=（4+100）×25÷2=1300

11、14950

第100项为1+（100-1）×3=298，和为（1+298）×100÷2=14950

12、494550

100+101+102+…+999=（100+999）×900÷2=494550

13、406厘米

10+（100-1）×4=406（厘米）

14、7260支

层数为（120-1）÷1+1=120（层），（1+120）×120÷2=7260（支）

15、66次

11+10+…+3+2+1=（1+11）×11÷2=66（次）

16、103+596

第一个加数为4+（100-1）×1=103，第二个加数为2+（100-1）×6=596

17、25

1+2+3+…+50=1275，所以多加的数为1300-1275=25

18、98

（1）利用等差数列的知识求解，设最小的偶数为x，由于这28个连续偶数是公差为2的等差数列，所以最大的偶数，即第28个偶数为x+（28-1）×2=x+54

根据题意，则有（x+x+54）×28÷2=1988

（2x+54）×28÷2=1988

2×（x+27）×28÷2=1988

x+27=1988÷28，即x+27=71得x=71-27，即x=44

所以，最大的偶数是44+（28-1）×2=44+54=98

（2）利用平均数的知识求解

这28个偶数的平均数为1988÷28=71

根据连续的偶数个偶数的特点可知，这28个连续偶数按着由小到大的顺序排列，第15个偶数为71+1=72。

所以第28个偶数，即最大的偶数为72+（14-1）×2=72+26=98

19、7粒

设每个盒子比前面一个盒子多放x粒米，则这9个盒子放和米数依次为：

11，11+x，11+2x，…，11+8x。

根据题意，有：

（11+11+8x）×9÷2=351

（22+8x）×9÷2=351

2×（11+4x）×9÷2=351

11+4x=351÷9即11+4x=39

4x=39-11即4x=28

得x=28÷4

x=7

所以，每个盒子都比前面一个盒子多放7粒米。

[能力拓展平台]

1、6岁

要使最小年龄尽可能小，其余6人的年龄应尺可能大，又最大年龄是18岁，所以余下5个人的年龄应是17，16，15，14，13。

因为18+17+16+15+14+13=（18+13）×6÷2=93，所以最小年龄为99-93=6（岁）

2、4316.4

原来的总和是：

10+11+…98+99=（10+99）×90÷2=4905。

被7除余2的两位数是16，23，30，…，93，共12个数，这些数按题中要求添加小数点后，都变为原数的

，因此使总和减少了：

（16+23+…+93）-（1.6+2.3+…+9.3）

=（16+93）×12÷2-（1.6+9.3）×12÷2

=588.6

所以，经过改变之后，所有数的和是：

4905-588.6=4316.4

3、1766241

我们按下列步骤分析求解：

（1）第1993年数是多少？

我们先把这列数分组，从头开始每3个数一组，即（1，1993，1992），（1，1991，1990），（1，1989，1988），…。

因为1993÷3=664余1，由此可知，由1992个数可分成644组，还剩下一个数，这个数是第655组的第一个数“1”，所以第1993个数是1。

（2）第1992个数是多少？

第1992个数是第664组数的第3个数，观察整个数列我们看到，每组中的第3个数从左至右依次是1992，1990，1988，…，是个逐次少2的等差数列，所以第1992个数是1992-（644-1）×2=666。

（3）这1993个数的和是多少？

这1993个数之和，即数列1，1993，1992；1，1991，1990；1，…，666，1的所有项之和，不难看出，在这个数列中有“1”（644+1）=655个，其余的数依次是1993，1992，1991，1990，…，666。

这是（1993-665）=1328个连续的自然数，利用等差数列求和公式很容易求和。

这1993个数的和为：

1+1993+1992+1+1994+1990+1+…+666+1

=1×665+（1993+666）×1328÷2

=665+2659×664

=665+1765576

=1766241

4、不能

因为1+2+3+…+10=55，55比44大所以不能。

5、1100个

最后一排有20+（25-1）×2=68（个），共有座位（20+68）×25÷2=1100（个）

6、1380个

第一排座位有75-（30-1）×2=17（个），共有座位（17+75）×30÷2=1380（个）

7、29块

1条直线分长方形为1+1=2（块）；2条直线分1+1+2=4（块）；3条直线分1+1+2+3=7（块）；7条直线分1+1+2+3+4+5+6+7=29（块）

8、2176个

第二层有（2-1）×5个点，第三层有（3-1）×5个点，依此类推，30层有（30-1）×5个点，（1+2+3+…+29）×5+1=2176（个）

9、15

二条直线一个交点，三条直线1+2=3个交点，四条直线1+2+3个交点，依次类推，六条直线有1+2+3+4+5=15（个）交点。

10、56种

一刀有1种切法，二刀有1+1种切法，三刀有1+1+2种切法，四刀有1+1+2+3种切法，依此类推，11刀有1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56（种）

11、171

1991÷11=181，181-5×2=171

12、745

（12+14+16+18）×6+（11+13+15+17+19）×5+10=745

13、111只

一只球变3只球，实际上多了2只球。

因为第几次就拿出几个球，所以第1次多了2×1只球，第2次多了2×2只球，…第10次多了2×10只球，总共有1+2×1+2×2+2×3+…2×10=111（只）

14、3541

1~100内所有数的和为5050；1~100内所有5的倍数的和为：

（5+100）×20÷2=1050；1~100内所有9的倍数和为：

（9+99）×11÷2=594；1~100内所45的倍数只有45、90，所其和为135。

因此，1~100内所有不能被5或9整除的数的和为：

5050-1050-594+135=3541。

15、

（1）82到100

（2）9（3）4872500

（1）“9”这组数的个数为1+（9-1）×2=17（个），这串数中前9组数的个数为（1+17）×9÷2=81（个），“10”这组数共有19个，所以10是这串数中第82个到81+19=100（个）

（2）这串数中、前组数的个数为1+3+5+7+9+11+13+15+17=81（个），所以第80个数是9。

（3）前80个数的和为：

1+2×3+3×5+4×7+5×9+6×11+7×13+8×15+9×16=516。

16、4872500

第1行数的和为：

（1900+1949）×50÷2=96225，以后每一行比第1行多50，即：

96225，96225-50，96225+50×2，…，96225+50×49，求和为：

（96225+96225+50×49）×50÷2=4872500。

17、

（1）第10行第18个数，

（2）179

（1）因为197是奇数中的第99个数，1+3+5+7+9+11+13+15+17=81，所以第99个数在第10行99-81=18（个）

（2）第10行的第9个数是奇数中第90个数，它是179。

18、24行40列

不难看出，数表的排列规律如箭头所指，为研究的方便，我们不妨把原因顺时针转动450，就成为三角阵，（如右图），三角阵中，第1行1个数，第2行2个数…第n行就有n个数，设1993在三角阵中的第n行，则：

1+2+3+…+n-1＜1993≤1+2+3+…+n，即：

n×（n-1）÷2＜1993≤n×（n+1）÷2，用试值的方法，可以求出n=63。

又因为1+2+3+…62=1953，即第62行中最大的数为1953，三角阵中，奇数列的数字从左到右，依次增大，又1993-1953=40，所以，1993是三角阵中第63行从左开始数起的第40个数（若从右开始数，则为第24个数）。

把三角阵中与左图比较，可以发现：

①三角阵中每一行从左开始数起的第几个数，就位于左图的第几列。

②三角阵中第一行从右开始数起的第几个数，就位于左图的第几行。

由此，我们可知，1993位于原图的24行40列。

[全讲综合训练]

1、1050

5+10+15+…95+100=1050

2、1225次

49+48+47+46+…+3+2+1=1225（次）

3、43

225÷5=45,45-2=43

4、1525页

（25+97）×25÷2=1525（页）

5、7，100

30÷5=6，所以第30项的数字是7。

（2+5+3+3+7）×25÷5=100

6、1254个

最后一排有座位36+（22-1）×2=78（个），共有座位（36+78）×22÷2=1254（个）

7、1210

被4除余1的两位数有13，17，21，…，97共（97-13）÷4+1=22（个），和为（13+97）×22÷2=1210

8、13人

用尝试法，11个人赛1+2+3+4+…+9+10=55（场）12个人赛55+11=66（场），13个人赛66+12=78（场）

9、180下

把整点敲的加上半点敲的（1+2+3+…+12）×12+1×24=180（下）

10、45次

9+8+7+6+5+4+3+2+1=45（次）

11、120米

先求是第几次丢了15个石子：

（15-1）÷2+1=8，从第7次丢石子到第8次，它们之间的距离是1+（8-1）×4=29（米），所以从A到B共有（1+29）×8÷2=120（米）

12、133

1+（45-1）×3=133

13、494550

100+101+102+…+999=（100+999）×900÷2=494550

14、14950

第100个数是1+（100-1）×3=298，和为（1+298）×100÷2=14950

15、10000

1+3+5+7+…+197+199=（1+199）×100÷2=10000

16、10100

2+4+6+8+…+198+200=（2+200）×100÷2=10100

17、126

连续九个数的首项为54÷9+4=10，末项为10+8=18，和为（10+18）×9÷2=126

18、9453根

层数为（137-1）÷1+1=137（层），共有（137+1）×137÷2=9453（根）

19、71厘米

（32+110）÷2=71（厘米）

20、8，12，16，20，24，28，32，36.

公差（40-4）÷（10-1）=4，所以此数列为4、8、12、16、20、24、28、32、36

21、1、7、13

21÷3=7，91÷7=13，所以三个数是1、7、13

22、4

（35-15）÷（6-1）=4

23、25

5×5=25

24、72

12×（12÷2）=72

25、70米，1240米

10+（31-1）×2=70（米），（10+70）×31÷2=1240（米）

26、260

把1992平均公成8份加在11至18这8个连续自数上。

1992÷8=249，最小数为11+249=260

27、4250

（8450-50）÷2+50=4250

28、15、20、25、30、35、40

210÷7=30，所以是15、20、25、30、35、40

29、1667332

1~2000以内的所有自然数的和为：

1+2+…+2000=（1+2000）×2000÷2=2001000。

能被8整除的数的和为：

8+16+…+2000=（8+2000）×250÷2=251000，

能被12整除的数的和为：

12+24+…+1992=（12+1992）×166÷2=166332

能同时被8、12整除的数的和为：

24+48+72+…+1992=（24+1992）×83÷2=83664

故既不能被8整除，也不能被12整除的数的和为：

2001000-251000-166332+83664=1667332

30、13

100-10+1=91。

设有n家，则根据求和公式：

（1+n）×n÷2=91，解得n=13。