人教版八年级下册第十八章平行四边形单元练习题含答案.docx

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人教版八年级下册第十八章平行四边形单元练习题含答案

第十八章平行四边形

一、选择题

1.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD只需要满足一个条件，是（　　）

A．四边形ABCD是梯形

B．四边形ABCD是菱形

C．对角线AC＝BD

D．AD＝BC

2.下列说法中错误的是（　　）

A．平行四边形的对角线互相平分

B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形

C．矩形的对角线相等

D．有一组邻边相等且有一个角是直角的四边形是正方形

3.如图，平行四边形ABCD的对角线交于坐标原点O.若点A的坐标为（－4,2），则点C坐标为（　　）

A．（4，－2）

B．（4,2）

C．（2，－4）

D．（－2，－4）

4.如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（　　）

A．3cm

B．4cm

C．5cm

D．8cm

5.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（　　）

A．OA＝OC，OB＝OD

B．∠BAD＝∠BCD，AB∥CD

C．AD∥BC，AD＝BC

D．AB＝CD，AO＝CO

6.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC＝20，F是DE上一点，连接AF，CF，DF＝4.若∠AFC＝90°，则BC的长度为（　　）

A．24

B．28

C．20

D．12

7.正方形ABCD中，P、Q分别为BC、CD的中点，则∠CPQ大小为（　　）

A．50°

B．60°

C．45°

D．70°

8.如图，△ABC中，AB＝AC＝15，D在BC边上，DE∥BA于点E，DF∥CA交AB于点F，那么四边形AFDE的周长是（　　）

A．30

B．25

C．20

D．15

二、填空题

9.如图，将平行四边形的ABCD的一边BC延长至点E，若∠A＝110°，则∠DCE＝______.

10.如图，AB＝BC，D在∠ABC外角平分线上，且CD⊥BC，△ABD的面积为12cm2，则△BCD的面积为________cm2.

11.如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB＝6，△OCD的周长为27，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是__________．

12.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：

①AB∥CD；②AD∥BC；③OA＝OC；④OB＝OD，从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有________种．

13.如图，△ABC中，AB＝AC，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC，若DE＝5，AE＝8，则BC的长度为____________．

14.一根8米长的铜丝围成一个平行四边形，使长边和短边的比是5∶3，则长边的长是____________米．

15.如图，在△ABC中，D、E、F分别是各边的中点，AH是高，∠DHF＝50°，∠DAF＝________°.

16.如图，点P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，过点P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E、F，连接EF，下列结论①△FPD是等腰直角三角形；②AP＝EF；③AD＝PD；④∠PFE＝∠BAP，其中正确的结论是____________（请填序号）

三、解答题

17.在▱ABCD中，E为BC边的中点，连接DE并延长，交AB边的延长线于点F.

（1）如图1，求证：

BF＝AB；

（2）如图2，G是AB边的中点，连接DG并延长，交CB边的延长线于点H，若四边形ABCD为菱形，试判断∠H与∠F的大小，并证明你的结论．

18.如图，BM、CN分别平分△ABC的外角∠ABD、∠ACE，过A分别作BM、CN的垂线，垂足分别为M、N，交CB、BC的延长线于D、E，连接MN.

求证：

MN＝

（AB＋BC＋AC）．

19.如图，△ABC中，AB＝AC，E、F分别是BC、AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC.

（1）求证：

FE＝FD；

（2）若∠CAD＝∠CAB＝24°，求∠EDF的度数．

20.小红同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图1所示的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．

（1）在方框中填空，以补全已知求证；

（2）按图2中小红的想法写出证明；

（3）用文字叙述所证命题的逆命题为____________________．

21.如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.

（1）判断OE与OF的大小关系？

并说明理由；

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？

并说出你的理由；

（3）在

（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形．直接写出答案，不需说明理由．

22.如图，四边形ABCD是平行四边形，BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线，且与对角线AC分别相交于点E、F.

（1）求证：

AE＝CF；

（2）连接ED、FB，判断四边形BEDF是否是平行四边形，说明理由．

答案解析

1.【答案】D

【解析】∵在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，

∴EF∥AD，HG∥AD，

∴EF∥HG；

同理，HE∥GF，

∴四边形EFGH是平行四边形；

A．若四边形ABCD是梯形时，AD≠CD，则GH≠FE，这与平行四边形EFGH的对边GH＝FE相矛盾；故本选项错误；

B．若四边形ABCD是菱形时，点EFGH四点共线；故本选项错误；

C．若对角线AC＝BD时，四边形ABCD可能是等腰梯形，证明同A选项；故本选项错误；

D．当AD＝BC时，GH＝GF；所以平行四边形EFGH是菱形；故本选项正确；

故选D.

2.【答案】D

【解析】A.对角线互相平分是平行四边形的一条重要性质，故该选项正确；

B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形，这是平行四边形的定义，故该选项正确；

C．矩形的对角线相等，是矩形的重要性质，故该选项正确；

D．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，而不是一般的四边形，故该选项错误．

故选D.

3.【答案】A

【解析】如图所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，对角线交于原点O，

∴点A与点C关于原点O对称，

∵点A（－4,2），

∴点C（4，－2）．

故选A.

4.【答案】B

【解析】∵▱ABCD的周长为26cm，

∴AB＋AD＝13cm，OB＝OD，

∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，

∴（OA＋OD＋AD）－（OA＋OB＋AB）＝AD－AB＝3cm，

∴AB＝5cm，AD＝8cm.

∴BC＝AD＝8cm.

∵AC⊥AB，E是BC中点，

∴AE＝

BC＝4cm；

故选B.

5.【答案】D

【解析】A.根据对角线互相平分，可得四边形是平行四边形，故此选项可以证明四边形ABCD是平行四边形；

B．根据AB∥CD可得：

∠ABC＋∠BCD＝180°，∠BAD＋∠ADC＝180°，又由∠BAD＝∠BCD可得：

∠ABC＝∠ADC，根据两组对角对应相等的四边形是平行四边形可以判定；

C．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可以证明四边形ABCD是平行四边形；

D．AB＝CD，AO＝CO不能证明四边形ABCD是平行四边形．

故选D.

6.【答案】B

【解析】如题图，∵∠AFC＝90°，AE＝CE，AC＝20，

∴EF＝

AC＝10，

又DF＝4，

∴DE＝4＋10＝14；

∵D，E分别是AB，AC的中点，

∴DE为△ABC的中位线，

∴BC＝2DE＝28，

故选B.

7.【答案】C

【解析】∵四边形ABCD为正方形，

∴BA＝DA＝BC＝CD，

∵P、Q分别为BC、CD的中点，

∴DQ＝BP，

∴CP＝CQ，

∵∠C＝90°，

∴∠CPQ＝45°，

故选C.

8.【答案】A

【解析】∵AB＝AC＝15，∴∠B＝∠C，

由DF∥AC，得∠FDB＝∠C＝∠B，

∴FD＝FB，

同理，得DE＝EC.

∴四边形AFDE的周长＝AF＋AE＋FD＋DE

＝AF＋FB＋AE＋EC

＝AB＋AC

＝15＋15＝30.

故选A.

9.【答案】70°

【解析】∵平行四边形ABCD的∠A＝110°，

∴∠BCD＝∠A＝110°，

∴∠DCE＝180°－∠BCD＝180°－110°＝70°.

10.【答案】12

【解析】过D作DE⊥AB于E，

∵D在∠ABC外角平分线上，且CD⊥BC，

∴DC＝DE，

∵△BCD的面积为

BC·DC，△ABD的面积为

AB·DE，

又∵AB＝BC，

∴△BCD的面积与△ABD的面积相等为12cm2.

故答案为12cm2.

11.【答案】42

【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD＝6，

∵△OCD的周长为27，

∴OD＋OC＝27－6＝21，

∵BD＝2DO，AC＝2OC，

∴平行四边形ABCD的两条对角线的和＝BD＋AC＝2（DO＋OC）＝42.

12.【答案】6

【解析】任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有①②；③④；①③；①④；②③；②④.

13.【答案】2

【解析】∵BE⊥AC，

∴∠AEB＝90°，

∵D为AB中点，

∴AB＝2DE＝2×5＝10，

∵AE＝8，

∴BE＝

＝6.

∴BC＝

＝

＝2

，

14.【答案】2.5

【解析】设长边和短边长分别为5xm,3xm，

∴2（5x＋3x）＝8，

解得x＝0.5，

∴长边的长是2.5米．

15.【答案】50

【解析】如图．∵AH⊥BC于H，

又∵D为AB的中点，

∴DH＝

AB＝AD，

∴∠1＝∠2，

同理可证：

∠3＝∠4，

∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，

即∠DHF＝∠DAF，

∵∠DHF＝50°，

∴∠DAF＝50°；

16.【答案】①②④

【解析】如图，

∵P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，

∴PA＝PC，∠C＝90°，

∵过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD，

∴∠PEC＝∠DFP＝∠PFC＝∠C＝90°，

∴四边形PECF是矩形，

∴PC＝EF，

∴PA＝EF，故②正确，

∵BD是正方形ABCD的对角线，

∴∠ABD＝∠BDC＝∠DBC＝45°，

∵∠PFC＝∠C＝90°，

∴PF∥BC，

∴∠DPF＝45°，

∵∠DFP＝90°，

∴△FPD是等腰直角三角形，故①正确，

在△PAB和△PCB中，

，

∴△PAB≌△PCB，

∴∠BAP＝∠BCP，

在矩形PECF中，∠PFE＝∠FPC＝∠BCP，

∴∠PFE＝∠BAP.故④正确，

∵点P是正方形对角线BD上任意一点，

∴AD不一定等于PD，

只有∠BAP＝22.5°时，AD＝PD，故③错误，

17.【答案】

（1）证明　∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC＝AB，DC∥AB，

∴∠C＝∠EBF，∠CDE＝∠F，

又∵E是CB的中点，

∴CE＝BE，

在△CDE和△BFE中，

∴△CDE≌△BFE（AAS），

∴BF＝DC，

∴BF＝AB；

（2）解∠F＝∠H，

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥CB，

∴∠ADH＝∠H，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝DC＝CB＝AB，∠A＝∠C，

∵E、G分别是CB、AB的中点，

∴AG＝CE，

在△ADG和△CDE中，

∴△ADG≌△CDE（SAS），

∴∠CDE＝∠ADG，

∴∠H＝∠F.

【解析】

（1）根据平行四边形性质推出DC＝AB，DC∥AB，得出∠C＝∠EBF，∠CDE＝∠F，根据AAS证△CDE≌△BFE即可；

（2）根据菱形的性质推出AD＝CD，AG＝CE，∠A＝∠C，推出△ADG≌△CDE，得出∠CDE＝∠ADG，根据平行线性质推出∠CDE＝∠F，∠ADH＝∠H，即可得到答案．

18.【答案】证明　∵AM⊥BM，

∴∠AMB＝∠DMB＝90°，

∵BM平分∠ABD，

∴∠ABM＝∠DBM，

在△ABM与△DBM中，

∠AMB＝∠DMB，

BM＝BM，

∠ABM＝∠DBM，

∴△ABM≌△DBM（ASA），

∴AB＝DB，AM＝DM，

同理：

AN＝EN，AC＝CE，

∴MN＝

DE＝

（DB＋BC＋CE）＝

（AB＋BC＋AC）．

【解析】首先通过△ABM≌△DBM，得到AB＝DB，AM＝DM，同理：

AN＝EN，AC＝CE，再根据三角形的中位线定理即可得到结果．

19.【答案】

（1）证明　∵E、F分别是BC、AC的中点，

∴FE＝

AB，

∵F是AC的中点，∠ADC＝90°，

∴FD＝

AC，

∵AB＝AC，

∴FE＝FD；

（2）解　∵E、F分别是BC、AC的中点，

∴FE∥AB，

∴∠EFC＝∠BAC＝24°，

∵F是AC的中点，∠ADC＝90°，

∴FD＝AF.

∴∠ADF＝∠DAF＝24°，

∴∠DFC＝48°，

∴∠EFD＝72°，

∵FE＝FD，

∴∠FED＝∠EDF＝54°.

【解析】

（1）根据三角形的中位线定理得到FE＝

AB，根据直角三角形的性质得到FD＝

AC，等量代换即可；

（2）根据平行线的性质得到∠EFC＝∠BAC＝24°，根据直角三角形的性质得到∠DFC＝48°，根据等腰三角形的性质计算即可．

20.【答案】

（1）解　已知：

如图1，在四边形ABCD中，BC＝AD，AB＝CD

求证：

四边形ABCD是平行四边形，

故答案为CD，平行；

（2）证明　连接BD，

在△ABD和△CDB中，

∴△ABD≌△CDB（SSS）

∴∠ADB＝∠DBC，∠ABD＝∠CDB，

∴AB∥CD，AD∥CB，

∴四边形ABCD是平行四边形；

（3）用文字叙述所证命题的逆命题为：

平行四边形两组对边分别相等．

故答案为平行四边形两组对边分别相等．

【解析】

（1）命题的题设为“两组对边分别相等的四边形”，结论是“是平行四边形”，根据题设可得已知：

在四边形ABCD中，BC＝AD，AB＝CD，求证：

四边形ABCD是平行四边形；

（2）连接BD，利用SSS定理证明△ABD≌△CDB可得∠ADB＝∠DBC，∠ABD＝∠CDB，进而可得AB∥CD，AD∥CB，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形；

（3）把命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的题设和结论对换可得平行四边形两组对边分别相等．

21.【答案】解　

（1）∵MN∥BC，

∴∠OEC＝∠ECB，

∵CE平分∠ACB，

∴∠ACE＝∠ECB，

∴∠OEC＝∠ACE，

∴OE＝OC，

同理可得：

OC＝OF，

∴OE＝OF；

（2）当O为AC中点时，四边形AECF是矩形；

理由如下：

∵OA＝OC，OE＝OF（已证），

∴四边形AECF是平行四边形，

∵EC平分∠ACB，CF平分∠ACG，

∴∠ACE＝

∠ACB，∠ACF＝

∠ACG，

∴∠ACE＋∠ACF＝

（∠ACB＋∠ACG）＝

×180°＝90°，

即∠ECF＝90°，

∴四边形AECF是矩形；

（3）当△ABC是直角三角形时，即当∠ACB＝90°时，四边形AECF是正方形；

理由：

由

（2）得，当点O为AC的中点时，四边形AECF是矩形，

∵∠ACB＝90°，CE平分∠ACB，

∴∠ACE＝∠ECB＝45°，

∴∠OEC＝∠ECB＝45°，

∴∠EOC＝90°，

∴AC⊥EF，

∴四边形AECF是正方形．

【解析】

（1）利用平行线的性质，得∠OEC＝∠ECB，根据角平分线的定义可知：

∠ACE＝∠ECB，由等量代换和等角对等边，得OE＝OC，同理：

OC＝OF，可得结论；

（2）先根据对角线互相平分证明四边形AECF是平行四边形，再由角平分线可得：

∠ECF＝90°，利用有一个角是直角的平行四边形可得结论；

（3）由

（2）可知，当点O为AC的中点时，四边形AECF是矩形，再证明AC⊥EF，即可得出答案．

22.【答案】

（1）证明　∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，∠ABC＝∠CDA，AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，

∵BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线，

∴∠ABE＝

∠ABC，∠CDF＝

∠ADC，

∴∠ABE＝∠CDF，

∴△ABE≌△CDF（ASA），

∴AE＝CF；

（2）解　是平行四边形；

连接BD交AC于O，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO＝CO，BO＝DO

∵AE＝CF，

∴AO－AE＝CO－CF.

即EO＝FO.

∴四边形BEDF为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．

【解析】

（1）根据角平分线的性质先得出∠BEC＝∠DFA，然后再证∠ACB＝∠CAD，再证出△ABE≌△CDF，从而得出AE＝CF；

（2）连接BD交AC于O，则可知OB＝OD，OA＝OC，又AE＝CF，所以OE＝OF，然后依据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明．