北师大版九年级上册反比例函数的图象和性质教案.docx

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北师大版九年级上册反比例函数的图象和性质教案

课题：

反比例函数的图象和性质

授课教师：

河南省开封市求实中学曹鑫磊

教材：

北师大版数学九年级上册第五章第二节

一、教材分析

（一）教材的地位和作用

本节课是在学习了一次函数的图象、性质和反比例函数概念的基础上，并掌握了研究函数的一般方法后，来研究反比例函数的图象和性质。

反比例函数是初中阶段研究的第二个具体函数，也是学生学习的第一种非线型函数。

它的研究方法更具有一般性和代表性，可为以后学习二次函数及其它函数打下坚实的基础。

所以，本节课在整个教材中有承上启下的作用。

（二）教学重点与难点

教学重点：

反比例函数的图象和性质；

教学难点：

反比例函数的图象特点及性质的探究。

二、教学目标

（一）知识目标：

1、进一步熟悉作函数图象的步骤，会作反比例函数的图象，并由图象归纳概括出反比例函数的性质。

2、体会函数的三种表示方法及相互转换，对函数进行认识上的整合，提升学生对数形结合思想的认识。

（二）能力目标：

培养与发展学生的探究能力，提高从图形中提取有效信息的能力，训练观察与分析、归纳与概括的能力。

（三）情感目标：

通过对反比例函数图象的探究，体现数学的直观形象美，激发学生兴趣，增强学生对数学学习的好奇心和求知欲。

三、教法学法

针对九年级学生的心理特点和年龄特征及现有的知识水平，本节课我准备采用激发诱导、探索交流、讲练结合三位一体的教学方式，充分体现老师的主导作用和学生的主体地位。

通过“设疑——讨论、探索——解惑”的过程，再加上多媒体手段的应用，最大限度的调动学生的积极性和主动性。

根据学生的认知规律，在学法上，通过学生动手、动口、动脑，采用自主、合作、探究的学习方法，提高学生解决问题的能力。

教具准备：

多媒体，坐标纸。

四、教学过程

教学过程分为六个环节。

教学环节

教师活动

学生活动

设计说明

（一）

创

设

情

景

以

旧

探

新

1、创设情景，复习旧知

（多媒体创设情景：

图片及问题）：

长方形的一边长为4，面积y和另一边长x之间有什么关系？

此函数的图象是什么样子的？

如何画出它的图象呢？

2、设疑激情，导入新课

（多媒体展示第二个问题）：

如果长方形的面积为4，一边长x和另一边长y之间又有什么关系呢？

华罗庚教授曾深刻指出：

“数无形，少直观；形无数，难入微”那么，请同学们想一想，此函数的图象还是不是直线呢？

这就需要我们动手去做一做，才能得出结论，本节课就让我们一起来实践吧。

y=4x

y是x的正比例函数。

经过圆点的一条直线。

过原点（0，0）和（1，4）两点作一条直线，就是它的图象。

xy=4即y=4/x，

y是x的反比例函数。

同学们思考、猜想。

通过对正比例函数及其图象的复习，为引入反比例函数的图象作铺垫，做到自然过渡，完成由正比例函数到反比例函数的知识迁移，从而引出课题。

（二）

尝

试

发

现

探

索

新

知

1、画反比例函数的图象

同学们还记得作函数图象的步骤吗？

下面请同学们试着作出反比例函数y=4/x的图象。

（巡视、指导）

列表，描点，连线。

学生动手画图。

因为学生初次遇到非线性函数的图象，而且反比例函数的图象是由断开的两支曲线组成，因此，在作图过程中，我给学生充足的思考和交流时间。

教学环节

教师活动

学生活动

设计说明

（二）

尝

试

发

现

探

索

新

知

（选具有代表性的几位同学的作品用投影展示）

现在出现四种不同类型图象，请同学们认真观察、分析，他们画的都正确吗？

如果不正确，请指出错在哪里？

（对学生的回答予以恰当的指导并鼓励表扬）

（多媒体演示正确画法：

列表、描点、连线）

议一议：

你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题？

图象可能与坐标轴相交吗？

为什么？

与同伴进行交流。

（学生容易总结出：

1、在列表时，自变量的取值应取绝对值相等而符号相反时的一对一对的数值，这样既可以简化计算，又便于描点；

2、列表、描点时，要尽量多取一些数值，多描一些点，这样方便连线；

观察、思考。

合作交流，分组讨论。

派代表回答。

思考、交流、回答。

通过展示几种典型的错误作图，引导学生交流讨论，分析并发现问题、归纳总结出作反比例函数图象时要特别注意的几个问题。

这样设计，通过自我尝试、发现问题、纠正错误的过程，以及学生自主探究、合作交流、反馈评价，培养学生团结协作的情感和勇于探索、创新的精神；而生动形象的多媒体表现形式，更激发了学生对数学的好奇心和求知欲，增强学生对数学的兴趣。

。

通过设置图象与坐标轴能否相交的问题,加深了学生对反比例函数的记忆，培养了学生思维的灵活性和深刻性。

教学环节

教师活动

学生活动

设计说明

（二）

尝

试

发

现

探

索

新

知

3、在连线时要用“光滑”的曲线，不能用折线。

4、图象具有无限延伸性，但不与坐标轴相交。

（多媒体汇总出4条注意事项）

做一做

请同学们动手用同样的方法作反比例函数y=-4/x的图象。

（多媒体演示正确图象，让学生对照参考）

想一想

上面是函数y=4/x和y=-4/x的图象，请大家对比着探索他们的异同点？

（根据学生回答情况，引导归纳出：

1、反比例函数y=k/x的图象是由两支曲线组成的，并指出这两支曲线称为双曲线。

2、反比例函数y=4/x的图象位于第一、三象限内，而y=-4/x的图象位于第二、四象限内）

2、应用拓展，加深理解

提出问题：

同学们再仔细观察、思考一下，每个函数的图象，是否为对称图形？

（多媒体动画演示：

反比例函数的轴对称性和中心对称性）

学生独立完成。

观察回答。

感悟、思考。

通过对反比例函数图象的观察、分析、归纳，初步感知双曲线的特征，为下一步总结反比例函数的性质埋下伏笔。

多媒体演示，既增强了直观性，同时也使同学们从中感悟图形美。

教学环节

教师活动

学生活动

设计说明

（三）

师

生

互

动

层

层

深

入

看一看，找一找

（多媒体展示）

观察反比例函数y=2/x,y=4/x,

y=6/x,y=-2/x,y=-4/x,y=-6/x的图象：

你能发现什么共同特征吗？

（1）函数图象分别位于哪几个象限内？

（2）在每一个象限内，随着x的增大，y的值是怎样变化的？

你能说说这是为什么吗？

（巡视、指导）

（根据回答情况，及时鼓励表扬）

想一想，试一试

通过对以上问题的探讨，你能总结出反比例函数y=k/x（k≠0）的图象都有哪些性质吗？

（多媒体表格和文字式展示性质）

反比例函数y=k/x，当k>0时，图象位于第一、三象限，在每一象限内，y的值x值的增大而减小；当k<0时，图象位于第二、四象限，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大。

观察分析，合作交流，分组讨论。

小组代表发言。

通过学生对问题

（1）和

（2）的探索、交流、归纳，概括出反比例函数的性质。

通过学生经历对反比例函数的探索，开动脑筋，发现规律。

既梳理了学生的思维，又极大的活跃了课堂气氛，使学生在轻松愉快的探索、交流、合作过程中，自然而然的掌握了反比例函数的图象和性质。

教学环节

教师活动

学生活动

设计说明

（四）

强

化

新

知

巩

固

提

高

随堂练习，反馈评价

（多媒体出示习题）

1、下列函数中，其图象图象第一、三象限的有_______；在其图象所在象限内，y的值随x值的增大而增大的有__________.

（1）y=1/2x

（2）y=0.3/x

（3）y=10/x（4）y=-7/100x

2、若y=（a-1）xa是反比例函数，则它的解析式为________,它的图象在第_______象限，在图象所在的每一象限内，y随x的增大而_________.

变式训练，启迪创新

若点A（7,y1），点B（5,y2）在双曲线y=2/x上，则y1与y2的大小关系是_______.

在此基础上做变式训练。

（1）若A（-7,y1），点B（-5,y2）呢？

同一象限按增减，跨越象限怎么办？

（2）若A（7,y1），点B（-5,y2）呢？

（3）若A（-7,y1），点B（5,y2）呢？

（巡视学生做题情况，注意纠正带有倾向性的问题）

动手练习。

这几个练习由浅入深、由易到难，使学生进一步巩固和理解反比例函数的图象及性质。

根据学生所做情况，发现问题，及时纠正。

变式训练的设计，从不同的角度对本节课的知识进行巩固，使学生能举一反三、触类旁通。

（五）

反

思

小

结

系

统

升

华

学生自主总结，畅谈体会和收获：

本节课——

我学会了……

使我感触最深的是……

我感到收获最大的是……

我最值得学习的同学是……

结合学生所述，教师给予指导，对学生的发言及时鼓励；同时用多媒体展示出正比例函数和反比例函数的系统对照表格。

学生围绕自身感触最大的方面畅谈体会，以获得情感、态度、价值观的升华。

以此促进师生心灵的交流，对自己清醒的认识和总结，必然促进自主学习，获得可持续发展的动力。

教学环节

教师活动

学生活动

设计说明

（五）

反

思

小

结

系

统

升

华

（多媒体展示表格）

正比例函数与反比例函数的对比

函数

正比例函数

反比例函数

图象

解析式

y=kx（k≠0）

y=k/x（k≠0）

自变量取值范围

全体实数

x≠0的一切实数

图象的位置

k>0时,在一、三象限

k>0时,在一、三象限

k<0时,在二、四象限

k<0时,在二、四象限

性质

k>0时,y随x增大而增大

k>0时,y随x增大而减小

k<0时,y随x增大而减小

k<0时,y随x增大而增大

观察、理解、记忆。

通过对比使学生能把学过的相关知识有机地串联起来，有利于理解、记忆和应用。

（六）

布

置

作

业

应

用

新

知

1、必做题：

（1）在同一坐标系中，作出函数y=1/x，y=-1/x的图象；

（2）反比例函数y=6/x上有两点A（x1,y1）和B（x2,y2）若x1

2、选做题：

在反比例函数y=（-a2-1）/x（a为常数）的图象上有A（-3,y1）,B（-1,y2）,C（2,y3）三点，则函数值y1、y2、y3的大小关系是________。

3、探索题：

在一个反比例函数图象上任取两点P、Q，过点P分别作x轴y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，过点Q分别作x轴y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2，那么S1与S2有什么关系？

为什么？

课后有选择的完成

分层布置作业，一是必作题，促进知识的巩固；二是选作题，提高学生思维的深度及广度；三是探索题，进一步培养学生的发散思维，为下节课学习打下铺垫、埋下伏笔。

五、设计说明

本节课通过学生自主探索、合作交流，以认知规律为主线，以发展能力为目标，以从直观感受到分析归纳为手段，培养学生的合情推理能力和积极的情感态度，促进良好的数学观的形成。

在教学手段上，本节课大量使用多媒体辅助教学，既能体现知识的背景材料，又能一下子引起学生的注意力，有效地节省了时间，增大了课堂容量。

生动形象的动画演示，动感强、直观性好，既加深了学生的理解，又培养了学生的抽象思维能力，同时也向学生渗透了归纳类比、数形结合的数学思想方法。

在教学过程中，采用开放性的课堂研究形式，给学生广阔的思维空间，培养学生自己发现问题、解决问题的能力，特别是课堂上的变式训练，更激发了学生对学习的挑战意识。

教师始终是学生学习的引导者，学生是以研究者、探索者的角色出现在教学过程中，主体地位得到充分体现，这样使得教学过程成为一个再发现、再创造的认识过程。

古人云：

“授人鱼，不如授人以渔”因此在教学设计中重视学法渗透，自然地把学习方法结合知识传授给学生，让同学们明白，在数学王国里，成功和机遇永远属于那些勤于思考、勇于探索的人。

说课设计

北师大版数学九年级上册第五章第二节

反比例函数的图象和性质

河南省开封市求实中学曹鑫磊