g′=（mg-Eq）/m．因此在最高点的临界速度vB=
=
由动能定理得：
mg′·2R=
mvA2-
mvA2
整理得：
（2）若qE>mg，则等效重力场的方向向上，等效重力加速度：
g′=（Eq-mg）/m．在该等效重力场中小球轨迹“最高点”（实际为问题中的最低点——即A点）的临界速度
vB=
=
（3）若qE=mg，则等效重力场消失，小球在竖直面内做匀速圆周运动，能使小球做完整圆周运动的条件是vB>0。
该类题的关键是求出等效重力mg′，找出等效重力场中的“等效最高点”——物理最高点，在“等效最高点”的速度v′=
类型一水平面内的临界问题
【例1】如图所示，两绳系一个质量为m=0．1kg的小球。
两绳的另一端分别固定于轴的A、B两处，上面绳长L=2m，两绳都拉直时与轴夹角分别为300和450。
问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧?
（g取10m/s2）
导示:
两绳张紧时，小球受力如图所示。
当ω由O逐渐增大时，ω可能出现两个临界值。
（1）BC恰好拉直，但F2仍然为零，设此时的角速
度为ω1，则有
Fx=Fsin300=mω12Lsin300
Fy=Fcos300-mg=O
代入数据得，ω1=2.40rad/s
（2）AC由拉紧转为恰好拉直，但F1已为零，设此时的角速度ω2，则有
Fx=F2sin450=mω22Lsin300
Fy=F2cos450-mg=O
代入数据得，ω2=3.16rad/s
答案：
2.40rad/s≤ω≤3.16rad/s
1、要会用极限分析法判定物体可能处的状态，进而正确受力分析。
2、要注意确定物体做圆周运动的圆心和半径。
3、只要物体做圆周运动．在任何一个位置和状态．都满足F供=F需建立该动力关系方程是解决圆周运动问题的基本方法。
类型二圆周运动中有关连接体的临界问题
【例2】如图所示，匀速转动的水平圆盘上，放有质量均为m的小物体A、B，A、B间用细线沿半径方向相连，它们到转轴距离分别为RA=20cm，RB=30cm。
A、B与盘面间的最大静摩擦力均为重力的0.4倍，试求：
（1）当细线上开始出现张力时，圆盘的角速度ω0；
（2）当A开始滑动时，圆盘的角速度ω；
（3）当即将滑动时，烧断细线，A、B状态如何?
导示:
（1）当细线上开始出现张力时，表明B与盘间的静摩擦力已达到最大，设此时圆盘角速度为ω0，则是kmg=mrBω02
解得：
=3.7rad/s
（2）当A开始滑动时，表明A与盘的静摩擦力也已达到最大，设此时盘转动角速度为ω，线上拉力为FT则，对A：
FfAm-FT=mrAω2
对B：
FfBm+FT=mrBω2
又：
FfAm=FfBm=kmg
解得ω=4rad/s。
（3）烧断细线，A与盘间的静摩擦力减小，继续随盘做半径为rA=20cm的圆周运动，而B由于FfBm不足以提供必要的向心力而做离心运动。
答案：
（1）3.7rad/s
（2）4rad/s（3）A做圆周运动，B做离心运动
1、利用极限分析法的“放大”思想分析临界状态。
认清临界情景和条件，建立临界关系是解决此类问题的关键。
2、圆周运动中的连接体加速度一般不同，所以，解决这类连接体的动力学问题时一般用隔离法。
但也可用整体法来求解。
1．（07届广东省惠阳市综合测试卷三）铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的，弯道处要求外轨比内轨高，其内轨高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道上行驶的速率。
下表中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之相应的轨道的高度差h。
弯道半径r/m
660
330
220
165
132
110
内外轨高度h/m
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
（1）根据表中数据，试导出h与r关系的表达式，并求出当r=400m时，h的设计值。
（2）铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内外轨道均不向车轮施加侧面压力，又已知我国铁路内外轨的距离设计值为L=1.435m，结合表中数据，求出我国火车的转弯速率v（路轨倾角α很小时，tgα≈sinα）。
（3）随着人们的生活节奏加快，对交通运输的快捷提出了更高的要求，为了提高运输能力，国家对铁路不断进行提速改造，这就要求铁路转弯速率也需提高，请根据上述高处原理和上表分析，提速时应采取怎样的有效措施？
（g取9.8m/s2）
2．（东台市2008届第一次调研）一内壁光滑的环形细圆管，固定于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多）．在圆管中有两个直径略小于细管内径相同的小球（可视为质点）．A球的质量为m1，B球的质量为m2．它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0．设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，重力加速度用g表示．
（1）若此时B球恰好对轨道无压力，题中相关物理量满足何种关系？
（2）若此时两球作用于圆管的合力为零，题中各物理量满足何种关系？
（3）若m1=m2=m，试证明此时A、B两小球作用于圆管的合力大小为6mg，方向竖直向下．
答案：
1、
（1）0.075m；
（2）v=15m；（3）提速时应采取的有效措施是增大弯道半径r和内外轨高度差h；
2、
（1）v02=4gR；
（2）
；（3）A球受管的支持力为FA，方向竖直向上；设B球受管的弹力为FB，取竖直向上为FB的正方向，根据牛顿第二定律
又
两球受圆管的合力F合=FA+BB，方向竖直向上，联立以上各式得F合=6mg，方向竖直向上，根据牛顿第三定律，A、B两小球对轨道作用力的合力大小为6mg，方向竖直向下。
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