高考试题数学文江苏版解析版.docx
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高考试题数学文江苏版解析版
绝密★启用前
2010年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学I试题
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1•本试卷共4页，包含填空题（第1题一一第14题）、解答题（第15题一一第20题）。
本卷满分160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。
2•答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3•请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4•请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。
作答必须用0.5
毫米黑色墨水的签字笔。
请注意字体工整，笔迹清楚。
5•如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
6•请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。
参考公式:
1
锥体的体积公式：
V锥体=Sh，其中S是锥体的底面积，h是高。
3
一、填空题：
本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应的位置
上.
2
1、设集合A={-1,1,3},B={a+2,a+4},AnB={3}，则实数a=_▲_.
［解析］考查集合的运算推理。
3B,a+2=3,a=1.
2、设复数z满足z（2-3i）=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为.
［解析］考查复数运算、模的性质。
z（2-3i）=2（3+2i）,2-3i与3+2i的模相等，z的模为2。
3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的
概率是▲.
［解析］考查古典概型知识。
2
4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取
了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间［5,40］中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有▲根在棉花纤维的长度小于20mm。
［解析］考查频率分布直方图的知识。
100X（0.001+0.001+0.004）X5=30
5、设函数f（x）=x（ex+ae-x）（x€R）是偶函数，则实数a=▲
［解析］考查函数的奇偶性的知识。
g（x）=ex+ae-x为奇函数，由g（0）=0，得a=—1。
6、在平面直角坐标系
22
xOy中，双曲线—-1上一点M，点M的横坐标是3,则M到双
412
曲线右焦点的距离是▲
［解析］考查双曲线的定义。
理匚必=：
4=：
2,d为点M到右准线X=：
1的距离，d=2,MF=4o
d2
7、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是▲
［解析］考查流程图理解。
1•2•22•||1•24=31：
：
：
33,输出^122^12^63。
22
8、函数y=x（x>0）的图像在点（ak,ak）处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16,
贝Ha1+a3+a5=▲
［解析］考查函数的切线方程、数列的通项。
在点（ak,ak2）处的切线方程为：
y-ak2二2ak（x-ak）,当y=0时，解得x=玉,
2
所以ak彳=鱼，aa3a5=1641=21。
2
..22一^
9、在平面直角坐标系xOy中，已知圆xy=4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距
离为1，则实数c的取值范围是▲来源
［解析］考查圆与直线的位置关系。
圆半径为2,
|c|
圆心（0,0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1,1,c的取值范围是（-13,13）。
13
10、定义在区间0,—上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P,过点P作PP1
I2丿
丄x轴于点P1,直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为▲。
［解析］考查三角函数的图象、数形结合思想。
线段P1P2的长即为sinx的值，
22
且其中的x满足6cosx=5tanx,解得sinx=。
线段P1F2的长为一
33
11、已知函数f（x）=』xTxR,则满足不等式f（1—X2）Af（2x）的x的范围是▲
|1，xcO
［解析］考查分段函数的单调性。
^（_1j2_1）
1_X2>0一，
3
则均的最大值是
4
y
2
12、设实数x,y满足3wxy2w8,4<—w9,
y
［解析］考查不等式的基本性质，等价转化思想。
Cnc
+
Aab
baa
13、在锐角三角形ABC,A、B、C的对边分别为a、b、c,6cosC，贝U
aba
▲。
［解析］考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。
一题多解。
（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。
14、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记
［解析］考查函数中的建模应用，等价转化思想。
一题多解。
132
故当x时，S的最小值是一''
33
（方法二）禾U用函数的方法求最小值。
二、解答题：
本大题共
6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明或演算步骤.
15、（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，点A（-1,-2）、B（2,3）、C（-2,—1）。
（1）求以线段ABAC为邻边的平行四边形两条对角线的长;
⑵设实数t满足（AB-tOC）•OC=0,求t的值。
满分14分。
［解析］本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。
（1）（方法一）由题设知AB=（3,5）,AC=（-1,1），贝U
ABAC二（2,6）,AB-AC二（4,4）.
所以|ABACh210,|AB-ACF4运
故所求的两条对角线的长分别为4、_2、210。
（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D,两条对角线的交点为E,则:
E为B、C的中点，E（0，1）
又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）
故所求的两条对角线的长分别为BC=4.2、AD=2.10；
（2）由题设知：
OC=（-2,—1）,A^-tOC=（32t,5t）。
由（AB-tOC）•OC=0,得：
（32t,5t）（-2,-1）=0,
从而5t
--11,所以t--
11
5
或者:
ABOC二tOC,
O
|OC|
AB=（3,5）,t二
11
5
16、（本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD中,
//DC,/BCD=9（5）o
（1）求证：
PC丄BC;
⑵求点A到平面PBC的距离。
［解析］本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。
满分14分。
（1）证明：
因为PD丄平面ABCDBC平面ABCD,所以PD丄BC。
由/BCD=90*，得CD丄BC,
又PD门DC=D,PD、DC二平面PCD,
所以BC丄平面PCB因为PC二平面PCD,故PC丄BCo
（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F,连DE、DF,则：
易证DE/CB,DE/平面PBC,点DE到平面PBC的距离相等。
又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。
由
（1）知：
BC丄平面PCD,所以平面PBC丄平面PCD于PC,因为PD=DC,PF=FC所以DF丄PC,所以DF丄平面PBC于F。
易知DF=W,故点A到平面PBC的距离等于.2。
2
（方法二）体积法：
连结AC。
设点A到平面PBC的距离为h。
因为AB//DC,/BCD=9（f,所以/ABC=9（°o
从而AB=2,BC=1,得；ABC的面积Sabc=1。
11
由PD丄平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积VSABCFD=—。
33
因为PD丄平面ABCD,DC二平面ABCD,所以PD丄DG
1
由VA_PBC=Vp上BC,
—SPBCh=V
3
故点A到平面PBC的距离等于.2o
17、（14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位m）,如示意图，垂直放置的标杆BC
高度h=4m，仰角/ABE=a,/ADE=3
（1）该小组已经测得一组a、3的值，tana=1.24,tan3=1.20,,请据此算出H的值
（2）该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m）,使a与3
之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，a-3最大
分析：
此题关键要找出C点的位置，清楚a-3最大时tan（a-3）也最大
解：
（1）因为：
tan：
=AE,tan：
二圧=BC,AE二H
BADADB
nttHH4
则：
BA=,DA,DB-
tanatanPtanP
因为
DA二DBBA所以
-4也
tan：
tan:
带入tana=1.24,tan3=1.20
12512155.5
2Jd
最大，因为0，所以>--也取最大值
2
所以，d=55-、5m时，：
•一■-取最大值小结：
此题主要考察学生对直角三角形角边关系的应用，第二问还考察学生对两角差的正切公式和基本不等式的熟练运用，第一问属于简单题，第二问属于中等题。
总结：
这两题充分体现了高考是以基础性题型为主的宗旨，对学生具有扎实基础的重视。
虽说第二题与别章有结合，但都属于基本知识的结合，只要学生对各章都有一个坚实的基础，解决这些题目都不会有问题。
所以，在以后解三角形的复习中，我们一定要强化三角形基本定理的熟练应用，扎实基础，注重与别章基础知识综合时的灵活运用。
N（X2,y2），其中
18、（本小题满分16分）
22
在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆——=1的左、右顶点为A、B,右焦点为F。
95
设过点T（t,m）的直线TA、TB与椭圆分别交于点皿（兀，％）、
m>0,yi0,y:
:
0。
（1）设动点P满足PF2-PB2=4,求点P的轨迹；
51一
（2）设x1=2,x2，求点T的坐标；
3
（3）设t=9,求证：
直线MN必过x轴上的一定点（其坐标
与m无关）。
［解析］本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。
考查运算
222
由PF-PB=4，得（x-2）
2229
y-[（x-3）y]=4,化简得。
9
故所求点P的轨迹为直线x=
2直线MTA方程为：
y一°=X3，即m（X.3）,
m-09+312
直线NTB方程为：
上0=口，即y=m（x一3）。
m—09—36
22
分别与椭圆L亠=1联立方程组，同时考虑到x^-3x2^3,
9512
解得：
3（80二2）,40m2）、N（3（m2—220）,_20m2）。
80m80m20m20m
19、（本小题满分16分）
设各项均为正数的数列4n'的前n项和为Sn，已知2a2=a1a3，数列；Sn'是公差为d的
等差数列。
（1）求数列a冷勺通项公式（用n,d表示）；
（2）设c为实数，对满足m■n=3k且mn的任意正整数m,n,k，不等式Sm'Sn-cQ都
9
成立。
求证：
c的最大值为。
2
[解析]本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析
及论证的能力。
满分16分。
（1）由题意知：
d0，、石=,百（n—1）d=,；ai（n-1）d
2a^=Hia3=3a?
=S3=3（S?
-S）=S3，3[（ai■d）—a-\]=（ai2d）,
化简，得：
a^2a1d•d2=0,；印=d2
JSn'd（n-1）d=nd,Sn=n2d2，
当n_2时，a.-Sn二二n2d2-（n-1）2d2=（2n-1）d2，适合n=1情形。
故所求an=（2n「1）d2
（2）（方法一）
n2
2222
2（mn）（mn）=9k=
99
故c，即c的最大值为一。
2
2
（方法二）由
.a=d及、，Sn二ai（n-1）d，得d0，Sn二n2d2。
于是，对满足题设的m,n,k，m=n，有
2
2,22（m+n）29229
SmSn=（mn）dd-dk-Sk。
222
9
所以c的最大值cmax
933
另一方面，任取实数a•—。
设k为偶数，令mk1,nk-1，则m,n,k符合条件,
222
且Sm&二（m2n2）d^d2[（-k1）2（3k_1）2]=1d2（9k24）。
222
于是，只要9k24：
：
：
2ak2，即当k「=2时，気'Sn：
：
：
1d2，2ak2=aSk。
J2a—92
99
所以满足条件的C_9,从而Cmax_—。
22
因此c的最大值为-
2
20、（本小题满分16分）
设f（x）是定义在区间（1「：
）上的函数，其导函数为f'（x）。
如果存在实数a和函数h（x）,其中h（x）对任意的x（1,：
：
）都有h（x）>0,使得f'（x）=h（x）（x2-ax1），则称函数f（x）具有性质P（a）。
uJQ
（1）设函数f（x）=Inx（x1），其中b为实数。
x+1
（i）求证：
函数f（x）具有性质P（b）；（ii）求函数f（x）的单调区间。
⑵已知函数g（x）具有性质P
（2）。
给定MX，（1,•：
：
）,花：
：
：
X2,设m为实数，
:
-二mx1（1「m）x2，:
二（1「m）^mx2，且芒，1,»:
1，
若Ig（>）-g（：
）l［解析］本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、
分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。
满分16分。
1
‘x1时，咖二刁0恒成立，
•••函数f（x）具有性质P（b）；
当b=\2时，对于x1，有f'（x）0，所以此时f（x）在区间（1,=）上递增;
当b：
：
：
-2时，（x）图像开口向上，对称轴x=b：
：
：
-1，而（0）=1,
2
对于x1，总有（x）0,f'（x）0，故此时f（x）在区间（1「：
）上递增;
（方法二）当b—2时，对于x1,：
（x）=x2-bx1_x2-2x1=（x-1）20
所以f'（x）.0,故此时f（x）在区间（1,二）上递增;
上递减；同理得：
f（x）在区间［一弓4,•：
：
）上递增。
综上所述，当b辽2时，f（x）在区间（1,二）上递增;
f（x）在占：
b4,.：
j上递增。
当b>2时，f（x）在（1bfb—4）上递减;
，2
⑵（方法一）由题意，得：
g'（x）二h（x）（x2-2x1）=h（x）（x-1）2
又h（x）对任意的x（1,：
：
）都有h（x）>0,
所以对任意的x（1,：
：
）都有g（x）0，g（x）在（1,：
：
）上递增。
又-■---捲x2厂---（2m-1）（為-x2）。
1
当m,m=1时，：
；一I：
，且二-为=（m-1）%（1-m）x2,：
-x2=（1-m）%（m-1）x2，
2
二9一吗）宀一花）=1（帶一1）'（吗一花F<0?
.IaUH】以召u用或应若口弧“u®则/（□:
）
L不合题意.
岭<1,<必1・
当m=L时，—目,0g（^）-g（x^，符合题意.
当炖U—时、30、且盘一巧=刚（旺一召）,0—五二一用（忑一兀j）,
同理有勺U0ua<兀，目M丙"初:
i+恥花，解得用>00->
加珂+（1_炖）花<^22
综合以上讨论，得：
所求m的取值范围是（0,1）。
2
（方法二）由题设知，g（x）的导函数g'（x）二h（x）（x-2x1），其中函数h（x）0对于任意的x・（1,•：
：
）都成立。
所以，当x.1时，g'（x）二h（x）（x-1）20，从而g（x）在区间（1,•：
：
）
上单调递增。
1当m乏（0,1）时，有a=mx+（1—m）x2am^+（1—m）^=\，
:
——mx-j（1-m）x2:
:
:
mx2•（1-m）x2=x2，得二三（％,x2），同理可得：
-（x1,x2），所以由
g（x）的单调性知g（：
）、g（J（g（xJ,g（X2）），
从而有丨g（〉）-g（Jl2当m込0时，：
=m^（1-m）x2一mx?
（1-m）x2二x2，
B=（1—m）^+m%兰（1—m）^+mx，于是由口>1,0=1及g（x）的单调性知
g（J-g（xj：
：
g（x2）-g（：
），所以IgC）-g（：
）l>|g（xj-g（x2）|，与题设不符。
3当m_1时，同理可得〉-x1—x2，进而得Ig（>）-g（：
）|>Ig（xj-g（x2）|，与题设
不符。
因此综合①、②、③得所求的m的取值范围是（0,1）。
数学n（附加题）
21.［选做题］本题包括A、B、CD四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答。
若多做，则按作答的前两题评分。
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
A.
选修4-1:
几何证明选讲
（本小题满分10分）
AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交
AB延长线于点C,若DA=DC,求证：
AB=2BG
［解析］本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证
能力。
（方法一）证明：
连结0D,则：
0D丄DC,
又OA=OD,DA=DC,所以/DAO=ZODA=ZDCO,
/DOC=ZDAO+ZODA=2/DCO,
所以/DCO=30°,ZDOC=6C°,
所以OC=2OD,即OB=BC=OD=OA所以AB=2BG
（方法二）证明：
连结OD、BD。
因为AB是圆O的直径，所以ZADB=90°,AB=2OB
因为DC是圆O的切线，所以ZCDO=9C°o
又因为DA=DC,所以ZDAC=ZDCA,
于是△ADB^ACDO,从而AB=CO0
即2OB=OB+BC得OB=BG
故AB=2BG
B.
选修4-2:
矩阵与变换
（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0,0）,B（-2,0）,C（-2,1）。
设k为非零实数，矩阵
k001
M=|,N=|，点A、BC在矩阵MN对应的变换下得到点分别为几、B“G,△
t1一〔10一
AiBiCi的面积是厶ABC面积的2倍，求k的值。
[解析]本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力。
满分10分。
解：
由题设得MN=]k°]|0"=fk]
]01J10一]10一
亠0k0-2-200k十,
由|||=I，可知A1（0,0）、B1（0,-2）、G（k,-2）o
]10」001一]0-2-2一
计算得△ABC面积的面积是1,AA1B1C1的面积是|k|，则由题设知：
|k|=21=20
所以k的值为2或-2o
C.选修4-4:
坐标系与参数方程
（本小题满分10分）
在极坐标系中，已知圆p=2cosB与直线3pcos0+4psinB+a=0相切，求实数a的值。
［解析］本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力。
满分10分。
解：
r2=22osv，圆p=2cos0的普通方程为：
x2y2=2x,（x_1）2•y2=1,
直线3pcos0+4psin0+a=0的普通方程为：
3x4y•a=0,
又圆与直线相切，所以|31_4_0a|=i,解得：
a=2，或a=-8。
^/3^
D.选修4-5：
不等式选讲
（本小题满分10分）
设a、b是非负实数，求证：
a3b3_、、ab（a2b2）。
［解析］本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力。
满分10分。
（方法一）证明：
a3b3i：
；ab（a2b2）=a2】a（、、ab2、一b-T’a）
二（、、a-、、b）［（、-a）5-C、b）5］
=b）2［C.a）4（.a）3（..b）（.a）2（、、b）2（.a）（、、b）3（b）4］
因为实数a、b>0,（肓-b）2_0,［（：
a）4（.a）3（.b）（.a）2（b）2（荷（一b）3（b）4］_o
所以上式》0。
即有a3■b3ab（a2•b2）。
（方法二）证明：
由a、b是非负实数，作差得
a3b3-.ab（a2b2）=a2£（'盲b2岛（、b-爲）二（鳥-Jb）［（鳥）5-（一b）5］
当a_b时，、、a一、.b，从而（乜）5_（、、b）5，得（、、ab）［（.5）5-（.b）5］一0；
当a:
:
:
b时，肓，从而Ca）5：
：
：
（、、b）5，得（、.a-、b）［（、、a）5b）5］：
：
0；
所以a3b3_.ab（a2b2）。
［必做题］第22题、第23题，每题10分，共计20分。
请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
22、（本小题满分10分）
为90%,二等品率为10%。
生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏
损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。
设
生产各种产品相互独立。
（1）记X（单位：
万元）为生产1件甲产品和1件乙
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