类型二 学会审题
[例2] （20xx·高考全国丙卷）已知抛物线C：
y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，G两点，交C的准线于P，Q两点．
（1）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
（2）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．
审题路线图
[规范解答] 由题知F.设l1：
y＝a，l2：
y＝b，则ab≠0，且A，B，P，Q，R.
记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－（a＋b）y＋ab＝0.
（1）由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.
记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则
k1＝＝＝＝－＝－b＝k2.所以AR∥FQ.
（2）设l与x轴的交点为D（x1,0），则S△ABF＝|b－a||FD|＝|b－a||x1－|，S△PQF＝.
由题设可得|b－a||x1－|＝，所以x1＝0（舍去）或x1＝1.
设满足条件的AB的中点为E（x，y）．
当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE可得＝（x≠1）．
而＝y，所以y2＝x－1（x≠1）．
当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为（1,0）满足方程y2＝x－1，
所以，所求轨迹方程为y2＝x－1.
2．已知抛物线C：
y＝2x2，直线l：
y＝kx＋2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N.
（1）证明：
抛物线C在点N处的切线与AB平行；
（2）是否存在实数k，使以AB为直径的圆M经过点N？
若存在，求k的值；若不存在，说明理由．
解：
（1）证明：
设A（x1，y1），B（x2，y2），把y＝kx＋2代入y＝2x2中，得2x2－kx－2＝0，
∴x1＋x2＝.
∵xN＝xM＝＝，∴N点的坐标为.
∵（2x2）′＝4x，∴（2x2）′|x＝＝k，
即抛物线在点N处的切线的斜率为k.
∵直线l：
y＝kx＋2的斜率为k，∴切线平行于AB.
（2）假设存在实数k，使以AB为直径的圆M经过点N.
∵M是AB的中点，∴|MN|＝|AB|.
由
（1）知yM＝（y1＋y2）＝（kx1＋2＋kx2＋2）
＝[k（x1＋x2）＋4]＝＝＋2，
∵MN⊥x轴，∴|MN|＝|yM－yN|＝＋2－＝.
∵|AB|＝×＝×＝×.
∴＝×，∴k＝±2，
∴存在实数k＝±2，使以AB为直径的圆M经过点N.
类型三 学会规范
[例3] （20xx·高考全国乙卷）（本题满分12分）在直角坐标系xOy中，直线l：
y＝t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：
y2＝2px（p>0）于点P，M关于P点对称点为N，连接ON并延长交C于点H.
（1）求；
（2）除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？
说明理由．
[考生不规范示例]
解：
（1）M（0，t），P∴N是OH的中点．
∴＝2.
（2）由
（1）知H∴MH方程为y－t＝x
联立方程组得
y2－4ty＋4t2＝0，方程只有一根y＝2t.
故MH与C只有一个交点为H.
[规范解答]
（1）如图，由已知得M（0，t），P.
又N为M关于点P的对称点，故N，ON的方程为y＝x，代入y2＝2px，整理得px2－2t2x＝0，
解得x1＝0，x2＝.因此H.（4分）
所以N为OH的中点，即＝2.（5分）
（2）直线MH与C除H以外没有其他公共点．理由如下：
直线MH的方程为y－t＝x，即x＝（y－t）．（10分）
代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y2＝2t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其他公共点．（12分）
[终极提升]——登高博见
1.与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法
（1）数形结合法：
根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解．
（2）构建函数法：
先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值（注意：
有时需先换元再求最值）．
2.与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法
（1）数形结合法：
利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解．
（2）构建不等式法：
利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解．
（3）构建函数法：
先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域.
限时规范训练七 圆锥曲线中的最值、范围问题
（建议用时45分钟）
解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
1．如图，已知抛物线C1：
x2＝2py的焦点在抛物线C2：
y＝x2＋1上．
（1）求抛物线C1的方程及其准线方程；
（2）过抛物线C1上的动点P作抛物线C2的两条切线PM，PN，切点为M，N.若PM，PN的斜率乘积为m，且m∈[2,4]，求|OP|的取值范围．
解：
（1）C1的焦点为F，所以＝0＋1，p＝2.
故C1的方程为x2＝4y，其准线方程为y＝－1.
（2）任取点P（2t，t2），设过点P的C2的切线方程为y－t2＝k（x－2t）．
由得x2－2kx＋4tk－2t2＋2＝0.
由Δ＝（－2k）2－4（4tk－2t2＋2）＝0，
化简得k2－4tk＋2t2－2＝0，
设PM，PN斜率分别为k1，k2，则m＝k1k2＝2t2－2，
因为m∈[2,4]，所以t2∈[2,3]，
所以|OP|2＝4t2＋t4＝（t2＋2）2－4∈[12,21]，
所以|OP|∈[2，]
2．（20xx·河北××市模拟）在平面直角坐标系xOy中，一动圆经过点且与直线x＝－相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E.
（1）求曲线E的方程；
（2）设P是曲线E上的动点，点B、C在y轴上，△PBC的内切圆的方程为（x－1）2＋y2＝1，求△PBC面积的最小值．
解：
（1）由题意可知圆心到的距离等于到直线x＝－的距离，由抛物线的定义可知，曲线E的方程为y2＝2x.
（2）法一：
设P（x0，y0），B（0，b），C（0，c），
直线PB的方程为：
（y0－b）x－x0y＋x0b＝0，
又圆心（1,0）到PB的距离为1，
所以＝1，
整理得：
（x0－2）b2＋2y0b－x0＝0，
同理可得：
（x0－2）c2＋2y0c－x0＝0，
所以b，c是方程（x0－2）x2＋2y0x－x0＝0的两根，
所以b＋c＝，bc＝，
依题意bc<0，即x0>2，
则（b－c）2＝，
因为y＝2x0，所以|b－c|＝，
所以S＝|b－c|x0＝（x0－2）＋＋4≥8，
当x0＝4时上式取得等号，
所以△PBC面积的最小值为8.
法二：
设P（x0，y0），直线PB：
y－y0＝k（x－x0），由题意知PB与圆（x－1）2＋y2＝1相切，则
＝1，整理得：
（x－2x0）k2＋2（1－x0）y0k＋y－1＝0，
k1＋k2＝－，k1k2＝，
依题意x0>2，
则|yB－yC|＝|（y0－k1x0）－（y0－k2x0）＝|k1－k2|x0，
又|k1－k2|＝，则|yB－yC|＝，
所以S＝|yB－yC||x0|＝（x0－2）＋＋4≥8，当且仅当x0＝4时上式取得等号，
所以△PBC面积的最小值为8.
3．已知圆E：
x2＋2＝经过椭圆C：
＋＝1（a>b>0）的左、右焦点F1，F2且与椭圆C在第一象限的交点为A，且F1，E，A三点共线．直线l交椭圆C于M，N两点，且＝λ（λ≠0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）当△AMN的面积取到最大值时，求直线l的方程．
解：
（1）∵F1，E，A三点共线，∴F1A为圆E的直径，
∴AF2⊥F1F2.
由x2＋2＝，
得x＝±，∴c＝，
|AF2|2＝|AF1|2－|F1F2|2＝9－8＝1，
2a＝|AF1|＋|AF2|＝4，a＝2.
∵a2＝b2＋c2，∴b＝，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
（2）由题知，点A的坐标为（，1），∵＝λ（λ≠0），
∴直线的斜率为，
故设直线l的方程为y＝x＋m，
联立得，x2＋mx＋m2－2＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
∴x1＋x2＝－m，x1x2＝m2－2，
Δ＝2m2－4m2＋8＞0，∴－2＜m＜2.
又|MN|＝|x2－x1|＝＝，
点A到直线l的距离d＝，
∴S△AMN＝|MN|·d＝×|m|
＝≤×＝，
当且仅当4－m2＝m2，即m＝±时等号成立，
此时直线l的方程为y＝x±.
4．已知圆C1：
x2＋y2＝r2（r＞0）的一条直径是椭圆C2：
＋＝1（a＞b＞0）的长轴，过椭圆C2上一点D的动直线l与圆C1相交于点A，B，弦AB长的最小值是.
（1）求圆C1和椭圆C2的方程；
（2）椭圆C2的右焦点为F，过点F作两条互相垂直的直线m，n，设直线m交圆C1于点P，Q，直线n交椭圆C2于点M，N，求四边形PMQN面积的取值范围．
解：
（1）当l垂直于OD时|AB|最小，
因为|OD|＝＝，所以r＝＝2，
因为圆C1：
x2＋y2＝r2（r＞0）的一条直径是椭圆C2的长轴，所以a＝2.
又点D在椭圆C2：
＋＝1（a＞b＞0）上，
所以＋＝1⇒b＝，
所以圆C1的方程为x2＋y2＝4，
椭圆C2的方程为＋＝1.
（2）椭圆C2的右焦点F的坐标是（1,0），
当直线m垂直于x轴时，|PQ|＝2，|MN|＝4，
四边形PMQN的面积S＝4；
当直线m垂直于y轴时，|PQ|＝4，|MN|＝3，
四边形PMQN的面积S＝6，
当直线m不垂直于坐标轴时，设n的方程为y＝k（x－1）（k≠0），此时直线m的方程为y＝－（x－1），
圆心O到直线m的距离为d＝，
所以|PQ|＝2＝2，
将直线n的方程代入椭圆C2的方程得到（4k2＋3）x2－8k2x＋4k2－12＝0，
|MN|＝，
所以四边形PMQN的面积S＝|PQ|·|MN|
＝
＝
＝4·∈（6,4），∵4＋＞4
∴0＜＜
∴－＜＜0
∴＜＋1＜1
∴＜＜1
综上，四边形PMQN的面积的取值范围是[6,4]．
必考点二 圆维曲线中的定点、定值探索问题
类型一 学会踩点
[例1] （本题满分12分）已知椭圆C：
＋＝1（a>b>0）的离心率为，点（2，）在C上．
（1）求C的方程；
（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：
直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
解：
（1）由题意有＝，＋＝1，
解得a2＝8，b2＝4.（3分）
所以C的方程为＋＝1.（4分）
（2）证明：
设直线l：
y＝kx＋b（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM）．（5分）
将y＝kx＋b代入＋＝1，得
（2k2＋1）x2＋4kbx＋2b2－8＝0.（7分）
故xM＝＝，yM＝k·xM＋b＝.（9分）
于是直线OM的斜率kOM＝＝－，（10分）
即kOM·k＝－.（11分）
所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．（12分）
评分细则：
得分点及踩点说明
（1）第一问中，缺少有关a、b的方程，直接得a2＝8，b2＝4，扣2分
（2）第二问中，设l：
y＝kx＋b，缺少“k≠0，b≠0”，扣1分
（3）第二问中，无“结论性”语言扣1分
（4）第二问中用“点差法”，参考本解答给分
1．已知椭圆C：
＋＝1（a＞b＞0），过焦点垂直于椭圆长轴的弦长为1，且焦点与椭圆短轴两端点构成等边三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点Q（－1,0）的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x＝－4于点E，＝λ，＝μ.判断λ＋μ是否为定值？
若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
解：
（1）由条件得⇒
所以椭圆的方程为＋y2＝1.
（2）易知直线l的斜率存在，令l：
y＝k（x＋1），A（x1，y1），B（x2，y2），E（－4，y0），
联立
消去y得（1＋4k2）x2＋8k2x＋4k2－4＝0，
Δ＝48k2＋16＞0，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝，
由＝λ得（－1－x1，－y1）＝λ（x2＋1，y2），
即则λ＝－，
由＝μ得（－4－x1，y0－y1）＝μ（x2＋4，y2－y0），即则μ＝－，
∴λ＋μ＝－
＝－，
将x1＋x2＝－，x1x2＝代入上式得
λ＋μ＝－
＝－＝0.
类型二 学会审题
[例2] （20xx·高考山东卷改编）平面直角坐标系xOy中，椭圆C：
＋＝1（a＞b＞0）的离心率是，抛物线E：
x2＝2y的焦点F是C的一个顶点．
（1）求椭圆C的方程．
（2）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.
求证：
点M在定直线上；
审题路线图
[规范解答]
（1）由题意知＝，可得a2＝4b2.
因为抛物线E的焦点为F，
所以b＝，a＝1.
所以椭圆C的方程为x2＋4y2＝1.
（2）证明：
设P（m＞0）．
由x2＝2y，可得y′＝x，所以直线l的斜率为m.
因此直线l的方程为y－＝m（x－m），即y＝mx－.
设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），
联立方程
得（4m2＋1）x2－4m3x＋m4－1＝0.①
由Δ＞0，得0＜m＜（或0＜m2＜2＋）．②
由①得x1＋x2＝，因此x0＝.
将其代入y＝mx－，得y0＝.
因为＝－，
所以直线OD的方程为y＝－x.
联立方程
得点M的纵坐标yM＝－，
所以点M在定直线y＝－上．
2．已知点A1（－2,0），A2（2,0），过点A1的直线l1与过点A2的直线l2相交于点M，设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，且k1k2＝－.
（1）求直线l1与l2的交点M的轨迹方程；
（2）已知F2（1,0），设直线l：
y＝kx＋m与
（1）中的轨迹M交于P，Q两点，直线F2P，F2Q的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π，求证：
直线l过定点，并求该定点的坐标．
解：
（1）设点M（x，y），则k1＝，k2＝，
由k1·k2＝·＝－，整理得＋＝1.
∵由题意知点M不与A1（－2,0），A2（2,0）重合，
∴点A1（－2,0），A2（2,0）不在轨迹上，
∴点M的轨迹方程为＋＝1（y≠0）．
（2）由题意知，直线l的斜率存在且不小于零，
联立方程
消y得（3＋4k2）x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则
且kF2P＝，kF2Q＝，
由已知α＋β＝π，得kF2P＋kF2Q＝0，
∴＋＝0，
化简得2kx1x2＋（m－k）（x1＋x2）－2m＝0，
代入得2k·－－2m＝0，
∴整理得m＝－4k，
∴直线PQ的方程为y＝k（x－4），
因此直线PQ过定点，该定点的坐标为（4,0）．
类型三 学会规范
[例3] （本题满分12分）在直角坐标系xOy中，曲线C：
y＝与直线l：
y＝kx＋a（a＞0）交于M，N两点．
（1）当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
（2）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？
说明理由．
[考生不规范示例]
解：
（1）k＝0，M（2，a），N（－2，a），
y′＝，∴k1＝，k2＝－.
∴切线方程为y－a＝（x－2）和y－a＝－（x＋2）．
（2）假设存在点P（0，b），M（x1，y1）N（x2，y2）．
由得x2－4kx－4a＝0
x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a，k1＋k2＝＋＝，
∴当b＝－a时，k1＋k2＝0，∴∠OPM＝∠OPN.
[规范解答]
（1）由题设可得M（2，a），N（－2，a），（2分）
或M（－2，a），N（2，a）．
又y′＝，故y＝在x＝2处的导数值为，曲线C在点（2，a）处的切线方程为y－a＝（x－2），
即x－y－a＝0.（4分）
y＝在x＝－2处的导数值为－，曲线C在点（－2，a）处的切线方程为y－a＝－（x＋2），
即x＋y＋a＝0.（6分）
故所求切线方程为x－y－a＝0和x＋y＋a＝0.
（2）存在符合题意的点．证明如下：
设P（0，b）为符合题意的点，M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.
将y＝kx＋a代入C的方程得x2－4kx－4a＝0.（8分）
故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a.
从而k1＋k2＝＋
＝＝.（10分）
当b＝－a时，有k1＋k2＝0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，
故∠OPM＝∠OPN，所以点P（0，－a）符合题意．（12分）
[终极提升]——登高博见
动线过定点问题的两大类型及解法
（1）动直线l过定点问题，解法：
设动直线方程（斜率存在）为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k（x＋m），故动直线过定点（－m,0）．
（2）动曲线C过定点问题，解法：
引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．此题又涉及存在性问题，故先采用特值法求出定点，再让该定点适合一般情况.
限时规范训练八 圆锥曲线中的定点、定值探索问题
（建议用时45分钟）
解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
1．如图，椭圆＋＝1（a＞b＞0）过点P，其左、右焦点分别为F1，F2，离心率e＝，M，N是椭圆右准线上的两个动点，且·＝0.
（1）求椭圆的方程；
（2）求MN的最小值；
（3）以MN为直径的圆C是否过定点？
请证明你的结论．
解：
（1）∵e＝＝，且过点P，
∴解得∴椭圆方程为＋＝1.
（2）设点M（4，y1），N（4，y2），则＝（5，y1），＝（3，y2），·＝15＋y1y2＝0，∴y1y2＝－15.
又∵MN＝|y2－y1|＝＝＋|y1|≥2，
∴MN的最小值为2.
（3）证明：
圆心C的坐标为，
半径r＝.
圆C的方程为（x－4）2＋2＝，
整理得x2＋y2－8x－（y1＋y2）y＋16＋y1y2＝0.
∵y1y2＝－15，∴x2＋y2－8x－（y1＋y2）y＋1＝0，
令y＝0，得x2－8x＋1＝0，∴x＝4±.
∴圆C过定点（4±，0）．
2．如图，椭圆E：
＋＝1（a＞b＞0）经过点A（0，－1），且离心率为.
（1）求椭圆E的方程；
（2）经过点（1,1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：
直线AP与AQ的斜率之和为2.
解：
（1）由题设知＝，b＝1，
结合a2＝b2＋c2，解得a＝.
所以椭圆的方程为＋y2＝1.
（2）证明：
由题设知，直线PQ的方程为
y＝k（x－1）＋1（k≠2），
代入＋y2＝1，
得（1＋2k2）x2－4k（k－1）x＋2k（k－2）＝0.
由已知Δ＞0.
设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1x2≠0，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
从而直线AP，AQ的斜率之和
kAP＋kAQ＝＋
＝＋
＝2k＋（2－k）
＝2k＋（2－k）
＝2k＋（2－k）
＝2k－2（k－1）＝2.
3．已知点A（2，2）在抛物线C：
x2＝2py（p＞0）上．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设定点D（0，m）（m＜0），过D作直线y＝kx＋m（k＞0）与抛物线C交于M（x1，y1），N（x2，y2）（y1＜y2）两点，连接ON（O为坐标原点），过点M作垂直于x轴的直线交ON于点G.
（ⅰ）证明：
点G在一条定直线上；
（ⅱ）求四边形ODMG面积的最大值．
解：
（1）∵A（2，2）在抛物线x2＝2py上，
∴
（2）2＝4p，p＝2，
∴抛物线C的方程为x2＝4y.
（2）（ⅰ）证明：
由消去y整理得
x2－4kx－4m＝0.
∵M（x1，y1），N（x2，y2）是y＝kx＋m与x2＝4y的交点，
∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m，直线ON的方程为y＝x，
∴yG＝x1＝x1＝＝－m为定值，
所以，点G在一条定直线y＝－m上．
（ⅱ）易知四边形ODMG为梯形，
∴S＝[－m＋（－m－y1）]x1＝x1
＝－mx1－x.
结合图形易知0＜x1＜2，S′＝－m－x，
由S′＝0得x＝－m，
解得x1＝＜2，
当x1∈时，S′＞0；
当x1∈时，S′＜0，
∴S在上单调递增，上单调递减，
∴当x＝时，
Smax＝－m－
＝＝－.
4．设抛物线C1：
y2＝4x的准线与x轴交于点F1，焦点为F2.以F1，F2为焦点，离心率为的椭圆记作C2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线L经过椭圆C2的右焦点F2，与抛物线C1交于A1，A2两点，与椭圆C2交于B1，B2两点，当以B1B2为直径的圆经过F1时，求|A1A2|的长；
（3）若M是椭圆上的动点，以M为圆心，MF2为半径作⊙M，是否存在定⊙N，使得⊙M与⊙N恒相切？
若存在，求出⊙N的方程，若不存在，请说明理由．
解
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