矩阵力学的发展.docx
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矩阵力学的发展
矩阵力学的发展
1925年，WernerHeisenberg,出生的最大和Pascual乔丹公式化了量子力学的矩阵力学表示法。
突然显现在Heligoland
1925年WernerHeisenberg工作，Göttingen在计算的问题鬼线氢.在1925年5月前Heisenberg开始设法描述原子系统可测只。
在6月7日，逃脱一次坏攻击的作用花粉症Heisenberg动身去花粉自由北海海岛Heligoland.当那里Heisenberg，在登山和学会由心脏诗之间从时Goethe‘s西部östlicherDiwan继续考虑鬼问题和最终体会采取的那非通勤可测也许解决问题，并且他以后写了[1]b5E2RGbCAP
当演算的决赛成绩在我之前时，放置“它是大约三时在晚上。
起初我深深地被震动了。
我是很激动的我不可能认为睡眠。
如此我在岩石的上面离开了房子并且等候日出。
“p1EanqFDPw
三张纸
在Heisenberg以后返回Göttingen他显示了WolfgangPauli他的演算，评论：
[2]DXDiTa9E3d
“一切是隐晦和不明的对我，但它似乎，好象电子在轨道不愿没有其他移动”。
在7月9日Heisenberg给了他的演算同一张纸最大负担，说：
他写了一张疯狂的纸，并且不敢为出版物送它，并且出生应该读它和劝告他对此。
在出版物之前。
Heisenberg有一阵子然后离去了，留给被负担分析本文。
[3]
在本文，Heisenberg公式化了量子论，不用锋利的电子轨道。
HendrikKramers在及早计算了相对强度鬼线Sommerfeld模型通过解释傅立叶系数轨道作为强度。
但他的答复，象其他演算在老量子论只是正确的为大轨道.RTCrpUDGiT
Heisenberg，在与Kramers的合作以后，开始了解蜕变概率不是相当古典数量，因为出现于的唯一的频率傅立叶系列应该是在巨大突破被观察的那个，不是来自傅立叶分析的锋利的古典轨道的虚构部分。
他用系数矩阵，傅立叶系列的一个fuzzed量子类似物替换古典傅立叶系列。
古典地，傅立叶系数给散发的辐射的强度，因此在量子力学矩阵元的巨大是强度鬼线。
5PCzVD7HxA
数量在Heisenberg的公式化是古典位置和动量，但他们尖锐不再现在被定义了。
每个数量由收藏品代表傅立叶系数以二个索引，对应于最初和最终状态。
[4]当出生读本文，他认可了公式化作为可能被抄录和延伸到矩阵系统的语言的一个，[5]哪些他从他的研究学会了在JakobRosanes之下[6]在Breslau大学.出生，在他的助理和从前的学生帮助下Pascual乔丹立刻开始做副本和引伸，并且他们为出版物递交了他们的结果。
本文为出版物被接受了60天在Heisenberg的纸以后。
[7]第二代产品纸为出版物递交了在年底之前由所有三位作者。
[8]（出生角色A简要的回顾在发展的矩阵力学量子力学的公式化与介入可能性高度的non-commutivity的关于关键惯例的讨论一起在文章上可以被发现由杰里M・Bernstein。
[9]一个详细的历史和技术帐户在Mehra和Rechenberg的书可以被发现量子论的历史发展。
容量3。
矩阵力学的公式化和它的修改1925-1926。
[10]>jLBHrnAILg
直到这时间，物理学家很少使用矩阵，他们被考虑属于理论数学领土。
GustavMie1912年在一张纸在电动力学使用了他们1921年，并且负担在他的在水晶的格子理论的工作使用了他们。
当在这些情况下时使用了矩阵，矩阵代数以他们的增殖没有进入图片，他们在量子力学的矩阵公式化做了。
[11]出生，然而，学会了矩阵代数从Rosanes，如已经被注意，但负担也学会了积分方程和二次方形式的Hilbert的理论为可变物的一个无限数字象从引证明显的由出生Hilbert的工作GrundzügeeinterallgemeinenTheroirederLinearenIntegralgleichungen1912年出版。
[12][13]乔丹，太为任务是装备精良的。
几年，他是助理理查Courant在Göttingen在Courant的准备和大卫Hilbert的书MethodendermathematischenPhysikI被出版1924.[14]这本书，偶然性地，包含了一伟大许多数学工具必要为量子力学的持续的发展。
1926年，JohnVonNeumann变得辅助大卫Hilbert和他会形成术语希耳伯特空间描述用于量子力学的发展的代数和分析。
[15][16]xHAQX74J0X
Heisenberg的推理
在矩阵力学之前，老量子论由一条古典轨道描述了微粒的行动x（t>,P（t>以制约时间积分式在一动量的T计时速度必须是正面整数倍数Planck的常数LDAYtRyKfE
当这个制约正确地选择轨道与或多或少权利能量价值时En老量子机械形式主义没有描述非定常过程，例如辐射的放射或吸收。
Zzz6ZB2Ltk
当一个古典微粒微弱地被结合对γ辐射圃，因此辐射性阻止可以被忽略，它将散发辐射在重覆自己每个轨道周期的样式。
组成辐射波的频率是然后轨道频率的整数倍数和这是事实的反射X（t>是周期性的，因此它傅立叶表示法有频率2πn/T只。
dvzfvkwMI1
系数xn是复杂形势。
那个以消极频率必须是那个的复杂共轭以正面频率，因此X（t>总将是真正的，
.
量子机械微粒，另一方面，不可能连续散发辐射，它可能只散发光子。
假设，量子微粒在轨道数字n开始了，散发光子，然后结束在轨道数字m，光子的能量是En−Em，因此它意味着它的频率是（En−Em>/h.rqyn14ZNXI
为大n和m，但以n-m相对地小，这些是古典频率Bohr‘s对应原理
在上面惯例，T是任一条轨道的古典期间n或轨道m，因为他们之间的区别高次h.但为n并且m小，或者，如果n−m是大，频率不是整数倍数的其中任一单频率。
EmxvxOtOco
因为微粒散发的频率是相同象频率在它的行动的傅立叶描述，这建议那某事在微粒的非定常描述摆动以频率（En−Em>/h.Heisenberg告诉这个数量xnm和要求它应该减少到古典傅立叶系数在古典极限。
为n的大价值，m，但以n-m相对地小，xnm古典行动的（n-m>th傅立叶系数在轨道n。
从那以后xnm有在频率对面xmn情况X是真正的成为：
SixE2yXPq5
.
由定义，xnm只有频率（En−Em>/h，因此它的时间演变是简单的：
.
这是Heisenberg的运动方程的原始的形式。
给出二个列阵xnm并且Pnm描述二个物理量，Heisenberg可能通过结合期限形成同一个类型的新的一些xnkPkm也摆动以正确的频率。
从傅立叶系数二个数量产品是卷积分开每一个的傅立叶系数，书信以傅立叶系列允许Heisenberg推论应该乘的规则列阵：
6ewMyirQFL
被指出的出生这是矩阵增殖法律，因此位置，动量，能量，所有可测的数量在理论上，被解释作为矩阵。
由于增殖规则，产品取决于命令：
XP是与PX不同。
kavU42VRUs
X矩阵是量子机械微粒的行动的一个圆满的描述。
由于频率在量子行动不是一个共同的频率的倍数，矩阵元不可能被解释作为傅立叶系数一条锋利的古典弹道。
然而，作为矩阵，x（t>并且P（t>满足古典运动方程。
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进一步讨论
当介绍了它WernerHeisenberg,出生的最大并且Pascual乔丹1925年，矩阵力学立刻未被接受并且是巨大争论的来源。
Schrödinger的最新介绍波动力学倾向了。
M2ub6vSTnP
一部分的原因是Heisenberg的公式化在一种奇怪的新的数学语言，而Schrödinger的公式化根据熟悉的波动方程。
但也有一个更加深刻的社会学原因。
量子力学由二个道路，一在爱因斯坦指导下和其他开发在Bohr指导下。
而Bohr强调了分离能态和巨大突破，爱因斯坦强调了挥动微粒双重性。
DeBroglie在爱因斯坦的框架显示了如何再生产分离能态---量子情况是定波情况，并且这给了希望那些在爱因斯坦学校量子力学的所有分离方面将被归入入一个连续波机械工。
0YujCfmUCw
矩阵力学，另一方面，来自Bohr学校，与分离能态和巨大突破有关。
Bohr的追随者根本没有赞赏生动描述电子作为波浪的物理模型，或者作为任何东西。
他们喜欢集中于直接地连接到实验的数量。
eUts8ZQVRd
在原子物理，分光学给了关于出现从原子的互作用的原子转折的观察上的数据与光量子.Bohr学校要求原则上可测量由分光学仅的那些数量在理论上应该出现。
这些数量包括能级和他们的强度，但他们在它的Bohr轨道不包括微粒的确切的地点。
想象可能确定的实验是非常坚硬的一个电子在氢原子的地面情况是否是在右边或在中坚力量左边。
它是深信这样问题没有一个答复。
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矩阵公式化在所有物理的前提被建立了可测由二个不同能级标注元素的矩阵代表。
套本征值矩阵最终被了解是可测可能有的套所有可能的价值。
因为Heisenberg的矩阵是厄M本征值是真正的。
GMsIasNXkA
如果可测被测量，并且结果是某一本征值，对应特征向量是系统的状态在测量之后。
测量行动在矩阵力学‘崩溃’系统的状态。
如果您同时测量二可测，系统的状态应该崩溃到二可测的一个共同的特征向量。
因为多数矩阵没有任何特征向量共同兴趣，多数可测不可能精确地同时被测量。
这是不确定原理.TIrRGchYzg
如果二个矩阵分享他们的特征向量，他们可以同时diagonalized。
在依据，他们是都对角线，它是确切他们的产品不取决于他们的顺序，因为对角矩阵的增殖是数字的正义增殖。
不确定原理然后是事实二个矩阵A和B总不通勤，B到BA的后果必要不均等0。
矩阵力学的著名交换关系：
7EqZcWLZNX
表示，没有状态哪些同时有确定位置和动量。
但不确定性的原则（也叫互补性由Bohr>为多数其他对可测也是举行。
例如，能量不通勤以位置，因此精确地确定电子的位置和能量在原子是不可能的。
lzq7IGf02E
1925年，WernerHeisenberg不是24年。
诺贝尔奖
1928年，AlbertEinstein被提名的Heisenberg，出生和乔丹为诺贝尔奖在物理,[17]但它不是。
诺贝尔奖的公告在物理为1932被延迟了直到11月1933.[18]那时是它是宣布的Heisenberg赢取了奖在1932年“为量子力学的创作，应用，其中，特别，导致了在氢的营业异常的形式的发现上”[19]并且ErwinSchrödinger并且保罗AdrienMauriceDirac分享了1933奖“为在原子学说的新的有生产力的形式的发现上”。
[20]一能确实问1932年为什么出生未与Heisenberg一起被授予奖？
Bernstein在这个问题上给一些猜想。
他们中的一个与乔丹加入有关纳粹在5月1日,1933并且成为的a突击队员.[21]因此，乔丹的党籍和出生的乔丹的链接也许那时影响了出生的机会在奖。
Bernstein也注意到，当1954年出生赢取了奖，乔丹活，并且奖为量子力学的统计解释单独被授予了，可归属对出生。
[22]zvpgeqJ1hk
Heisenberg的反应对出生为接受奖在1932年的Heisenberg和对出生为出生接受奖在1954也是教育的在评估出生是否应该与Heisenberg分享了奖。
在11月25日，1933出生从他说的Heisenberg收到了一封信他在文字在合作被延迟了由于“坏良心”那他们独自接受了奖“为在Göttingen完成的工作-您，乔丹和I.”Heisenberg认为对量子力学的出生和乔丹的贡献不可能被“一个错误决定改变从外面”。
[23]1954年，Heisenberg写了一文章尊敬最大Planck1900年为他的洞察。
在文章，Heisenberg相信出生和乔丹为矩阵力学和Heisenberg的最后的数学公式化注重多么伟大他们的贡献是对量子力学，不“充分地被承认的公众熟悉”。
[24]NrpoJac3v1
数学发展
一旦Heisenberg介绍了矩阵为X和P，他可能由猜测在特殊情况下发现他们的矩阵元，引导由对应原理.因为矩阵元是量子机械类似物傅立叶系数古典轨道，最简单的案件是泛音振荡器X（t>的地方和P（t>是正弦的。
1nowfTG4KI
泛音振荡器
在单位，振荡器大量和频率是相等的到一个，振荡器的能量
水平集合H是轨道，并且他们是被筑巢的圈子。
古典轨道以能量E是：
老量子情况说PdX积分式在轨道，是圈子区域在拓扑空间，必须是整数倍数Planck的常数.半径圈子的区域是2πE如此fjnFLDa5Zo
或者，在长度单位，是你，能量是整数。
傅立叶组分x（t>并且P（t>如果他们被结合入数量，是非常简单的，更加：
两个并且有一只单频率，和x并且P能从他们的总和和区别恢复。
从那以后A（t>有一个古典傅立叶系列以仅最低的频率和矩阵元Amn是古典轨道，矩阵的（m-n>th傅立叶系数为是仅非零的在线上面对角线，在哪里它是相等的.矩阵为只同样是非零的在线在对角线之下，与同样元素。
重建X和P从并且:
tfnNhnE6e5
哪些，由单位决定选择，是Heisenberg矩阵为泛音振荡器。
注意两个矩阵是厄M，因为他们从真正的数量傅立叶系数被修建。
发现x（t>并且P（t>是简单的，因为他们是量子傅立叶系数，因此他们简单地演变以时间。
HbmVN777sL
矩阵积x并且P不厄M，而是有真正和虚构的part。
真正的部分是一个一半相称表示（xP+Px>，而虚构部分与换向器是比例[x,P]=（xP−Px>.明确地核实那是容易的（xP−Px>在泛音振荡器情况下，是i乘以身分.核实矩阵也是容易的V7l4jRB8Hs
是a对角矩阵与本征值E_i.
能源节约
泛音振荡器是太特别的。
以至于不能确切地发现矩阵是太容易的，并且以至于不能发现普通保险条款从这些特殊格式是太坚硬的。
为此，Heisenberg调查了非谐和性的振荡器，与汉密尔顿83lcPA59W9
在这种情况下，x并且P矩阵不再是简单的对角矩阵，因为对应的古典轨道轻微地被压并且被偏移，因此他们有傅立叶系数以每个古典频率。
要确定矩阵元，Heisenberg要求古典运动方程被服从当矩阵等式：
mZkklkzaaP
他注意了，如果这可能是然后完成的H被考虑作为X和P的矩阵作用，将有起始瞬间衍生物。
那里A*B是相称产品.
.
假设所有对角元素有一个非零频率。
H是恒定的暗示H是对角的。
它是确切对在这个系统，能量在一个任意量子系统可能确切地被保存的Heisenberg，一个非常鼓励信号。
AVktR43bpw
放射的光子的过程和吸收似乎要求能源节约将举行最好平均。
如果确切地包含一个光子的波浪通过在有些原子，并且他们中的一个吸收它，原子需要告诉其他他们不可能再吸收光子。
但，如果原子是远单独的，任何信号不可能到达其他原子及时，并且他们也许导致无论如何吸收同一个光子和消散能量对环境。
当信号到达了他们，其他原子会莫名其妙地必须回忆那能量。
这个矛盾带领了Bohr、Kramers和铺瓦工摒弃确切的能源节约。
Heisenberg的形式主义，当延伸包括电磁场时，明显地打算横跨一步这个问题，理论解释将介入的提示wavefunction崩溃.ORjBnOwcEd
分化把戏-标准交换关系
要求古典运动方程被保存不是确定矩阵元的一个足够强的情况。
Planck的常数没出现于古典等式，因此矩阵能为许多不同的价值被修建并且仍然满足运动方程，但用不同的能级。
2MiJTy0dTT
如此为了实施他的节目，Heisenberg需要使用老量子情况要修理能级，然后填装矩阵与傅立叶系数古典等式，然后修改矩阵系数，并且确定古典等式的轻微能级是满意的。
这不清楚地是令人满意的。
老量子条件提到锋利的古典轨道附寄的区域，不存在于新的形式主义。
gIiSpiue7A
Heisenberg发现的最重要的事是如何翻译老量子情况入一个简单语句在矩阵力学。
要做此，他调查作用积分作为矩阵数量：
uEh0U1Yfmh
有几个问题以这个积分式，所有源于矩阵形式主义的不协调性与轨道的老图片。
T您应该使用哪个期间？
Semiclassically，它应该是二者之一m或n，但是区别是命令h并且我们要答复命令h.量子情况告诉我们那Jmn是2πn在对角，事实J是古典地常数然后告诉我们对角元素是零。
IAg9qLsgBX
他关键的洞察是区分量子情况关于n.这个想法在古典极限只有完全道理，n是没有整数，而是连续的作用变数J，但是Heisenberg进行了近似操作与矩阵，中间表示是有时分离区别和有时衍生物。
在以下讨论中，为清晰，分化在古典可变物将进行，并且与矩阵力学的转折使用对应原理之后完成。
WwghWvVhPE
在古典设置，衍生物是衍生物关于定义了J积分式的J，因此它是tautologically相等的到1。
那里在附近的轨道应该解释衍生物dp/dJdx/dJ作为区别关于J在对应的时刻，确切地什么您会得到，如果您区分了傅立叶系数轨道行动。
这些衍生物是symplectically正交的在拓扑空间对时间衍生物dP/dtdX/dt。
最后的表示是通过介绍可变物标准共轭澄清的到J，称角度可变物θ.衍生物关于时间是衍生物关于θ由因素决定2π/T.asfpsfpi4k
如此量子情况积分式是平均值一个周期的泊松托架X和P。
PdX傅立叶系列的一个近似分化显示出，泊松托架的对角元素是全部零。
二标准地共轭可变物泊松托架，例如X和P，是恒定的价值1，因此这个积分式真正地是平均值的1，因此它是1，如同我们一直知道，因为它终究是dJ/dJ。
但Heisenberg，出生和乔丹没有熟悉泊松托架的理论，因此为他们，在J有效地评估的{X，P}分化θ座标。
ooeyYZTjj1
泊松托架，不同于作用积分，有一个简单转换对矩阵力学---它是二可变物产品，换向器的虚构部分。
要看此，审查二个矩阵A和B产品在书信极限，矩阵元慢慢地变化索引的作用，记住答复是零古典地。
BkeGuInkxI
在书信极限，当索引mn大和附近，当时k,r是小的，矩阵元的变动的率在对角方向是矩阵元的J对应的古典数量的衍生物。
如此我们可以使用惯例转移所有矩阵元对角地：
PgdO0sRlMo
那里右边是真正地仅（m-n>‘th傅立叶组分（dA/dJ>在轨道在m附近到这准古典式顺序，不是一个充分的明确定义的矩阵。
3cdXwckm15
矩阵元的准古典式时间衍生物获得由i决定因素通过乘以从对角线的距离，
从系数Am（m+k>是semiclassicallymth古典轨道的k'th傅立叶系数。
A和B产品的虚构部分可以通过转移矩阵元以便再生产古典答复评估，是零。
转移整个地然后给主导的非零残余。
因为所有矩阵元在安排一小与大索引位置疏远的索引（m,m>它帮助介绍二个临时记法：
A[r,k]=A（m+r>（m+k>为矩阵，和（dA/dJ>[r]为古典数量r'th傅立叶组分。
h8c52WOngM
翻转总和可变物在第一个总和从r到r'=k-r，矩阵元成为：
并且它确切主要部分取消。
主导的量子零件，忽略衍生物高次产品，是
哪些可以被辨认当i时间泊松托架的kth古典傅立叶组分。
Heisenberg的原始的分化把戏最终延伸到量子情况的充分的准古典式派生与出生和乔丹合作。
v4bdyGious
一旦他们能建立那：
这个情况被替换的和延伸的老量子化统治，允许P和X的矩阵元为了从形式能将简单地确定的一个任意系统的汉密尔顿。
新的量子化规则假设是普遍地真实的，即使派生从老量子论必需的准古典式推理。
J0bm4qMpJ9
状态向量-现代量子力学
要做与现代量子力学的转折，最重要的进一步加法是量子态传染媒介现在写是传染媒介矩阵行动。
没有状态向量，特殊行动Heisenberg矩阵描述的它不是确切，因为他们包括所有行动某处。
XVauA9grYP
状态向量的解释，组分被写ψm给出生。
解释是统计的：
物理量的测量的结果对应于矩阵A的是任意的，以平均值相等bR9C6TJscw
二者择一地和等效地，状态向量给可能性高度ψi为量子系统在能态i。
一旦介绍了状态向量，矩阵力学可能被转动到所有依据，H矩阵不再是对角线。
Heisenberg运动方程以它的原物形式声明那Amn及时演变象傅立叶组分pN9LBDdtrd
哪些可以被重铸以有差别的形式
并且它可以被再声明，以便它是真实的在一个任意依据通过注意到，H矩阵是对角的以对角价值Em:
这现在是矩阵等式，因此它在所有依据举行。
这是Heisenberg运动方程的现代形式。
正式解答是：
运动方程的所有形式上面认为同一件事，那A（t>与A（0>是相等的由依据自转决定由单一矩阵eiHt.通过转动为状态向量的依据在每次eiHt您在矩阵能解开时间相依。
矩阵现在是时间独立，但状态向量转动：
DJ8T7nHuGT
这是Schroedinger等式为状态向量和依据的非定常变动是变革对Schroedinger图片.QF81D7bvUA
在量子力学在Heisenberg图片状态向量,不改变以时间和可测A满意
额外期限是为操作员象A=（x+t2P>哪些有明确时间相依除时间相依之外从单一的演变。
Heisenberg图片与空间不区别时间，因此好为相对论性理论。
4B7a9QFw9h
而且，相似性古典物理是更加显然的：
汉密尔顿的运动方程为经典力学通过替换恢复换向器在由之上泊松托架.ix6iFA8xoX
由石头冯Neumann定理Heisenberg图片和Schrödinger图片单一地是等值。
参见Schrödinger图片.
进一步结果
矩阵力学在范围迅速地开发了成现代量子力学，并且给了兴趣的物理结果原子。
波动力学
乔丹注意到，交换关系保证p作为一微分算子，并且来了非常紧挨公式化Schrödinger等式。
身分
允许p换向器的评估以x的所有力量，并且它暗示那
哪些，与线性一起，暗示p换向器区分x.的所有分析矩阵作用。
傲慢的极限易察觉地被定义，这将延伸到任意作用，但引伸不需要使成为明确，直到需要某一程度数学严厉。
wt6qbkCyDE
因为x是一个厄M的矩阵，它应该diagonalizable，并且它从每个实数可以是本征值p的最后的形式将是清楚的。
因为有一个分开的特征向量为每点在空间，这使一些数学微妙。
在依据，x是对角的，一个任意状态可以被写作为状态的叠置以本征值x：
Kp5zH46zRk
并且操作员x乘每个特征向量以x。
定义区分的一个线性操作符Dψ:
并且注意那：
因此操作员-iD服从交换关系和p.一样。
p之间的区别和-iD必须通勤与x。
如此它也许同时diagonalized以x：
它的行动在x所有eigenstate的价值是本征
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