九年级二次函数导学案.docx
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九年级二次函数导学案
1.二次函数所描述的关
课堂检测：
:
1．已知函数y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c是常数），当a时，是二次函数；当a，b时，是一次函数；当a，b，c时，是正比例函数．
2．当m时，y=（m－2）x
是二次函数．
3．下列不是二次函数的是（）
A．y=3x2＋4B．y=－
x2C．y=
D．y=（x＋1）（x－2）
4．函数y=（m－n）x2＋mx＋n是二次函数的条件是（）
A．m、n为常数，且m≠0B．m、n为常数，且m≠n
C．m、n为常数，且n≠0D．m、n可以为任何常数
5．半径为3的圆，如果半径增加2x，则面积S与x之间的函数表达式为（）
A．S=2π（x＋3）2B．S=9π＋xC．S=4πx2＋12x＋9D．S=4πx2＋12x＋9π
7．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件．现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高1元，其销售量就要减少10件．若他将售出价定为x元，每天所赚利润为y元，请你写出y与x之间的函数表达式？
8．已知：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8．点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF．设DE=x，DF=y．
（1）AE用含y的代数式表示为：
AE=；
（2）求y与x之间的函数表达式，并求出x的取值范围；
（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数表达式．
2.结识抛物线
一、作二次函数y=x
的图象。
二、例题：
【例1】求出函数y=x＋2与函数y=x2的图象的交点坐标．
【例2】已知a＜－1，点（a－1，y1）、（a，y2）、（a＋1，y3）都在函数y=x2的图象上，则（）
A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3
五、课堂检测
1．若二次函数y=ax2（a≠0），图象过点P（2，－8），则函数表达式为．
2．函数y=x2的图象的对称轴为，与对称轴的交点为，是函数的顶点．
3．点A（
，b）是抛物线y=x2上的一点，则b=；点A关于y轴的对称点B是，它在函数上；点A关于原点的对称点C是，它在函数上．
4．求直线y=x与抛物线y=x2的交点坐标．
5．函数y=x2与y=－x2的图象关于对称，也可以认为y=－x2，是函数y=x2的图象绕旋转得到．
6．若a＞1，点（－a－1，y1）、（a，y2）、（a＋1，y3）都在函数y=x2的图象上，判断y1、y2、y3的大小关系？
7．如图，A、B分别为y=x2上两点，且线段AB⊥y轴，若AB=6，则直线AB的表达式为（）
A．y=3B．y=6C．y=9D．y=36
3.刹车距离与二次函数
一、复习：
二次函数y=x2与y=－x2的性质：
抛物线
y=x2
y=－x2
对称轴
顶点坐标
开口方向
位置
增减性
最值
二、知识研讨
【例1】已知抛物线y=（m＋1）x
开口向下，求m的值．
【例2】k为何值时，y=（k＋2）x
是关于x的二次函数？
五、课堂检测
1．抛物线y=－4x2－4的开口向，当x=时，y有最值，y=．
2．当m=时，y=（m－1）x
－3m是关于x的二次函数．
3．抛物线y=－3x2上两点A（x，－27），B（2，y），则x=，y=．
4．当m=时，抛物线y=（m＋1）x
＋9开口向下，对称轴是．在对称轴左侧，y随x的增大而；在对称轴右侧，y随x的增大而．
5．抛物线y=3x2与直线y=kx＋3的交点为（2，b），则k=，b=．
6．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点（－1，－2），则抛物线的表达式为．
7．二次函数y=ax2与一次函数y=ax＋a在同一坐标系中的图象大致为（）
8．已知函数y=ax2的图象与直线y=－x＋4在第一象限内的交点和它与直线y=x在第一象限内的交点相同，则a的值为（）
A．4B．2C．
D．
9．求符合下列条件的抛物线y=ax2的表达式：
（1）y=ax2经过（1，2）；
（2）y=ax2与y=
x2的开口大小相等，开口方向相反；
（3）y=ax2与直线y=
x＋3交于点（2，m）．
4二次函数
的图象（第一课时）
一、复习引入
提问：
1．什么是二次函数？
2．我们已研究过了什么样的二次函数？
3．形如
的二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？
二、新课
复习提问：
用描点法画出函数
的图象，并根据图象指出：
抛物线
的开口方向，对称轴与顶点坐标.
例1 在同一平面直角坐标系画出函数
、
、
的图象.
由图象思考下列问题：
（1）抛物线
的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？
（2）抛物线
的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？
（3）抛物线
，
与
的开口方向，对称轴，顶点坐标有何异同？
（4）抛物线
与
同
有什么关系？
继续回答：
①抛物线的形状相同具体是指什么？
②根据你所学过的知识能否回答：
为何这三条抛物线的开口方向和开口大小都相同？
③这三条抛物线的位置有何不同？
它们之间可有什么关系？
④抛物线
是由抛物线
沿y轴怎样移动了几个单位得到的？
抛物线
呢？
⑤你认为是什么决定了会这样平移？
例2在同一平面直角坐标系内画出
与
的图象．
三、本节小结
本节课学习了二次函数
与
的图象的画法，主要内容如下。
填写下表：
表一：
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
表二：
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
§2.4二次函数
的图象（第二课时）
1、请你在同一直角坐标系内，画出函数
的图像，并指出它们的开口方向，对称轴及顶点坐标．
2、你能否在这个直角坐标系中，再画出函数
的图像？
3、你能否指出抛物线
的开口方向，对称轴，顶点坐标？
将在上面练习中三条抛物线的性质填入所列的有中，如下表：
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
4、我们已知抛物线的开口方向是由二次函数
中的a的值决定的，你能通过上表中的特征，试着总结出抛物线的对称轴和顶点坐标是由什么决定的吗？
5、抛物线
有什么关系？
6、它们的位置有什么关系？
①抛物线
是由抛物线
怎样移动得到的？
②抛物线
是由抛物线
怎样移动得到的？
③抛物线
是由抛物线
怎样移动得到的？
④抛物线
是由抛物线
怎样移动得到的？
⑤抛物线
是由抛物线
怎样移动得到的？
总结、扩展
一般的二次函数，都可以变形成
的形式，其中：
1．a能决定什么？
怎样决定的？
2．它的对称轴是什么？
顶点坐标是什么？
§2.4二次函数
的图象习题课（两课时）
1．抛物线y=－2x2＋6x－1的顶点坐标为，对称轴为．
2．如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax2＋bx＋c的大致图象为（）
3．已知二次函数y=
x2－
x＋6，当x=时，y最小=；当x时，y随x的增大而减小．
4．抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线表达式为．
5．二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示，则ac0．（填“＞”、“＜”或“=”＝）。
6．已知点（－1，y1）、（－3
，y2）、（
，y3）在函数y=3x2＋6x＋12的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y1＞y2
7．二次函数y=－x2＋bx＋c的图象的最高点是（－1，－3），则b、c的值是（）
A．b=2，c=4B．b=2，c=－4C．b=－2，c=4D．b=－2，c=－4
8．如图，坐标系中抛物线是函数y=ax2＋bx＋c的图象，则下列式子能成立的是（）
A．abc＞0B．a＋b＋c＜0C．b＜a＋cD．2c＜3b
9．函数y=ax2＋bx＋c和y=ax＋b在同一坐标系中，如图所示，则正确的是（）
10．已知抛物线y=ax2＋bx＋c经过点A（4，2）和B（5，7）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）用描点法画出这条抛物线．
11．如图，已知二次函数y=
x2＋bx＋c，图象过A（－3，6），并与x轴交于B（－1，0）和点C，顶点为P．
（1）求这个二次函数表达式；
（2）设D为线段OC上的一点，且满足∠DPC=∠BAC，求D点坐标．
12．已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个点作一条射线将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于
．设梯形的面积为S，梯形中较短的底的长为x，试写出梯形面积关于x的函数表达式，并指出自变量x的取值范围．
13．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：
分）之间满足函数关系y=－0．1x2＋2．6x＋43（0≤x≤30）．y值越大，表示接受能力越强．
（1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？
x在什么范围内，学生的接受能力逐渐降低？
（2）第10分时，学生的接受能力是多少？
（3）第几分时，学生的接受能力最强？
14．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单位每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数表达式（不必写出x的取值范围）；
（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
15．欣欣日用品零售商店，从某公司批发部每月按销售合同以批发单价每把8元购进雨伞（数量至少为100把）．欣欣商店根据销售记录，这种雨伞以零售单价每把为14元出售时，月售销量为100把，如果零售单价每降低0．1元，月销售量就要增加5把．现在该公司的批发部为了扩大这种雨伞的销售量，给零售商制定如下优惠措施：
如果零售商每月从批发部购进雨伞的数量超过100把，其超过100把的部分每把按原批发单价九五折（即95%）付费，但零售单价每把不能低于10元．欣欣日用品零售商店应将这种雨伞的零售单价定为每把多少元出售时，才能使这种雨伞的月销售利润最大？
最大月销售利润是多少元？
（销售利润=销售款额－进货款额）
16．如图2－4－24，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，点D在BC上运动（不运动至B、C），DE∥CA，交AB于E．设BD=x，△ADE的面积为y．
（1）求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；
（2）△ADE的面积何时最大，最大面积是多少？
（3）求当tan∠ECA=4时，△ADE的面积．
17．已知：
如图2－4－25，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4cm，AC=3cm．若△A′B′C′与△ABC完全重合，令△ABC固定不动，将△A′B′C′沿CB所在的直线向左以1cm/s的速度移动．设移动xs后，△A′B′C′与△ABC的重叠部分的面积为ycm2．求：
（1）y与x之间的函数关系；
（2）几秒钟后两个三角形重叠部分的面积等于
cm2？
§2.5用三种方式表示二次函数
1．已知函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象，如图①所示，则下列关系式中成立的是（）
A．0＜－
＜1B．0＜－
＜2C．1＜－
＜2D．－
=1
图①
图②
2．抛物线y=ax2＋bx＋c（c≠0）如图②所示，回答：
（1）这个二次函数的表达式是；
（2）当x=时，y=3；
（3）根据图象回答：
当x时，y＞0．
3．已知抛物线y=－x2＋（6－2k）x＋2k－1与y轴的交点位于（0，5）上方，则k的取值范围是．
六、课后练习
1．若抛物线y=ax2＋b不经过第三、四象限，则抛物线y=ax2＋bx＋c（）
A．开口向上，对称轴是y轴B．开口向下，对称轴是y轴
C．开口向上，对称轴平行于y轴D．开口向下，对称轴平行于y轴
2．二次函数y=－x2＋bx＋c图象的最高点是（－1，－3），则b、c的值是（）
A．b=2，c=4B．b=2，c=4C．b=－2，c=4D．b=－2，c=－4．
3．二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：
①c＜0；②b＞0；③4a＋2b＋c＞0；④（a＋c）2＜b2．其中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．两个数的和为8，则这两个数的积最大可以为，若设其中一个数为x，积为y，则y与x的函数表达式为．
5．一根长为100m的铁丝围成一个矩形的框子，要想使铁丝框的面积最大，边长分别为．
6．若两个数的差为3，若其中较大的数为x，则它们的积y与x的函数表达式为，它有最值，即当x=时，y=．
7．边长为12cm的正方形铁片，中间剪去一个边长为x的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y（cm2）与x（cm）之间的函数表达式为．
8．等边三角形的边长2x与面积y之间的函数表达式为．
9．抛物线y=x2＋kx－2k通过一个定点，这个定点的坐标为．
10．已知抛物线y=x2＋x＋b2经过点（a，－
）和（－a，y1），则y1的值是．
11．如图，图①是棱长为a的小正方体，②、③是由这样的小正方体摆放而成，按照这样的方法继续摆放，由上而下分别叫第一层、第二层……第n层，第n层的小正方体的个数记为S，解答下列问题：
（1）按照要求填表：
n
1
2
3
4
…
s
1
3
6
…
（2）写出当n=10时，S=．
（3）根据上表中的数据，把S作为纵坐标，n作为横坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点．
（4）请你猜一猜上述各点会在某一函数图象上吗？
如果在某一函数的图象上，求出该函数的表达式．
12．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．图中二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和S与t之间的关系）．
根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S（万元）与时间t（月）之间的函数表达式；
（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；
（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？
§2.6何时获得最大利润
1．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？
2．将进货为40元的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个．已知这时商品每涨价一元，其销售数就要减少20个．为了获得最大利益，售价应定为多少？
3．某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40元～70元之间．市场调查发现，若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱；价格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱．
（1）写出平均每天销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数表达式（注明范围）；
（2）求出商场平均每天销售这种年奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价x（元）之间的二次函数表达式；（每箱利润=售价－进价）
（3）求出
（2）中二次函数图象的顶点坐标，并求出当x=40，70时W的值，在直角坐标系中画出函数图象的草图；
（4）由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？
最大利润是多少？
5．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间．但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变．现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000kg放养在塘内，此时市场价为30元/kg，据测算，此后1kg活蟹的市场价每天可上升1元．但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是20元/kg．
（1）设x天后1kg活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数表达式；
（2）如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数表达式；
（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利润（利润=销售总额－收购成本－费用）？
最大利润是多少？
6．某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（10万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：
x（10万元）
0
1
2
…
y
1
1．5
1．8
…
（1）求y与x的函数表达式；
（2）如果把利润看作是销售总额减去成本和广告费，试写出年利润S（10万元）与广告费x（10万元）函数表达式；
（3）如果投入的广告费为10万元～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？
§2.7最大面积是多少
1．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用y=－
x2＋4表示．
（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？
（2）如果隧道内设双行道，那么这辆货运车是否可以通过？
（3）为安全起见，你认为隧道应限高多少比较适宜？
为什么？
2．在一块长为30m，宽为20m的矩形地面上修建一个正方形花台．设正方形的边长为xm，除去花台后，矩形地面的剩余面积为ym2，则y与x之间的函数表达式是，自变量x的取值范围是．y有最大值或最小值吗？
若有，其最大值是，最小值是，这个函数图象有何特点？
3．一养鸡专业户计划用116m长的篱笆围成如图所示的三间长方形鸡舍，门MN宽2m，门PQ和RS的宽都是1m，怎样设计才能使围成的鸡舍面积最大？
4．把3根长度均为100m的铁丝分别围成长方形、正方形和圆，哪个面积最大？
为什么？
5．周长为16cm的矩形的最大面积为，此时矩形的边长为，实际上此时矩形是．
6．当n=时，抛物线y=－5x2＋（n2－25）x－1的对称轴是y轴．
7．已知二次函数y=x2－6x＋m的最小值为1，则m的值是．
8．如果一条抛物线与抛物线y=－
x2＋2的形状相同，且顶点坐标是（4，－2），则它的表达式是．
9．若抛物线y=3x2＋mx＋3的顶点在x轴的负半轴上，则m的值为．
10．将抛物线y=3x2－2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线为（）
A．y=3（x＋2）2＋1B．y=3（x－2）2－1
C．y=3（x＋2）2－5D．y=3（x－2）2－2
11．二次函数y=x2＋mx＋n，若m＋n=0，则它的图象必经过点（）
A．（－1，1）B．（1，－1）C．（－1，－1）D．（1，1）
12．如图是二次函数y=ax2＋bx＋c的图象，点P（a＋b，bc）是坐标平面内的点，则点P在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
13．已知：
如图1，D是边长为4的正△ABC的边BC上一点，ED∥AC交AB于E，DF⊥AC交AC于F，设DF=x．
（1）求△EDF的面积y与x的函数表达式和自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，△EDF的面积最大？
最大面积是多少；
（3）若△DCF与由E、F、D三点组成的三角形相似，求BD长．
14．如图2，有一块形状是直角梯形的铁皮ABCD，它的上底AD=3cm，下底BC=8cm，垂直于底的腰CD=6cm．现要裁成一块矩形铁皮MPCN，使它的顶点M、P、N分别在AB、BC、CD上．当MN是多长时，矩形MPCN的面积有最大值？
§2.8二次函数与一元二次方程
1．抛物线y=a（x－2）（x＋5）与x轴的交点坐标为．
2．已知抛物线的对称轴是x=－1，它与x轴交点的距离等于4，它在y轴上的截距是－6，则它的表达式为．
3．若a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么抛物线y=ax2＋bx＋c经过象限．
4．抛物线y=x2－2x＋3的顶点坐标是．
5．若抛物线y=2x2－（m＋3）x－m＋7的对称轴是x=1，则m=．
6．抛物线y=2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m=．
7．已知抛物线y=ax2＋bx＋c的系数有a－b＋c=0，则这条抛物线经过点．
8．二次函数y=kx2＋3x－4的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围．
9．抛物线y=x2－2
x＋a2的顶点在直线y=2上，则a的值是．
10．抛物线y=3x2＋5x与两坐标轴交点的个数为（）
A．3个B．2个C．1个D．无
11．如图1所示，函数y=ax2－bx＋c的图象过（－1，0），则
的值是（）
A．－3B．3C．
D．－
12．已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图2所示，则下列关系正确的是（）
A．0＜－
＜1B．0＜－
＜2C．1＜－
＜2D．－
=1
13．已知二次函数y=x2＋mx＋m－2．求证：
无论m取何实数，抛物线总与x轴有两个交点．
14．已知二次函数y=x2－2kx＋k2＋k－2．
（1）当实数k为何值时，图象经过原点？
（2）当实数k在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？
15．已知抛物线y=mx2＋（3－2m）x＋m－2（m≠0）与x轴有两个不同的交点．
（1）求m的取值范围；
（2）判断点P（1，1）是否在抛物线上；
（3）当m=1时，求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，并过P′、Q、P三点，画出抛物线草图．
16．已知二次函数y=x2－（m－3）x－m的图象是抛物线，如图2－8－10．
（1）试求m为何值时，抛物线与x轴的两个交点间的距离是3？
（2）当m为何值时，方
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