44个物理经典题目.docx
《44个物理经典题目.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《44个物理经典题目.docx（20页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
44个物理经典题目
开始吧。
有一块V字形木板，两侧与地面的夹角都是θ。
一根密度均匀的绳子放在木板上，绳子与木板之间的摩擦系数为1。
整个系统左右对称。
没挨着木板的那段绳子所占的比例最大是多少？
此时θ是多少度？
用一些非常初等的方法可以得到，答案是（√2-1）2≈0.172，此时θ=22.5°。
具体解答可以见http:
//star.tau.ac.il/QUIZ/05/sol_rope.pdf。
一个长、宽、高分别为a、b、c的长方体物块，斜靠在一个墙角。
由于墙壁和地面都是完全光滑的，因此物块将会开始下滑。
什么时候，物块会脱离墙壁？
为了解决这个问题，首先需要把物块和地面的夹角记作θ，物块下滑过程中的各种物理量都可以用θ来表示。
然后，解决这个问题的关键就在于，当物块脱离墙壁时，物块向右的加速度就消失了，这个临界点就由等量关系dvx/dθ=0给出。
不过，由此产生的方程非常复杂，我们只能用数值的方式去解它。
有一个半圆柱体横放在水平桌面上，截面的半径为R。
我们在半圆柱体上放一块木板，试图让它在半圆上保持平衡。
假如这块木板非常薄，那么这块木板很容易放稳，即使有些小动静，木板也会自动恢复平衡。
但考虑另外一个极端，假如这是一块非常厚非常厚的木板（甚至是大楼一般的形状），它显然不能稳放在这个半圆上。
那么，这中间一定会有一个临界点。
这个临界点在哪里？
换句话说，这个半圆上最多能放稳一块多厚的木板？
把半圆的半径记作R，把木板的厚度记作t。
如果把木板平放在半圆上，其重心的高度就是R+t/2。
假如这块木板倾斜了一个微小的角度θ，那么图中M'T的长度等于弧MT的长度，即2πR·（θ/2π）=R·θ。
此时，木板的重心G'的高度变为了（t/2）cosθ+（R·θ）sinθ+R·cosθ。
为了让木板保持平衡，不会自动往下滑，我们需要让新的重心高度大于原来的重心高度，即（t/2）cosθ+（R·θ）sinθ+R·cosθ>R+t/2。
解出不等式，再令θ→0，即可得到t<2R。
也就是说，一旦木板的厚度超过半圆的直径，木板就无法放稳了。
假如你面向东边，站在冰面上，鞋底与冰面完全没有摩擦。
你能否做出一系列动作，使得自己最后能面向西边站立？
可以。
只需要重复“伸臂－挥臂－屈臂”的动作，你的身体便会向反方向转动一点。
期待实验党。
用过多年的插座（尤其是插过大功率电器的插座），右边的孔（火线）往往会有过热的迹象。
如果是劣质插座，加上经常插拔插头的话，右边的孔甚至会有烧黑了的痕迹。
明明是通过相同大小的电流，为什么右边的孔会被烧得更厉害呢？
目前，这个问题没有一个所谓的标准答案。
当然，这个现象本身是否存在也是存疑的。
大家不妨来说说自己家里插座的情况。
呼拉圈是怎么转起来的？
人应该做一个什么样的运动？
呼拉圈的转动频率是由什么决定的？
和人的体形、运动速度、运动方式有关系吗？
是否存在一个最优的频率？
⋯⋯
我有几件事情死活搞不明白，吹泡泡是怎么吹出来的，小舌颤音是怎么发出来的，骑车不动把手是怎么实现拐弯的⋯⋯当然，还有呼拉圈是怎么转起来的。
和呼拉圈有关的问题似乎永远也列举不完。
如果你真的把它当成一回事仔细分析，你会发现这不是一般的困难。
2004年，BiologicalCybernetics上发表了一篇长达15页的论文，论文题目是CoordinationModesintheMulti-SegmentalDynamicsofHula-Hooping。
这篇论文终于不负众望，成功地摘得了诺贝尔奖——当然，是搞笑版的。
投一枚硬币，如果是正面，我就去打球，如果是反面，我就去打游戏，如果立起来，我就去学习。
不知道大家第一次看到这个笑话时，有没有想过，如果一枚硬币真的有1/3的概率正面朝上，有1/3的概率反面朝上，有1/3的概率立起来，那么这个硬币的半径与厚度满足什么样的关系？
这枚硬币必须满足，把它立起来后，即使倾斜30度仍然不倒。
这样，硬币直立的“势力范围”才会达到120度。
因此，硬币的直径应该是厚度的√3倍。
考虑某颗星球，它由某种密度均匀的物质组成，其质量为M，体积为V。
如果这颗星球是一个球体，那么它的半径R=（（3V）/（4π））1/3，星球表面上的重力加速度则为g=GM/R2=GM（（4π）/（3V））2/3，其中G是万有引力常数。
考虑这颗星球所有可能的形状，怎样的形状才会让星球表面的某一点重力加速度达到最大？
最大值是多少？
下图就是让表面某处的重力加速度达到最大的星球形状。
这个图形是一个稍微有些变形的球体，整个图形是一个以z方向为轴的旋转体，顶端的m点即是重力加速度最大的点，它的重力加速度为g=（4/5）（15/4）1/3π2/3M/V2/3，只比球形星体的重力加速度大2.6%。
这是又一个经典的例子——圆形似乎并不是那么完美。
这个问题的解法非常漂亮。
首先，假设我们想要让星体表面上的某个点m的重力加速度最大，并且所受重力方向在z轴上，那么这个星体必然是沿z轴方向对称的。
否则，取出不对称的一层，把多的部分填进少的部分让它变成一个完全对称的圆盘，这将会让m点在竖直方向上的受力变大。
不断这样做直到这个图形沿z轴完全对称，显然就得到了一个更优的形状。
接下来的步骤就真的神了。
现在，在星体上取一个非常细的圆环，假设它的质量是dM。
那么，这个圆环所贡献的重力加速度大小就是G·dM·cosθ/r2。
如果把这个圆环从星体中挖掉，放到其它的位置上，那么新的圆环将会有新的r值和θ值。
当整个形状达到最优时，这个形状将位于“极值点”的位置，也就是说它的“微分”为0，任何微小的变动都不会改变m的加速度。
这就意味着，cosθ/r2是一个常数。
这个条件就确定出整个星体的形状。
Fermat光程最短原理指出，光从A点到B点，总是沿着最快的路径传播。
这一神奇的定律一下子就把直线传播定律、反射定律、折射定律统一在了一起。
不过，后来我们知道了，更一般的描述应该是，光总是沿着光程处于驻点的路径传播。
为什么会加上这一条？
有没有光程极大的例子呢？
这里有一个例子。
考虑椭圆内的两个焦点A、B，和椭圆上的一点M。
显然，不管M取在哪儿，AM+BM都是相同的。
现在，在椭圆内部画一条曲线，这条曲线与椭圆相切于M点。
然后，擦掉原来的椭圆，把这条曲线视作镜面。
显然，AMB仍然是一条反射光线，但从其它地方反射，光程都会小于AMB。
AMB是一个光程极大的路径。
物理量的单位总是由基本单位（质量、长度、时间等）的幂相乘得来的。
比如，能量的单位就是1J=kg·m2·s-2。
为什么没有什么物理量，它是由基本单位通过更复杂的形式导出的？
比如说，为何没有什么物理量，它的单位是sin（kg）·log（m）？
这是一个非常有趣，无疑也是非常深刻的问题。
它让我们开始认真思考一个看上去很不像问题的问题：
什么是物理量？
什么是物理单位？
我们需要去挖掘物理量和物理单位的最基本、最本质的性质。
网站上的标准答案是，只有这种形式的导出单位才能保证，在不同的单位制下，得到的导出单位是等价的。
具体地说，物理单位的作用就是用来描述，当各个基本单位的尺度变化以后，这个物理量会发生怎样的变化。
比如说，密度单位是质量除以长度的三次方，就表明如果质量扩大到原来的2倍（或者说单位量变成了原来的1/2），长度扩大到原来的4倍（或者说单位量变成了原来的1/4），那么这个物理量将会变成原来的2/43=1/32。
现在，假设某个物理量的单位是质量的正弦乘以长度的对数。
按照国际标准单位制，这个单位是sin（kg）·log（m）。
假如单位换成了sin（g）·log（cm），那么这个物理量将会变成原来的sin（1000）·log（100）≈3.80792。
再继续换算成sin（mg）·log（mm），物理量应该继续变成原来的sin（1000）·log（10）≈1.90396。
但是，如果从sin（kg）·log（m）直接变到sin（mg）·log（mm），物理量应该变成原来的sin（1000000）·log（1000）≈-2.41767，这就和前面的结果矛盾了。
利用一些微积分知识可以证明，如果一个合成物理单位不会出现这样的问题，它必然是基本单位的幂的乘积的形式。
不过，这个解释并不能让我十分满意。
大家怎么看呢？
有一个无穷大的正方形网格，每条小线段都是1Ω的电阻丝。
求相邻两点间的等效电阻阻值。
这个问题有一个很妙的解法。
假设一个大小为1A的电流从红点处流入，从各个无穷远处流出。
由对称性，有（1/4）A的电流将会流过红蓝两点之间的线段。
现在，再假设一个大小为1A的电流从各个无穷远处流入，从蓝色点流出。
由对称性，红蓝两点之间的线段仍然有（1/4）A的电流。
现在，把两种情况叠加在一起看，大小为1A的电流从红点进去从蓝点出来，那么，红蓝两点间的线段就有（1/2）A的电流。
因而，两点间的电压就是（1/2）A·1Ω=（1/2）V。
因而两点间的等效电阻就是（1/2）V/1A=（1/2）Ω。
说到无穷网格电阻的问题，我们有说不完的话题。
这个问题本身的扩展非常之多。
例如，我们可以把问题扩展到N维的情形：
N维无限电阻网格中，相邻两点的等效电阻是多少？
利用同样的方法可以得出，答案就是1/N。
回到二维情形，如果我们换一个扩展方向，改问对角两点间的电阻，上述分析方法就不行了。
而这个加强版问题的答案也更加玄妙：
两点间的阻值为（π/2）Ω。
大家可以在网上很多地方查到这个加强版问题的解法。
xkcd有一个经典漫画，形象地描绘出nerd们被数理趣题折磨的感受。
当然，这幅画本身也折磨了不少人，网上涌现出大量对这个问题的讨论。
还有一种经典的无穷电阻问题：
一个向右无穷延伸的梯子形网格，每条线段都是1Ω的电阻，求两点间的等效电阻。
问题的解法非常漂亮。
假设我们要求的答案是R，则R可以看作是三个1Ω的电阻串联，然后把一个阻值为R的电阻（也就是它本身）与中间那个1Ω电阻并联所得。
于是得到等量关系R=1+1/（1+1/R）+1，解得R=1+√3。
还有一些经典的求电阻问题。
其中一个问题是，一个正方体的12条棱上各有一个1Ω的电阻，求距离最远的两个顶点之间的等效电阻。
2007年10月份IBMPonderThis的题目则是，分别考虑五种正多面体，如果每条棱上各有一个1Ω的电阻，则相邻两顶点的等效电阻是多少？
巧妙地利用对称性，这几个问题都可以迅速被秒杀。
假设有一个圆锥形的冰山，冰山表面绝对光滑。
你打算把一个绳圈套在山尖上，然后沿着绳索爬上去。
考虑两个极端情况：
如果冰山特别尖，顶角特别小，这个计划自然不成问题；但若冰山特别“肥”，顶角特别大，向下拉绳子后，绳圈将会滑出山尖。
这中间一定有一个临界点，也就是绳圈掉不出来的最大顶角。
这个顶角是多大？
这是一个非常有趣的问题。
问题的本质就是，绳圈在怎样的圆锥面上才存在“被拉紧”的稳定状态。
容易想到，绳子被拉紧，意味着绳圈从A点出发，将沿最短路径绕过山尖一周，再回到A点。
如果把圆锥的侧面展开成扇形，绳圈其实就像下面这样（图中的A点和A'点在圆锥上是同一个点）。
显然，当这个扇形的顶角小于180度时，这样的绳圈才可能存在；而当这个扇形的顶角大于180度时，拉紧的绳圈就会滑到山尖外面去。
据此不难推出，所求的临界情况就是，圆锥的高与母线的夹角为30度。
n块相同的木板重叠，最多能够伸出桌面多远？
这是一个非常经典的问题。
传统的答案是，把第一块木板的重心放在第二块木板的右边缘，把这两块木板的重心放在第三块木板的右边缘，把这三块木板的重心放在第四块木板的右边缘⋯⋯利用杠杆原理可以推出，如果每块木板都是单位长，那么n块木板可以伸出桌面（1+1/2+1/3+…+1/n）/2个单位的长度。
由调和级数的性质，我们立即可以得知，只要木板数量足够多，木块伸出桌面的长度是没有上界的，想伸出去多长就能伸出去多长。
但同时，这个增长速度也非常缓慢⋯⋯20块木板只能伸出大约1.79887个单位的长度，1000块木板也只能伸出大约4.8938个单位的长度。
不过，采用一些其它的方案（比如拿几块木板在后方作为“配重”），我们可以让木板伸出的长度更远。
下面是一篇非常经典的论文，总结了目前对这个问题的研究结果：
http:
//arxiv.org/abs/0707.0093。
上楼时，人克服重力做功，需要耗费很多能量。
但是，在平地上行走时，人并没有做功。
那么，为什么我们走路时还要耗费能量呢？
1999年3月的ScientificAmerican上说到，其实在步行时，我们也是要克服重力做功的。
这是因为，在步行的过程中，人的重心会一上一下地摆动。
当两腿一前一后着地时，人的重心偏低；而单腿着地迈步时，人的重心会升高大约3cm。
我们走路的能量主要就消耗在了这里。
当然，事实上，即使人不走路，光是原地站着，也是要耗费能量的（大约为80W）。
假设人的步行速度是v，那么步行所用的能量可以用公式P=80W+K·v大致算出，其中K·v就是步行过程中耗费的能量，系数K大约为160N。
教中学物理最怕聪明孩子，一些古怪的问题常常会让老师也支支吾吾答不上来。
初中物理中，有几个最不好给学生解释的事情。
走路不做功，为什么还要耗费能量？
电流从电厂来又回到电厂去，为什么我们还要支付电费？
把装满水的水杯不盖纸片直接倒过来，为什么大气压没有把水支撑起来？
拳头打在墙上后将会受到墙给拳头的反作用力，但若拳头挥空了，这个力的反作用力是什么？
你都打算怎么解释？
橄榄油的沸点是300℃，锡的熔点是231.9℃。
为什么我们能在锡锅里炸东西？
答案：
橄榄油并没有沸腾，沸腾的其实是食物里的水。
而且，正是食物里的水才让橄榄油和锡锅都保持在100℃。
如果食物里的水被烧干了，食物就会被烧焦，锡锅当然也会被烧毁。
在晃动的火车车厢上，把一瓶水放在小桌子上。
如果想让这瓶水放得更稳，有一个极其简单的方法。
这个方法是什么？
答案：
喝掉一部分水，让整瓶水的重心下降。
注意，这里又有一个有趣的极值问题。
如果瓶子里装满水，整个系统的重心显然要比只装有一部分水时更高；但若把水全部喝掉，只剩一个空瓶子，整个系统的重心仍然会比有一部分水时高。
建立模型，求出使得整个系统重心最低的水位高度，是一个绝佳的物理课题。
有一个蛮有意思的结论：
当整个系统的重心达到最低时，水位一定和此时整个系统的重心高度相同。
其实这个很好理解：
当水位没有达到整个系统的重心高度时，每加一点水，都相当于在重心下方填充质量，让重心下降；但水位高度超过了整个系统的重心，则每加一点水，都相当于在重心上方新添质量，重心便会开始上升了。
12节1V的电池首尾相接，然后将一块电压表如图连接。
电压表的示数是多少？
有时候，方言的力量真是强大。
看到这个题目后，我脑子里闪过的第一个形容词就是重庆话“想得出来”，但始终没找到合适的普通话替代词。
总之，这题可以说是非常具有想象力了。
答案是0V。
假设每个电池的内电阻是R，这个回路的电流就等于12V除以12R，即（1V）/R。
于是，每个电池的内电压就是R·（1V）/R=1V，而这恰好是这个电池的电动势。
因此，每个电池的外电压都为0。
对于一组连续的电池来说，这个推理同样成立。
为什么跳蚤、蚱蜢、人和狮子，尺寸差异那么大，但能跳起的最高高度都是1米左右（最多相差一个不超过2的系数）？
看到这个问题之后，我在Google里搜了一下，竟然真是这样。
猫猫狗狗老鼠老虎，可以跳起的高度都在1米这个尺度左右——猫猫和狗狗都能跳1米左右，老鼠能跳40厘米，老虎能跳2米。
你以为袋鼠牛B吗？
其实袋鼠也只能跳2到3米高。
注意，这里的跳起高度并不是指“手能摸到的高度”，而是生物让自己重心升高的高度。
有人可能想到了原因。
一个动物身体小，力量也小，但正因为它身体小，跳起1米也不需要太大的力。
反之，大型动物力量倒是大，不过要跳起来确实也需要很大的力。
这就让动物们能够跳起的高度变得平衡。
不过，为什么这两个因素能够平衡，而不是一个压过另一个呢？
假设生物的形体和密度都相近，我们就可以漂亮地证明这一点：
把一次跳跃中足部可以提供的能量记作E，生物自身的重量则记作W，那么生物跳起的高度应该正比于E/W。
如果再把生物的尺寸（一维上的长度，比如身长）记作L，那么W是与L3成正比的。
而E则等于肌肉提供的力乘以这个力能够牵引的肢体运动距离，其中前者与肌肉的横截面积成正比，也就与L2成正比，后者和足部长度成正比，也就是和L成正比。
因此，E和L3成正比。
于是，E/W与L无关！
小时候大家应该都听说过，跳蚤巨牛无比，能跳起1米多高，是自身高度的100多倍。
原来，不管什么都能跳起1米多高，这个倍数关系这么惊人，只是因为跳蚤自己太矮罢了。
一个空心正方体的内部有六面墙。
能否让一个小球在每一面墙上都各反弹一次，最后又回到出发点（假设没有重力）？
可以。
这是由HugoSteinhaus首先发现的。
注意，每反弹一次，只会让速度中的其中一个分量变为相反数，因此六次反弹后，速度向量会和出发时相同。
为了让六次反弹后还能回到出发点，我们只需要再让各段路程的长度都相同就行了。
上图中的方案里，每段路程都是一个小立方体的对角线，因而最后就正好能回到原点。
一个物块从高度为h的光滑斜面顶端开始下滑，下滑到底端后沿光滑水平面以速度v匀速直线运动下去。
初始时，物块的重力势能为mgh；到了斜面底部后，重力势能为0，完全转化为了动能（1/2）mv2。
由此我们可以解出，v=√2gh。
现在，假设你坐在一个以v的速度向右做匀速直线运动的车里。
如果以你为参照物，你将会看到，斜面顶端的物块初始时机械能为mgh+（1/2）mv2，而到了斜面底端后，机械能突然变成0了！
这该怎么解释呢？
这是一个非常漂亮的问题，大家不妨多想一想。
简单地说，就是在新的参照系下，物体并不是沿着直线下滑，斜面也对物体做功了。
不过，这只能解释一部分“消失”的机械能。
具体答案在http:
//star.tau.ac.il/QUIZ/99/A07.99.html。
有网友来信说，从根本原因上看，只要把斜面本身也算进系统里，考察斜面的能量，就不会产生不守恒的问题了。
有一段横截面是等边三角形的木头，密度为0.5g/cm3。
它在水中漂浮时，哪头会朝上？
答案：
如图所示，漂浮时，它的其中一条中线一定和水面重合。
这是因为，通过计算可知，此时整个物体的重心G1和浸入水中的部分的重心G2（也就是浮力的作用点）正好在同一竖直线上，并且高度差达到最小值。
20世纪初，一本名为Power的杂志上曾经登载了这样一个永动机模型。
如图，把光滑绳圈套在滑轮上，绳圈右侧浸在水中。
于是，绳圈右侧将持续受到一个竖直向上的浮力，绳子便逆时针转动了起来。
这个永动机模型可行吗？
如果不可行，问题出在哪儿？
答案：
废话，当然不可行。
可是，这个模型错在哪儿呢？
注意，浮力其实是物体上下表面的液体压强差产生的。
因此，浮力只会出现在完全浸入液体，或者漂浮在液体表面的物体上。
在这个例子中，绳子并不会受到浮力。
如果你把绳子想像成是一片片圆盘拼成的，每个圆盘都只受到侧面来的液体压强，在绳子的方向上是不可能有力产生的。
围观更多的永动机，请移步http:
//en.wikipedia.org/wiki/History_of_perpetual_motion_machines。
秤上放着一个玻璃瓶子，瓶盖是密封的。
一只苍蝇飞在瓶子中，没有挨着瓶子。
秤的示数等于瓶子的重量，还是大于瓶子的重量？
如果苍蝇靠栓在身上的一个小氢气球浮在瓶子中呢？
这是一个经典问题了。
对于前一个问题，秤的示数应该大于瓶子的重量，多的这点重量正好就是苍蝇自身的重量。
这是因为，苍蝇要想飞起来，必须要给空气一个等于自身重量的向下的力（从而获得一个等于自身重量的向上的力）。
空气将会把这个力传到瓶底，也就是对瓶底施加一个相同的力。
对于第二个问题，答案是，秤的示数就等于瓶子的重量。
如果苍蝇受空气浮力悬浮在空中，我们就可以把苍蝇连同气球所占据的位置等价地用空气来替换，毕竟瓶子里悬浮着一只气球苍蝇和悬浮着一坨空气没什么两样嘛。
这样看来，秤的示数就是瓶子的重量了。
这个问题扯开来，也有一大堆可以说的。
初中物理有一道经典题目：
把一杯水放在秤上，然后手指伸进水里（手指未碰到杯底，水未溢出），问秤的示数怎么变。
答案是，变大了。
因为水位升高，对杯底的水压增大了，从而杯底受到的压力也就增大了。
当然，按照之前的思路，我们还有一个更好的解释。
你的手指受到了一个竖直向上的浮力，水自然也就受到了一个竖直向下的反作用力，这个力的大小就等于手指排开水的重量。
因此，你可以把手占据的位置替换成一堆水。
可见，杯子里的水量相当于是凭空增加了，秤的示数自然也就增加了。
大家估计听过一个脑筋急转弯，说一个独木桥载重80公斤，为什么一个重70公斤的人可以拿着两个各重10公斤的球过桥？
答案是，这个人像杂技演员一样，轮流把球扔到空中，保证手里只有一个球。
不过大家仔细想想便会发现，这个题明显有bug。
你需要给球一个大于10公斤的力，才能让球加速上升；此时，球会给你一个大于10公斤的反作用力，这样就超过独木桥的载重了。
云是由小水滴组成的。
水的密度是空气密度的800多倍。
为什么云不会掉下来？
我操，这个问题太有型了！
我在反省自己，为什么小时候听说“云是由小水滴组成的”的时候，没有提出过这个问题呢？
这个问题的答案是，云就是会往下掉的，只不过下落的速度非常慢⋯⋯
云中的小水滴颗粒极小，因而小水滴受到的空气阻力，其数量级和自身重力相当。
计算可知，1微米的水滴下落速度约为0.13毫米每秒，也就是一天下降11米。
即使是10微米的水滴，下落速度也很慢，大约每天1.1千米。
如果不精确测量的话，我们是没办法观察到的。
详细计算过程可以见这里：
http:
//star.tau.ac.il/QUIZ/98/A10.98.html。
这让我想起一个冷知识：
蚂蚁是摔不死的，因为空气阻力和自身重力相当。
这又让我想起一个冷笑话：
蚂蚁从摩天大楼摔下去，是怎么死的？
答案是——饿死的。
利用蹦床一次，你可以跳到多高？
答案：
两倍原地起跳的高度。
蹦床自己既不会消耗能量，也不会提供能量，因而你跳到蹦床上以后，蹦床储存的弹性势能只能把你弹回到一次起跳的高度。
你在蹦床上再跳一次，便能跳到两倍高。
大家在电影的各种爆炸场面里都会看见这样一个情景：
一个正在倒下的烟囱，在倒下的过程中，会自己断成两截。
断裂处将出现在烟囱的什么位置？
这是MIT的一道入学考试题。
这个问题很漂亮。
在断裂之前，整个烟囱显然以一个相同的角速度在下落。
考虑烟囱的顶部，由于自身重力的影响，它
升级会员 