认识无理数教学设计.docx

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认识无理数教学设计

认识无理数教学设计

《认识无理数》教学设计平山乡后山小学：

陶旭

教学目标：

（一）知识目标:

1、通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性。

2、能判断给出的数是否为有理数；并能说出理由。

（二）能力训练目标:

1、让学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养学生的动手能力和合作精神。

2、通过回顾有理数的有关知识，让学生能正确地进行推理和判断，识别某些数是否为有理数，训练他们的思维判断能力。

（三）情感与价值观目标:

1、激励学生积极参与教学活动，提高学习数学的热情。

2、引导学生充分进行交流、讨论与探索等教学活动，培养他们合作与钻研精神。

3、了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的精神。

教学重点：

1、让学生经历无理数发现的过程。

感知生活中确实存在着不同于有理数的数。

2、会判断一个数是否为有理数。

教学难点：

1、把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程。

2、判断一个数是否为有理数。

教学过程：

（一）创设情境，导入新课：

讲故事：

（播放课件）

早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可用有理数去描述.后来，这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，他认为在生活中还存在除有理数之外的另一种数。

[师]到底谁的观点正确呢？

我们以前学的有理数范围是否能满足我们实际生活的需要呢？

这节课我们就共同来研究这个问题。

（板书课题）学生认真听故事。

做好学前准备。

（本环节设计意图：

以故事引入新课首先能激起学生的学习兴趣，同时让学生带着问题听讲新课会收到良好的效果。

）

1、分组活动：

[师]请学生拿出课前准备好的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形。

学生分小组讨论，组长带领组员动手剪、拼。

各小组组长展示自己的操作成果（利用投影仪）教师演示拼图过程（播放课件）

2、探索新知[师]a2=2中a是整数吗？

是分数吗？

[甲生]因为12=1，22=4所以a应在1和2之间，故a不能是整数。

[乙生]因为两个相同因数的乘积都为分数，所以a不可能是分数。

[师]同学们说的都不错，我们可以来回顾一下前面学过的有理数的范围。

[生]有理数包括整数、分数。

[师]经过我们刚才的分析可知，在a2=2中，a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数，但在现实生活中确实存在像a这样的数。

看来我们学的有理数的范围又不够用了。

3、做一做：

（播放课件）

（1）在下图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？

（2）正方形的边长为b，则b应满足什么条件？

b是有理数吗？

[师]我们先来回顾一下勾股定理的内容。

[生]在直角三角形中，若两条直角边长为a,b,斜边为c,则有a2+b2=c2。

[师]在这题中，根据勾股定理得b2=12+22,即b2=5,则b是有理数吗？

[甲生]因为22=4,32=9,所以b不可能是整数。

[乙生]没有两个相同的分数相乘得5,所以b不可能是分数。

[丙生]因为没有一个整数或分数的平方为5，所以b不可能有理数。

[师]同学们说的很正确，生活中确实存在不同于有理数的数，它就是——无理数。

下面我们继续看课前播放的故事。

（播放课件）

希伯索斯当时的发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，他们试图封锁这一发现，然而希伯索斯早己将这个发现偷偷传播出去了。

可是后来还是被毕氏围捕，投进了大海，从而献出了宝贵的生命。

但真理是不可战胜的，后来古希腊人证实了希伯索斯的发现。

[师]我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的，我们一方面应积极地学习这些经验，另一方面我们也不能死搬教条，要大胆质疑，如不这样科学就会永远停留在某处而不前进，要向古希腊的希伯索斯学习，学习他为捍卫真理而勇于献身的精神。

（本环节设计意图：

让学生分组讨论、合作、交流，培养了学生新的学习方法，加强了学生团结、协作的能力。

了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的精神。

）

（三）巩固练习，深化认识：

1、如图，正三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是整数吗？

可能是分数吗？

[师]找两生板演，其余在练习本上完成。

[生]由正三角形的性质可知BD=1，在Rt△ABD中，由勾股定理得h2=3。

h不可能是整数，也不可能是分数。

2、为了加固一个高2米、宽1米的大门，需要在对角线位置加固一条木板，设木板长为a米，则由勾股定理得a2=12+22，即a2=5，a的值大约是多少？

这个值可能是分数吗？

[生]a的值大约是2.2，这个值不可能是分数。

师总结，同时了解其余学生的做题情况。

（本环节设计意图：

练习的目的既是检查又是巩固、深化，帮助学生对本节课所学的知识形成更为清晰和深刻的认识，同时可以让学生在探索与被肯定当中获得积极的情感体验。

）

（四）课堂小结，课外延伸：

[师]通过今天这节课的学习你都有哪些收获？

[甲生]通过拼图活动，经历无理数产生的实际背景，我感受到生活中不仅有理数，还有无理数。

[乙生]会判断一个数是否为有理数。

（只要学生回答的有道理，教师就要给予肯定。

[师]希望同学们课后能在生活中寻找这类不同于有理数的数。

（本环节设计意图：

这部分有两个作用：

一是培养学生归纳梳理知识的良好学习习惯和能力；二是培养学生用数学的眼光观察生活，感受到数学和生活的联系，激发学生学习数学的兴趣。

）

（五）课后作业：

1、必做题：

课本习题

2、选做题：

课本“试一试”

（本环节设计意图：

考虑学生的实际情况分层布置作业，必做题面向全体，让学生在巩固知识的同时，有一定的创新空间，选做题供学有余力的同学研究、提高。

）

第二章实数

1认识无理数

【知识与技能】

1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的必要性.2.借助计算器探索无理数是无限不循环小数.3.会判断一个数是有理数还是无理数.【过程与方法】

让学生亲自动手做拼图活动，培养学生的动手能力和合作精神，通过辨别一个数是有理数还是无理数，训练大家的思维判断能力.【情感态度】

1.了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的献身精神.2.让学生理解估算的意义，掌握估算的方法，发展学生的数感和估算能力.【教学重点】1.无理数的探索过程.2.了解无理数与有理数的区别，并能正确判断.【教学难点】

把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.

一、创设情境，导入新课

同学们，我们上了好多年的学，学过不计其数的数，概括起来我们都学过哪些数呢？

在小学我们学过自然数、小数、分数.在初一我们还学过负数.对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否能满足我们实际生活的需要呢？

下面我们就来共同研究这个问题.【教学说明】随着学习的深入，知识层次的提高，有理数的范围不能适应现代生活的需要，这就要对数进行扩充，为学生学习新知识作准备.

二、思考探究，获取新知无理数的概念拼一拼：

请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？

【教学说明】通过小组合作交流，动手操作得到一个大的正方形，学生非常高兴地投入到活动中，调动了学生的积极性.同学们展示，拼图的结果.

下面大家共同思考一个问题，假设拼成大正方形的边长为a，则a应满足什么条件呢？

【教学说明】探索拼图的过程，对于学生理解大正方形的边长是a是不是有理数很有帮助.【归纳结论】因为12=1，22=4，32=9，……整数的平方越来越大，所以a应在1和2之间，故a不可能是整数，又（1/2）2=1/4，

（1/3）2=1/9，（2/3）2=4/9，…两个相同因数的乘积都为分数，所以a不可能是分数.做一做：

大家判断一下3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？

说说你的理由.【教学说明】结合图形，让学生进一步理解面积为2的正方形边长不是有理数，而是一种新数.同学们能不能确定一下面积为2的正方形的边长为a的大致范围呢？

请大家用计算器探索，用表格的形式整理如下.

还可以进行下去吗？

a是有限小数吗？

【教学说明】教师引导学生探索，让学生对这种不是有理数的新数有了初步的认识，为下面引出无理数的概念打下了基础.【归纳结论】像这种无限不循环小数就叫做无理数.如：

圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，0.5858858885…（相邻两个5之间8的个数逐次加1）也是一个无限不循环小数，它们都是无理数.，它们都能化成有限小数或循环小数，这些数都是有理而3，45，0.38，0.17数.

（1）有理数与无理数的差都是有理数.

（2）无限小数都是无理数.（3）无理数都是无限小数.（4）两个无理数的和不一定是无理数.2.下列各数中，哪些是有理数？

哪些是无理数？

0.351，-23，4.9·6·，3.14159，-5.2323332…，123456789101112…（由相继的正整数组成）.在下列每一个圈里，至少填入三个适当的数.

【教学说明】学生自主完成，加深了对无理数的理解以及有理数与无理数的区别所在，让学生的疑难及时得到矫正与强化.【答案】1.

（1）；

（2）；（3）√；（4）√；

，3.14159；-5.2323332…，123456789101112…（由2.0.351，-2/3，4.96相继的正整数组成）.

四、师生互动，课堂小结

通过本节课的学习，你是如何判断一个数是有理数还是无理数？

还有哪些困难？

【教学说明】引导学生寻找知识点间的区别和联系，加深对易错点的理解，有助于学生正确解题.

1.习题2.2第

1、

2、3题.2.完成本课时练习部分.

这节课的内容是无理数的概念以及判断一个数是有理数还是无理数.是数的范围的又一次扩充，是很重要的一节.培养了学生分类归纳的思想.但对概念的理解掌握一些同学还不是很好，只能在以后的教学过程中不断的完善.

2.1认识有理数

（1）教学目标知识与技能

1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.2.能判断给出的数是否为有理数；并能说出现由.过程与方法

1.让学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养大家的动手能力和合作精神.2.通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断，识别某些数是否为有理数，训练他们的思维判断能力.情感与价值观

1.激励学生积极参与教学活动，提高大家学习数学的热情.2.引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与钻研精神.3.了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的精神.教学重点

1.让学生经历无理数发现的过程.感知生活中确实存在着不同于有理数的数.2.会判断一个数是否为有理数.教学难点

1.把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.2.判断一个数是否为有理数.教学方法

教师引导，主要由学生分组讨论得出结果.教学过程

一、创设问题情境,引入新课

［师］同学们,我们学过不计其数的数,概括起来我们都学过哪些数呢?

［生］在小学我们学过自然数、小数、分数.［生］在初一我们还学过负数.［师］对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？

下面我们就来共同研究这个问题.二、讲授新课

1.问题的提出

［师］请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？

［生］好.（学生非常高兴地投入活动中）.［师］经过大家的共同努力，每个小组都完成了任务，请各组把拼的图展示一下.同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师.［师］现在我们一齐把大家的做法总结一下：

下面请大家思考一个问题，假设拼成大正方形的边长为a，则a应满足什么条件呢？

［生甲］a是正方形的边长，所以a肯定是正数.［生乙］因为两个小正方形面积之和等于大正方形面积，所以根据正方形面积公式可知a2=2.［生丙］由a2=2可判断a应是1点几.［师］大家说得都有道理，前面我们已经总结了有理数包括整数和分数，那么a是整数吗？

a是分数吗？

请大家分组讨论后回答.［生甲］我们组的结论是：

因为12=1，22=4，32=9，…整数的平方越来越大，所以a应在1和2之间，故a不可能是整数.［生乙］因为111224111,,，…两个相同因数的乘积都为分数，所224339339以a不可能是分数.［师］经过大家的讨论可知，在等式a2=2中，a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数，但在现实生活中确实存在像a这样的数，由此看来，数又不够用了.2.做一做投影片

（1）在下图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？

（2）设该正方形的边长为b，则b应满足什么条件？

b是有理数吗？

［师］请大家先回忆一下勾股定理的内容.［生］在直角三角形中，若两条直角边长为a，b，斜边为c，则有a2+b2=c2.［师］在这题中，两条直角边分别为1和2，斜边为b，根据勾股定理得b2=12+22，即b2=5，则b是有理数吗？

请举手回答.［生甲］因为22=4，32=9，4＜5＜9，所以b不可能是整数.［生乙］没有两个相同的分数相乘得5，故b不可能是分数.［生丙］因为没有一个整数或分数的平方为5，所以5不是有理数.［师］大家分析得很准确，像上面讨论的数a，b都不是有理数，而是另一类数——无理数.关于无理数的发现是付出了昂贵的代价的.早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可用有理数去描述.后来，这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，据说为此希伯索斯被投进了大海，他为真理而献出了宝贵的生命，但真理是不可战胜的，后来古希腊人终于正视了希伯索斯的发现.也就是我们前面谈过的a2=2中的a不是有理数.我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的，我们一方面应积极地学习这些经验，另一方面我们也不能死搬教条，要大胆质疑，如不这样科学就会永远停留在某处而不前进，要向古希腊的希伯索斯学习，学习他为捍卫真理而勇于献身的精神.三、课堂练习

（一）课本随堂练习

如图，正三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是整数吗？

可能是分数吗？

解：

由正三角形的性质可知BD=1，在Rt△ABD中，由勾股定理得h2=3.h不可能是整数，也不可能是分数.

（二）补充练习

为了加固一个高2米、宽1米的大门，需要在对角线位置加固一条木板，设木板长为a米，则由勾股定理得a2=12+22，即a2=5，a的值大约是多少？

这个值可能是分数吗？

解：

a的值大约是2.2，这个值不可能是分数.四、课堂小结

1.通过拼图活动，经历无理数产生的实际背景，让学生感受有理数又不够用了.2.能判断一个数是否为有理数.五、课后作业：

见作业本。

第二章实数

1认识无理数

【知识与技能】

1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的必要性.2.借助计算器探索无理数是无限不循环小数.3.会判断一个数是有理数还是无理数.【过程与方法】

让学生亲自动手做拼图活动，培养学生的动手能力和合作精神，通过辨别一个数是有理数还是无理数，训练大家的思维判断能力.【情感态度】

1.了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的献身精神.2.让学生理解估算的意义，掌握估算的方法，发展学生的数感和估算能力.【教学重点】1.无理数的探索过程.2.了解无理数与有理数的区别，并能正确判断.【教学难点】

把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.

一、创设情境，导入新课

同学们，我们上了好多年的学，学过不计其数的数，概括起来我们都学过哪些数呢？

在小学我们学过自然数、小数、分数.在初一我们还学过负数.对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范梯田文化

教辅专家

围是否能满足我们实际生活的需要呢？

下面我们就来共同研究这个问题.【教学说明】随着学习的深入，知识层次的提高，有理数的范围不能适应现代生活的需要，这就要对数进行扩充，为学生学习新知识作准备.

二、思考探究，获取新知无理数的概念拼一拼：

请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？

【教学说明】通过小组合作交流，动手操作得到一个大的正方形，学生非常高兴地投入到活动中，调动了学生的积极性.同学们展示，拼图的结果.

下面大家共同思考一个问题，假设拼成大正方形的边长为a，则a应满足什么条件呢？

【教学说明】探索拼图的过程，对于学生理解大正方形的边长是a是不是有理数很有帮助.【归纳结论】因为12=1，22=4，32=9，……整数的平方越来越大，所以a应在1和2之间，故a不可能是整数，又（1/2）2=1/4，

（1/3）2=1/9，（2/3）2=4/9，…两个相同因数的乘积都为分数，所以a不可能是分数.做一做：

梯田文化

教辅专家

大家判断一下3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？

说说你的理由.【教学说明】结合图形，让学生进一步理解面积为2的正方形边长不是有理数，而是一种新数.同学们能不能确定一下面积为2的正方形的边长为a的大致范围呢？

请大家用计算器探索，用表格的形式整理如下.

还可以进行下去吗？

a是有限小数吗？

【教学说明】教师引导学生探索，让学生对这种不是有理数的新数有了初步的认识，为下面引出无理数的概念打下了基础.【归纳结论】像这种无限不循环小数就叫做无理数.如：

圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，0.5858858885…（相邻两个5之间8的个数逐次加1）也是一个无限不循环小数，它们都是无理数.，它们都能化成有限小数或循环小数，这些数都是有理数.而3，45，0.38，0.17

三、运用新知，深化理解

梯田文化

教辅专家

1.判断题

（1）有理数与无理数的差都是有理数.

（2）无限小数都是无理数.（3）无理数都是无限小数.（4）两个无理数的和不一定是无理数.2.下列各数中，哪些是有理数？

哪些是无理数？

0.351，-23，4.9·6·，3.14159，-5.2323332…，123456789101112…（由相继的正整数组成）.在下列每一个圈里，至少填入三个适当的数.

【教学说明】学生自主完成，加深了对无理数的理解以及有理数与无理数的区别所在，让学生的疑难及时得到矫正与强化.【答案】1.

（1）；

（2）；（3）√；（4）√；

，3.14159；-5.2323332…，123456789101112…（由2.0.351，-2/3，4.96相继的正整数组成）.

四、师生互动，课堂小结

通过本节课的学习，你是如何判断一个数是有理数还是无理数？

还有哪些困难？

【教学说明】引导学生寻找知识点间的区别和联系，加深对易错点的理解，有助于学生正确解题.

1.习题2.2第

1、

2、3题.2.完成本课时练习部分.

梯田文化

教辅专家

这节课的内容是无理数的概念以及判断一个数是有理数还是无理数.是数的范围的又一次扩充，是很重要的一节.培养了学生分类归纳的思想.但对概念的理解掌握一些同学还不是很好，只能在以后的教学过程中不断的完善.

梯田文化教辅专家

第二章实数

1.认识无理数（第1课时）

二、教学任务分析

《数不够用了》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章《实数》的第一节．本节内容安排了2个课时完成，第1课时让学生感受无理数的存在，初步建立无理数的印象，结合勾股定理知识，会根据要求画线段；第2课时借助计算器感受无理数是无限不循环小数，会判断一个数是无理数．本课是第1课时，学生将在具体的实例中，通过操作、估算、分析等活动，感受无理数的客观存在性和引入的必要性，并能判断一个数是不是有理数．

本节课的教学目标是：

①通过拼图活动，让学生感受客观世界中无理数的存在；

②能判断三角形的某边长是否为无理数；

③学生亲自动手做拼图活动，培养学生的动手能力和探索精神；

④能正确地进行判断某些数是否为有理数，加深对有理数和无理数的理解；

三、教学过程设计

本节课设计了6个教学环节：

第一环节：

置疑；第二环节：

课题引入；第三环节：

获取新知；第四环节：

应用与巩固；第五环节：

课堂小结；第六环节：

作业布置．

第一环节：

质疑

内容：

【想一想】

⑴一个整数的平方一定是整数吗？

⑵一个分数的平方一定是分数吗？

目的：

作必要的知识回顾，为第二环节埋下伏笔，便于后续问题的说理．效果：

为后续环节的进行起了很好的铺垫的作用

第二环节：

课题引入

内容：

1．【算一算】

已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，算一算斜边长x的平方，并提出问题：

x是整数（或分数）吗？

2．【剪剪拼拼】

把边长为1的两个小正方形通过剪、拼，设法拼成一个大正方形，你会吗？

目的：

选取客观存在的“无理数“实例，让学生深刻感受“数不够用了”．效果：

巧设问题背景，顺利引入本节课题．

第三环节：

获取新知

内容：

【议一议】→【释一释】→【忆一忆】→【找一找】

【议一议】：

已知a22，请问：

①a可能是整数吗？

②a可能是分数吗？

【释一释】：

释1．满足a22的a为什么不是整数？

释2．满足a22的a为什么不是分数？

【忆一忆】：

让学生回顾“有理数”概念，既然a不是整数也不是分数，那么a一定不是有理数，这表明：

有理数不够用了，为“新数”（无理数）的学习奠定了基础

【找一找】：

在下列正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找出长度不是有理数的线段

目的：

创设从感性到理性的认知过程，让学生充分感受“新数”（无理数）的存在，从而激发学习新知的兴趣

效果：

学生感受到无理数产生的过程，确定存在一种数与以往学过的数不同，产生了学习新数的必要性．

第四环节：

应用与巩固

内容：

【画一画1】→【画一画2】→【仿一仿】→【赛一赛】

【画一画1】：

在右1的正方形网格中，画出两条线段：

1．长度是有理数的线段

2．长度不是有理数的线段

【画一画2】：

在右2的正方形网格中画出四个三角形

（右1）2．三边长都是有理数

2．只有两边长是有理数3．只有一边长是有理数

4．三边长都不是有理数

【仿一仿】：

例：

在数轴上表示满足x22x0的x

解：

（右2）

仿：

在数轴上表示满足x25x0的x

【赛一赛】：

右3是由五个单位正方形组成的纸片，请你把

它剪成三块，然后拼成一个正方形，你会吗？

试试看！

（右3）

目的：

进一步感受“新数”的存在，而且能把“新数”表示在数轴上

效果：

加深了对“新知”的理解，巩固了本课所学知识．

第五环节：

课堂小结

内容：

1．通过本课学习，感受有理数又不够用了，请问你有什么收获与体会？

2．客观世界中，的确存在不是有理数的数，你能列举几个吗？

3．除了本课所认识的非有理数的数以外，你还能找到吗？

目的：

引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，使知识系统化．效果：

学生总结、相互补充，学会进行概括总结．

第六环节：

布置作业

习题2.1

六、教学设计反思

（一）生活是数学的源泉，兴趣是学习的动力

大量事实都证明一点，与生活贴得越近的东西最容易引起学习者的浓厚兴趣，才能激发学习者的学习积极性，学习才可能是主动的．本节课中教师首先用拼图游戏引发学生学习的欲望，把课程内容通过学生的生活经验呈现出来，然后进行大胆置疑，生活