多边形的内外角和及对角线.docx

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多边形的内外角和及对角线

多边形的内、外角和及对角线

多边形的内角和

三角形

三角形的内角和为180°

四边形

四边形的内角和是多少呢？

对于四边形，我们可以通过连接对角线AC，分割成两个三角形来计算内角和

如图所示

∠1+∠2+∠B=180°   ······①

∠3+∠4+∠D=180°    ······②

①+②

得∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D=360°

所以∠BAD+∠B+∠BCD+∠D=360°

所以，四边形内角和为360°

五边形

思考：

五边形的内角和为多少？

同样的方法，连接AC、AD，五边形ABCDE分割成了3个三角形

所以，五边形的内角和为180°×3=540°

六边形

对于六边形，采取同样的方法进行分割

可以发现，六边形被分割成了4个三角形，故六边形的内角和为180°×4=720°

七边形

同理，七边形的内角和为180°×5=900°

n边形

通过上述几个图形的探究我们发现，一个n边形可以通过从一个定顶点作对角线的方法，分割成（n-2）个三角形，故n边形的内角和为（n-2）×180°

多边形的外角和

研究完内角，让我们来看看外角

三角形

对于三角形

∠1=180°-∠BAC

∠2=180°-∠ABC

∠3=180°-∠ACB

所以

∠1+∠2+∠3=180°-∠BAC+180°-∠ABC+180°-∠ACB

∠1+∠2+∠3=540°-（∠BAC+∠ABC+∠ACB）

∠1+∠2+∠3=540°-180°=360°

即∠1+∠2+∠3=360°

四边形

对于四边形

∠1=180°-∠BAD

∠2=180°-∠ABC

∠3=180°-∠BCD

∠4=180°-∠ADC

所以

∠1+∠2+∠3+∠4=180°-∠BAD+180°-∠ABC+180°-∠BCD+180°-∠ADC

∠1+∠2+∠3+∠4=720°-（∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC）

∠1+∠2+∠3+∠4=720°-360°=360°

即∠1+∠2+∠3+∠4=360°

五边形

同理，我们可以证明，五边形的内角和为360°

n边形

通过上述方式，可以得到，对于n边形来说他们的外角和均为360°

多边形对角线数量

四边形

对于四边形

从点A出发，可以与除自身及相邻两个点外的点连接形成对角线，有AC

从点B出发，可以与除自身及相邻两个点外的点连接形成对角线，有BD

从点C出发，可以与除自身及相邻两个点外的点连接形成对角线，有CA

从点D出发，可以与除自身及相邻两个点外的点连接形成对角线，有DB

我们发现，从四边形的每个点出发，可以构造4-3=1条对角线，总共有4个顶点，可以构造4条对角线，但其中AC与CA是一条，BD与DB是一条，每条对角线重复一次

因此，四边形的对角线数量为2条

五边形

对于五边形

从点A出发，可以与除自身及相邻两个点外的点连接形成对角线，有AC、AD两条

从B点出发，可以与除自身及相邻两个点外的点连接形成对角线，有BD、BE两条

从C点出发，可以与除自身及相邻两个点外的点连接形成对角线，有CE、CA两条

从D点出发，可以与除自身及相邻两个点外的点连接形成对角线，有DA、DB两条

从E点出发，可以与除自身及相邻两个点外的点连接形成对角线，有EB、EC两条

从五边形的每个点出发，可以构造5-3=2条对角线，总共有5个顶点，可以构造2×5=10条对角线，但其中两两重复

因此，五边形的对角线数量为10÷2=5条

n边形

对于n边形来说，从每个顶点出发可以得到（n-3）条对角线，n个顶点可以构造n×（n-3）条对角线，但其中两两重复，故n边形的对角线数量为n（n-3）/2条