算法初步精简复习.docx

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算法初步精简复习

算法初步

重点与难点：

重点：

算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。

难点：

把自然语言转化为算法语言。

概念：

我们小时就开始接触算法，像珠心算，求方程的解等。

算法即算术方法，是指一个由已知推求未知的运算过程。

广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序。

菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，歌谱是一首歌曲的算法。

在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。

比如解方程的算法、函数求值的算法、作图的算法，等等。

写出的算法要求：

1、写出的算法，必须能解决一类问题（如：

判断一个整数n（n>1）是否为质数；求任意一个方程的近似解；……），并且能够重复使用。

2、要使算法尽量简单、步骤尽量少。

3、要保证算法正确，且计算机能够执行，如：

让计算机计算1×2×3×4×5是可以做到的，但让计算机去执行“倒一杯水”“替我理发”等则是做不到的。

秦九韶算法：

通过一次式的反复计算逐步得出高次多项式的值，对于一个n次多项式，只要作n次乘法和n次加法即可。

表达式如下：

例题分析：

例1任意给定一个大于1的整数n，试设计一个程序或步骤对n是否为质数做出判定。

算法分析：

根据质数的定义，很容易设计出下面的步骤：

第一步：

判断n是否等于2，若n=2，则n是质数；若n>2，则执行第二步。

第二步：

依次从2至（n-1）检验是不是n的因数，即整除n的数，若有这样的数，则n不是质数；若没有这样的数，则n是质数。

例2用二分法设计一个求议程x2–2=0的近似根的算法。

算法分析：

回顾二分法解方程的过程，并假设所求近似根与准确解的差的绝对值不超过0.005，则不难设计出以下步骤：

第一步：

令f（x）=x2–2。

因为f

（1）<0，f

（2）>0，所以设x1=1，x2=2。

第二步：

令m=（x1+x2）/2，判断f（m）是否为0，若则，则m为所长；若否，则继续判断f（x1）·f（m）大于0还是小于0。

第三步：

若f（x1）·f（m）>0，则令x1=m；否则，令x2=m。

第四步：

判断|x1–x2|<0.005是否成立？

若是，则x1、x2之间的任意取值均为满足条件的近似根；若否，则返回第二步。

小结：

算法具有以下特性：

（1）有穷性；

（2）确定性；（3）顺序性；（4）不惟一性；（5）普遍性

x-2y=-1,①

例3写出解二元一次方程组的算法

2x+y=1②

第一步：

取A1=1，B1=-2，C1=1，A2=2，B2=1，C2=-1；

第二步：

计算

与

第三步：

输出运算结果。

例4写出一个求有限整数列中的最大值的算法。

解：

S1先假定序列中的第一个整数为“最大值”。

S2将序列中的下一个整数值与“最大值”比较，如果它大于此“最大值”，这时你就假定“最大值”是这个整数。

S3如果序列中还有其他整数，重复S2。

S4在序列中一直到没有可比的数为止，这时假定的“最大值”就是这个序列中的最大值。

小题：

写出对任意3个整数a,b,c求出最大值的算法。

在例4中我们是用自然语言来描述算法的，下面我们用数学语言来描述本题的算法。

S1max=a

S2如果b>max,则max=b.

S3如果C>max,则max=c.

S4max就是a,b,c中的最大值。

综合应用题

例5写出求1+2+3+4+5+6的一个算法。

分析：

可以按逐一相加的程序进行，也可以利用公式1+2+…+n=

进行，也可以根据加法运算律简化运算过程。

算法1：

S1：

计算1+2得到3；S2：

将第一步中的运算结果3与3相加得到6；S3：

将第二步中的运算结果6与4相加得到10；S4：

将第三步中的运算结果10与5相加得到15S5：

将第四步中的运算结果15与6相加得到21。

算法2：

S1：

取n=6；S2：

计算

；S3：

输出运算结果。

小结：

算法1是最原始的方法，最为繁琐，步骤较多，当加数较大时，比如1+2+3+…+10000，再用这种方法是行不通的；算法2比较简单，且易于在计算机上执行操作。

小题;求1×3×5×7×9×11的值，写出其算法。

算法：

用P表示被乘数，i表示乘数。

S1使P=1。

S2使i=3S3使P=P×i

S4使i=i+2S5若i≤11，则返回到S3继续执行；否则算法结束。

小结在上面的算法中，S3，S4，S5构成一个完整的循环，这里需要说明的是，每经过一次循环之后，变量P、i的值都发生了变化，并且生循环一次之后都要在步骤S5对i的值进行检验，一旦发现i的值大于11时，立即停止循环，同时输出最后一个P的值

算法小结

算法的描述可以用自然语言，也可以用数学语言。

例如，某同学要在下午到体育馆参加比赛，比赛下午2时开始，请写出该同学从家里发到比赛地的算法。

若用自然语言来描述可写为

（1）1:

00从家出发到公共汽车站

（2）1:

10上公共汽车（3）1:

40到达体育馆

（4）1:

45做准备活动。

（5）2:

00比赛开始。

若用数学语言来描述可写为：

S11:

00从家出发到公共汽车站S21:

10上公共汽车S31:

40到达体育馆

S41:

45做准备活动S52:

00比赛开始

大家从中要以看出，实际上两种写法无本质区别，但我们在书写时应尽量用教学语言来描述，

2．算法框图的基本结构及设计

2.1顺序结构与选择结构

1）顺序结构：

顺序结构描述的是是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的。

例2：

已知一个三角形的三边分别为2、3、4，利用海伦公式设计一个算法，求出它的面积，并画出算法的程序框图。

算法分析：

这是一个简单的问题，只需先算出p的值，再将它代入公式，最后输出结果，只用顺序结构就能够表达出算法。

程序框图：

2）条件结构：

一些简单的算法可以用顺序结构来表示，但是这种结构无法对描述对象进行逻辑判断，并根据判断结果进行不同的处理。

因此，需要有另一种逻辑结构来处理这类问题，这种结构叫做条件结构。

它是根据指定打件选择执行不同指令的控制结构。

例3：

任意给定3个正实数，设计一个算法，判断分别以这3个数为三边边长的三角形是否存在，画出这个算法的程序框图。

算法分析：

判断分别以这3个数为三边边长的三角形是否存在，只需要验收这3个数当中任意两个数的和是否大于第3个数，这就需要用到条件结构。

程序框图：

a+b>c,a+c>b,b+c>a是否

否同时成立？

是

2.2变量与赋值

一般格式是：

变量=表达式

赋值语句中的“=”叫做赋值号。

赋值符号“＝”也可以写成“

”或“

”

注：

①赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。

如：

2=X是错误的。

②赋值号左右不能对换。

如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的。

赋值号“=”与数学中的等号意义不同。

【例题精析】例1：

编写程序，计算一个学生数学、语文、英语三门课的平均成绩。

分析：

先写出算法，画出程序框图，再进行编程。

算法：

程序：

例2：

交换两个变量A和B的值，并输出交换前后的值。

分析：

引入一个中间变量X,将A的值赋予X,又将B的值赋予A，再将X的值赋予B，从而达到交换A，B的值。

（比如交换装满水的两个水桶里的水需要再找一个空桶）

程序：

〖补例〗：

编写一个程序，要求输入一个圆的半径，便能输出该圆的周长和面积。

（

取3.14）

分析：

设圆的半径为R，则圆的周长为

，面积为

，可以利用顺序结构中的INPUT语句，PRINT语句和赋值语句设计程序。

程序：

2.3循环结构：

在一些算法中，也经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这种结构称为循环结构.

循环结构的算法流程图：

循环结构的有关概念：

循环体：

反复执行的处理步骤称为循环体.

计数变量：

在循环结构中，通常都有一个起到循环计数作用的变量，这个变量的取值一般都含在执行或终止循环体的条件中.

当型循环：

在每次执行循环体前对控制循环条件进行判断，当条件满足时执行循环体，不满足则停止.

直到型循环：

在执行了一次循环体之后，对控制循环体进行判断，当条件不满足时执行循环体，满足则停止.

例1：

例1设计一算法，求和:

1+2+3+…+100画出解答此问题算法的程序框图.

算法：

第一步：

确定首数a，尾数b，项数n；第二步：

利用公式“总和=（首数+尾数）×项数/2”求和；第三步：

输出求和结果。

程序框图：

7、循环语句的两种类型：

当型和直到型.当型循环语句先对条件判断，根据结果决定是否执行循环体；直到型循环语句先执行一次循环体，再对一些条件进行判断，决定是否继续执行循环体.两种循环语句的语句结构及框图如右.说明：

“循环体”是由语句组成的程序段，能够完成一项工作.注意两种循环语句的区别及循环内部改变循环的条件.

例题：

将步骤A和步骤B交换位置，结果会怎样？

能达到预期结果吗？

为什么？

要达到预期结果，还需要做怎样的修改？

答：

达不到预期结果；当i=100时，退出循环，i的值未能加入到Sum中；修改的方法是将判断条件改为i<101

三、巩固提高1、设计一算法，求积:

1×2×3×…×100，画出流程图

四、小结：

1.算法的基本逻辑结构有三种即顺序结构、条件结构和循环结构。

其中顺序结构是最简单的结构，也是最基本的结构，循环结构必然包含条件结构，2．循环结构要在某个条件下终止循环，这就需要条件结构来判断。

因此，循环结构中一定包含条件结构，但不允许“死循环”。

3．在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。

计数变量用于记录循环次数，累加变量用于输出结果。

计数变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次，计数一次。

3几种基本语句

3.1条件语句

一、问题

1．问题1：

某居民区的物业管理部门每月按以下方法收取卫生费：

3人和3人以下的住户，每户收取5元；超过3人的住户，每超出1人加收1.2元．试设计算法，根据输入的人数计算应收取的卫生费？

若用

（单位：

元）表示应收取的费用，

表示住户的人口数，则

．

具体算法步骤如下：

S1输入

；S2若

，则

，否则

；

S2输出

．

流程图如右图所示．从流程图可以看出这是一个选择结构，

我们可以用条件语句来实现该过程．

1．条件语句：

条件语句的一般形式为：

If—then—Else（如图1所示），对应的程序框图为图2。

“条件A”表示判断的条件，“

Endif表示条件语句的结束。

计算机在执行时，首先对If后的条件进行判断，如果符合条件A，则执行Then后面的语句1；若不符合条件A，则执行Else后面的语句2。

例题：

例1．写出输入两个数a和b，将较大的数打印出来的算法，

，并画出流程图．算法：

S1输入a,b；S2若a>b，则输出a，否则输出b．

例2．儿童乘坐火车时，若身高不超过1.1m，则无需购票；若身高超过1.1m到不超过1.4m，可买半票；若超过1.4m，应买全票．试设计一个购票的算法，写出伪代码，并画出流程图．

解：

算法步骤为：

S1测量儿童身高

；

S2如果

，那么免费乘车；否则，如果

，那么购买半票乘车；否则，购买全票乘车．

伪代码：

流程图：

Read

If

Then

Print免费乘车

ElseIf

Then

Print半票乘车

Else

Print全票乘车

EndIf

例3．已知函数

，试写出计算

值的一个算法．

解：

可以用条件语句表示这类分段函数的算法：

Readx流程图：

Ifx>0Then

y←1

ElseIfx=0Then

y←0

Else

y←

EndIf

Printy

3.2循环语句

思考1:

计算1+2+3+…+100的值有如下算法:

第一步，令i=1，S=0.

第二步，计算S+i，仍用S表示.

第三步，计算i+1，仍用i表示.

第四步，判断i>100是否成立.若是，则输出S，结束算法；否则，返回第二步.

使用until语句

思考1思考2思考3

思考2:

计算1+2+3+…+100的值又有如下算法:

第一步，令i=1，S=0.

第二步，若i≤100成立，则执行第三步；否则，输出S，结束算法.

第三步，S=S+i.

第四步，i=i+1，返回第二步.利用WHILE语句写出这个算法对应的程序

思考3:

阅读下面的程序，你能说明它是一个

什么问题的算法吗？

求满足x2<1000的所有正整数x的值.

例2将用“二分法”求方程的近似解的程序框图转化为相应的程序.