431三角形等高模型与鸟头模型一学生版.docx
《431三角形等高模型与鸟头模型一学生版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《431三角形等高模型与鸟头模型一学生版.docx（51页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
431三角形等高模型与鸟头模型一学生版
板块一三角形等高模型
我们已经知道三角形面积的计算公式：
三角形面积二底高亠2
从这个公式我们可以发现：
三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积.
如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；
如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；
这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化•但是，当三角形的底和高同时发生
1
变化时，三角形的面积不一定变化.比如当高变为原来的3倍，底变为原来的-，则三角形面积与原来的一
3
样•这就是说：
一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化•同时
也告诉我们：
一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状.
在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论:
1等底等高的两个三角形面积相等；
2两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图S,:
S2=a:
b
3夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图$△ACDBCD；
反之，如果SaacdBCD，则可知直线AB平行于CD•
4等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；
5三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
6两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.
【例1】你有多少种方法将任意一个三角形分成：
⑴⑶6个面积相等的三角形.
3个面积相等的三角形；⑵4个面积相等的三角形;
【例2】如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上.
⑴求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？
⑵求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？
A
C
【例3】如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米.
【巩固】（2009年四中小升初入学测试题）如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是
平方厘米.
【巩固】如下图，长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD，长方形ABCD的长是20,宽是12，则它内部阴影部分的面积是.
B
E
C
【例4】如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点,AD边上的任意一点，求阴影部分的面积.
【巩固】图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部
分的面积是.
【例5】长方形ABCD的面积为36,E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？
【巩固】在边长为
6厘米的正方形ABCD内任取一点
P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分,
分别与P点连接,求阴影部分面积.
【例6】如右图，E在AD上，AD垂直
EBC面积的几倍？
BC,
AD=12厘米,
DE=3厘米.求三角形ABC的面积是三角形
C
【例7】
如图，在平行四边形一共有哪几个三角形?
ABCD中，EF平行AC,连结BE、AE、CF、BF那么与△BEC等积的三角形
【巩固】如图，在△ABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE，那么与△ABE等积的三角形一共有哪几个三角形？
C
【巩固】如图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对?
C
【例8】
D
D
如图，三角形ABC的面积为1,其中AE=3AB，BD=2BC，三角形BDE的面积是多少?
【例9】如右图，AD二DB,AE=EF=FC，已知阴影部分面积为5平方厘米，.\ABC的面积是平
方厘米.
【巩固】图中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍，EF的长是BF长的3倍•那么三角形AEF的面积是多少平方厘米？
D
【巩固】如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB=24厘米，BC=8厘米，求三角形ZCY的面积.
【巩固】如图，三角形ABC的面积是24,D、E和F分别是BC、AC和AD的中点.求三角形DEF的面积.
A
C
【巩固】如图，在三角形ABC中，BC=8厘米，高是6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？
【例10】如图所示,
A、B、C都是正方形边的中点,
△COD比厶AOB大15平方厘米。
△AOB的面积为
平方厘米。
36个平
G
C
F
B
【例11】如图ABCD是一个长方形，点E、F和G分别是它们所在边的中点•如果长方形的面积是方单位，求三角形EFG的面积是多少个平方单位.
【巩固】如图，长方形ABCD的面积是1,M是AD边的中点，N在AB边上，且2AN=BN.那么，阴影部
分的面积是多少?
【例12】如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、组合而成•求阴影部分的面积.
48平方厘米的四个小长方形
2
12cm2
2
血4cm2
48cm2
12cm2
M
1
N
48cm2
AB
CD
【例13】图中ABCD是个直角梯形（/DAB=/ABC=90°,以AD为一边向外作长方形ADEF，其面积为6.36平方厘米。
连接BE交AD于P,再连接PC。
则图中阴影部分的面积是（）平方厘米。
（A）6.36（B）3.18
（C）2.12
F
A
（D）1.59
【例14】如图，BC是半径为6的圆0上的弦，且BC的长度与圆的半径相等，A是圆外的一点，OA的长
度为12，且0A与BC平行，那么图中阴影部分的面积是。
（冗=3.14）
【巩固】在下图中，A为半径为3的O0外一点。
弦BC//A0且BC=3。
连结AC。
阴影面积等于.（二=3.14）
【例15】如图，三角形ABC中，DC=2BD,CE=3AE，三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形ABC的面积是多少？
【例16】如图，在三角形ABC中，已知三角形ADE、三角形DCE、三角形BCD的面积分别是89,28,26.那么三角形DBE的面积是.
E
【例17】如图，梯形ABCD被它的一条对角线BD分成了两部分.三角形BDC的面积比三角形ABD的面积大10平方分米.已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米.求梯形ABCD
的面积.
【例
18】
图中AOB的面积为15cm2，线段0B的长度为0D的3倍，求梯形ABCD的面积.
【例19】如图，把四边形
ABCD改成一个等积的三角形.
D
【例20】一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的
21cm2.问：
长方形的面积是多少平方厘米？
15%，黄色三角形面积是
【例21】O是长方形ABCD内一点，已知「QBC的面积是5cm2,OAB的面积是2cm2，求OBD的面积是多少？
【例22】如右图，过平行四边形ABCD内的一点P作边的平行线EF、GH，若PBD的面积为8平方分米,
求平行四边形PHCF的面积比平行四边形PGAE的面积大多少平方分米?
【例23】如右图，正方形ABCD的面积是20，正三角形
BPC的面积是15，求阴影BPD的面积.
C
【巩固】如右图，正方形
【例24】在长方形ABCD内部有一点0,形成等腰AOB的面积为16,等腰DOC的面积占长方形面积的
18%，那么阴影M0C的面积是多少？
【例25】如右图所示，在梯形ABCD中，E、F分别是其两腰AB、CD的中点，G是EF上的任意一点,
已知AADG的面积为
2
15cm，而.BCG的面积恰好是梯形
则梯形ABCD的面积
2cm
ABCD面积的—，
【例26】如图所示，四边形ABCD与AEGF都是平行四边形，请你证明它们的面积相等.
FF
【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？
【例27】如图，正方形
【例28】如图,
积.
E
F
A
B
E
F
A
B
ABCD的边长为6,AE=1.5,
CF=2.长方形EFGH的面积为
G
ABCD为平行四边形，EF平行AC,如果ADE的面积为4平万厘米.求三角形
CDF的面
【巩固】如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S^ADE=1，求ABEF
的面积.
【例29】梯形ABCD中，AE与DC平行，S.abe=15,Sbcf二
an
【例30】图中两个正方形的边长分别是
6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米.
D、G、K恰好在同一条直线上,
其中正方形GFEB的边长为10厘米,
【例31】如图，有三个正方形的顶点
求阴影部分的面积.
【巩固】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是
F
【巩固】如图，ABCD与AEFG均为正方形，三角形
为.
ABH的面积为6平方厘米，图中阴影部分的面积
F
【巩固】
且正方形
【巩固】已知正方形ABCD边长为10,正方形BEFG边长为6,求阴影部分的面积.
【例32】于CF的三分之一，三角形CHG的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF的面积.
【例33】如下图，E、F分别是梯形ABCD的下底BC和腰CD上的点，DF=FC，并且甲、乙、丙3个三角形面积相等•已知梯形ABCD的面积是32平方厘米•求图中阴影部分的面积.
【例34】如图，已知长方形ADEF的面积16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，那么三角形ABC的面积是多少？
【例35】如图，在平行四边形ABCD中，BE=EC,CF=2FD.求阴影面积与空白面积的比.
【例36】如图所示，三角形ABC中，D是AB边的中点，E是AC边上的一点，且AE=3EC,O为DC与
BE的交点.若ACEO的面积为a平方厘米，ABDO的面积为b平方厘米.且b_a是2.5平方厘米，那么三角形ABC的面积是平方厘米.
【例37】如图，在梯形ABCD中，AD:
BE=4:
3,BE:
EC=2:
3，且BOE的面积比AOD的面积小10平方厘米•梯形ABCD的面积是平方厘米.
【巩固】如图，BD是梯形ABCD的一条对角线，线段AE与DC平行，AE与BD相交于O点•已知三角形2
BOE的面积比三角形AOD的面积大4平方米，并且ECBC•求梯形ABCD的面积.
5
【例38】如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是影部分的面积是多少？
13,35,49•那么图中阴
【例
39】图中是一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形.将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，那么图中的阴影部分（即未被盖住的部分）的面积是多少平方厘米？
【例
40】
如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC=2DE,F是DG的中点•阴影部分的面积是多少平方厘米？
【例
【例
B
42】如图,
BC=45,AC=21,
ABC被分成9个面积相等的小三角形，那么
DIFK=
41】如图，三角形田地中有两条小路AE和CF，交叉处为D，张大伯常走这两条小路，他知道DF二DC,且AD=2DE.则两块地ACF和CFB的面积比是.
B
DEF的面积都等于
1，贝UDCF的面积等于_
【例43】E、M分别为直角梯形
ABCD两边上的点,
且DQ、CP、ME彼此平行，若AD=5,BC=7,AE=5,
【巩固】如图，在角MON的两边上分别有A、C、E及B、D、F六个点，并且OABABC、厶BCD、
【例44】已知ABC为等边三角形，面积为400,D、E、
F分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为
143,求阴影五边形的面积.（丙是三角形HBC）
EB=3•求阴影部分的面积.
【例45】如图，已知CD=5,DE=7,EF=15,FG=6，线段AB将图形分成两部分，左边部分面积是
38,右边部分面积是65,那么三角形ADG的面积是
【巩固】如图，点D、E、F在线段CG上，已知CD=2厘米，DE=8厘米，EF=20厘米，FG=4厘米,
AB将整个图形分成上下两部分，下边部分面积是67平方厘米，上边部分面积是166平方厘米，则
三角形ADG的面积是多少平方厘米？
C
B
C
B
【例46】如图，正方形的边长为10,四边形EFGH的面积为5，那么阴影部分的面积是
【巩固】如图，正方形的边长为
12,阴影部分的面积为
60,那么四边形EFGH的面积是
【例47】如图所示，长方形
积为.
ABCD内的阴影部分的面积之和为
70,AB=8,AD=15，四边形EFGO的面
ADM与三角形BCN的面积之和为7.8平方
【巩固】如图所示，矩形ABCD的面积为24平方厘米•三角形厘米，则四边形PMON的面积是平方厘米.
【巩固】如图所示，矩形ABCD的面积为36平方厘米，四边形PMON的面积是3平方厘米，则阴影部分的面积是平方厘米.
【巩固】如图，长方形ABCD的面积是
36,E是AD的三等分点,
AE=2ED,则阴影部分的面积为
【例48】如图，如果长方形ABCD的面积是56平方厘米，那么四边形
MNPQ的面积是多少平方厘米?
【例49】如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为
2
cm.
10cm的正方形，则阴影部分四边形的面积是
【巩固】如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为厘米？
12厘米的正方形，则阴影部分四边形的面积是多少平方
【巩固】已知正方形的边长为10，EC=3，BF=2，则S四边形abcd二
E
C
E
C
【例50】如图，三角形AEF的面积是17,DE、BF的长度分别为11、3.求长方形ABCD的面积.
【例51】如图，长方形ABCD中，AB=67,BC=30.E、F分别是AB、BC边上的两点,么，三角形DEF面积的最小值是.
BEBF=49.那
【例52】ABCD是边长为12的正方形，如图所示,
么阴影部分的面积是.
P是内部任意一点,
BL二DM=4、BK二DN=5，那
【例53】如图所示，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是ABCD各边的中点，求阴影部分与四边形
PQRS的面积之比.
E
R
G
Q
H
D
A
P
G
S
E
Q
R
BFC
【巩固】如图，E、F、G、H分别是四边形
分别表示四个小四边形的面积•试比较
ABCD各边的中点，FG与FH交于点0,S1、S2、S3及S4SiS3与S?
-S4的大小.
【例54】如图，四边形ABCD中，DE:
EF:
FC=3:
2:
1,BG:
GH:
AH=3:
2:
1,AD:
BC=1:
2，已知四边
EFGH，求四边形
【拓展】如图，对于任意四边形ABCD，通过各边三等分点的相应连线，得到中间四边形
EFGH的面积是四边形ABCD的几分之几？
M
N
B
A
K
F
E
J
G
H
OPC
【例55】有正三角形ABC,
分别取点P、Q、
在边AB、BC、CA的正中间分别取点R，使LP=MQ=NR，当PM和RL、
L、M、N，在边AL、BM、CN上
PM和QN、QN和RL的相交点分别是
X、Y、Z时，使XY=XL•这时，三角形XYZ的面积是三角形ABC的面积的几分之几？
请写出思考过程.
【例56】如图：
已知在梯形
形BMF、三角形
2
ABCD中，上底是下底的-，其中F是BC边上任意一点，三角形
3
NFC的面积分别为14、20、12•求三角形NDE的面积•
AME、三角
【例57】如图，已知ABCD是梯形，AD//BC,AD:
BC=1:
2,SAOF:
SDOe*：
3,SBE^24cm2,求.\AOF的面积•………
【例58】如图，ABCD是一个四边形，M、N分别是AB、CD的中点.如果.'ASM、.MTB与.DSN的面
积分别是6、7和8,且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD的面积为.
【例59】直角边长分别为
18厘米,10厘米的直角△ABC和直角边长分别为
14厘米,4厘米的直角△ADE如
图摆放.M为AE的中点，贝U△ACM的面积为平方厘米.
u
【例60】如右图，过平行四边形ABCD内的一点P作边的平行线EF、GH，若PAC的面积为6,求平行四边形PGDF的面积比平行四边形PEBH的面积大.
G、D、都在
【例61】如图，平行四边形ABCD与平行四边形EFCG是两个形状一模一样的平行四边形，点线段AE上，三角形BEF的面积是2,那么三角形ABD的面积是.
【例62】如图长方形ABCD,AB=24,BC=18,把AB边对折到AC上与AC重合，把AD边也对折到
AC上与AC重合，请问得到的新图形的面积是多少？
升级会员 