高考数学一轮复习 第二篇 函数与基本初等函数Ⅰ第9讲 函数的应用教案 理 新人教版.docx

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高考数学一轮复习第二篇函数与基本初等函数Ⅰ第9讲函数的应用教案理新人教版

2019-2020年高考数学一轮复习第二篇函数与基本初等函数Ⅰ第9讲　函数的应用教案理新人教版

【xx年高考会这样考】

1．考查二次函数模型的建立及最值问题．

2．考查分段函数模型的建立及最值问题．

3．考查指数、对数、幂函数、“对勾”型函数模型的建立及最值问题．

【复习指导】

函数模型的实际应用问题，主要抓好常见函数模型的训练，解答应用问题的重点在信息整理与建模上，建模后利用函数知识分析解决问题．

基础梳理

1．常见的函数模型及性质

（1）几类函数模型

①一次函数模型：

y＝kx＋b（k≠0）．

②二次函数模型：

y＝ax2＋bx＋c（a≠0）．

③指数函数型模型：

y＝abx＋c（b＞0，b≠1）．

④对数函数型模型：

y＝mlogax＋n（a＞0，a≠1）．

⑤幂函数型模型：

y＝axn＋b.

（2）三种函数模型的性质

　　函数

性质　　

y＝ax（a>1）

y＝logax（a>1）

y＝xn（n>0）

在（0，＋∞）

上的增减性

单调递增

单调递增

单调递增

增长速度

越来越快

越来越慢

相对平稳

图象的变化

随x的增大逐渐表现为与y轴平行

随x的增大逐渐表现为与x轴平行

随n值变化而各有不同

值的比较

存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax

一个防范

特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．

四个步骤

（1）审题：

深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质；

（2）建模：

由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；

（3）解模：

用数学知识和方法解决转化出的数学问题；

（4）还原：

回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．

双基自测

1．（人教A版教材习题改编）从1999年11月1日起，全国储蓄存款征收利息税，利息税的税率为20%，由各银行储蓄点代扣代收，某人2011年6月1日存入若干万元人民币，年利率为2%，到2012年6月1日取款时被银行扣除利息税138.64元，则该存款人的本金介于（　　）．

A．3～4万元B．4～5万元

C．5～6万元D．2～3万元

解析　设存入的本金为x，则x·2%·20%＝138.64，∴x＝

＝34660.

答案　A

2．（xx·新乡月考）某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系是y＝3000＋20x－0.1x2（0＜x＜240，x∈N*），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是（　　）．

A．100台B．120台C．150台D．180台

解析　设利润为f（x）（万元），则f（x）＝25x－（3000＋20x－0.1x2）＝0.1x2＋5x－3000≥0，∴x≥150.

答案　C

3．有一批材料可以围成200米长的围墙，现用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地（如图），且内部用此材料隔成三个面积相等的矩形，则围成的矩形场地的最大面积为（　　）．

A．1000米2B．2000米2

C．2500米2D．3000米2

解析　设三个面积相等的矩形的长、宽分别为x米、y米，如图，则4x＋3y＝200，又矩形场地的面积S＝3xy＝3x·

＝x（200－4x）＝－4（x－25）2＋2500，∴当x＝25时，Smax＝2500.

答案　C

4．（xx·湖北）里氏震级M的计算公式为：

M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为__________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．

解析　由lg1000－lg0.001＝6，得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A9，则lgA9－lg0.001＝9解得A9＝106，同理5级地震最大振幅A5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10000倍．

答案　6　10000

5．（xx·东三校联考）为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：

明文

密文

密文

明文

已知加密为y＝ax－2（x为明文，y为密文），如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．

解析　依题意y＝ax－2中，当x＝3时，y＝6，故6＝a3－2，解得a＝2.所以加密为y＝2x－2，因此，当y＝14时，由14＝2x－2，解得x＝4.

答案　4　

考向一　一次函数、二次函数函数模型的应用

【例1】►（xx·武汉调研）在经济学中，函数f（x）的边际函数Mf（x）定义为：

Mf（x）＝f（x＋1）－f（x）．某公司每月生产x台某种产品的收入为R（x）元，成本为C（x）元，且R（x）＝3000x－20x2，C（x）＝500x＋4000（x∈N*）．现已知该公司每月生产该产品不超过100台．

（1）求利润函数P（x）以及它的边际利润函数MP（x）；

（2）求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差．

[审题视点]列出函数解析式，根据函数性质求最值．

解　

（1）由题意，得x∈[1,100]，且x∈N*.

P（x）＝R（x）－C（x）

＝（3000x－20x2）－（500x＋4000）

＝－20x2＋2500x－4000，

MP（x）＝P（x＋1）－P（x）＝[－20（x＋1）2＋2500（x＋1）－4000]－（－20x2＋2500x－

4000）＝2480－40x.

（2）P（x）＝－20

2＋74125，

当x＝62或x＝63时，P（x）取得最大值74120元；

因为MP（x）＝2480－40x是减函数，

所以当x＝1时，MP（x）取得最大值2440元．

故利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差为71680元.

二次函数是我们比较熟悉的基本函数，建立二次函数模型可以求出函数的最值，解决实际中的最优化问题，值得注意的是：

一定要注意自变量的取值范围，根据图象的对称轴与定义域在数轴上表示的区间之间的位置关系讨论求解．

【训练1】经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t（天）的函数，且销售量近似地满足f（t）＝－2t＋200（1≤t≤50，t∈N）．前30天价格为g（t）＝

t＋30（1≤t≤30，t∈N），后20天价格为g（t）＝45（31≤t≤50，t∈N）．

（1）写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系；

（2）求日销售额S的最大值．

解　

（1）根据题意，得

S＝

＝

（2）①当1≤t≤30，t∈N时，

S＝－（t－20）2＋6400，

∴当t＝20时，S的最大值为6400；

②当31≤t≤50，t∈N时，

S＝－90t＋9000为减函数，

∴当t＝31时，S的最大值为6210.

∵6210＜6400，

∴当t＝20时，日销售额S有最大值6400.

考向二　指数函数模型的应用

【例2】►某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：

服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线．

（1）写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y＝f（t）；

（2）据进一步测定：

每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效．求服药一次后治疗有效的时间是多长？

[审题视点]根据图象用待定系数法求出函数解析式，再分段求出时间长．

解　

（1）设y＝

当t＝1时，由y＝4得k＝4，

由

1－a＝4得．a＝3.则y＝

（2）由y≥0.25得

或

解得

≤t≤5，

因此服药一次后治疗有效的时间是5－

＝

小时．

　可根据图象利用待定系数法确定函数解析式，然后把实际问题转化为解不等式问题进行求解．

【训练2】某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题：

（1）写出该城市人口总数y（万人）与年份x（年）的函数关系式；

（2）计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）；

（3）计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人（精确到1年）；

（4）如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少？

（参考数据：

1.0129≈1.113,1.01210≈1.127，lg1.2≈0.079，lg2≈0.3010，lg1.012≈0.005，lg1.009≈0.0039）

解　

（1）1年后该城市人口总数为

y＝100＋100×1.2%＝100×（1＋1.2%）

2年后该城市人口总数为

y＝100×（1＋1.2%）＋100×（1＋1.2%）×1.2%

＝100×（1＋1.2%）2.

3年后该城市人口总数为

y＝100×（1＋1.2%）2＋100×（1＋1.2%）2×1.2%

＝100×（1＋1.2%）3.

x年后该城市人口总数为y＝100×（1＋1.2%）x.

（2）10年后，人口总数为100×（1＋1.2%）10≈112.7（万人）．

（3）设x年后该城市人口将达到120万人，

即100×（1＋1.2%）x＝120，

x＝log1.012

＝log1.0121.20≈16（年）．

（4）由100×（1＋x%）20≤120，得（1＋x%）20≤1.2，两边取对数得20lg（1＋x%）≤lg1.2＝0.079，所以lg（1＋x%）≤

＝0.00395，

所以1＋x%≤1.009，得x≤0.9，

即年自然增长率应该控制在0.9%.

考向三　函数y＝x＋

模型的应用

【例3】►（xx·湖北）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：

万元）与隔热层厚度x（单位：

cm）满足关系：

C（x）＝

（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

（1）求k的值及f（x）的表达式；

（2）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．

[审题视点]用基本不等式求最值，注意等号成立的条件．

解　

（1）由已知条件C（0）＝8则k＝40，

因此f（x）＝6x＋20C（x）＝6x＋

（0≤x≤10）．

（2）f（x）＝6x＋10＋

－10

≥2

－10＝70（万元），

当且仅当6x＋10＝

即x＝5时等号成立．

所以当隔热层为5cm时，总费用f（x）达到最小值，最小值为70万元．

求函数解析式同时要注意确定函数的定义域，对于y＝x＋

（a>0）类型的函数最值问题，特别要注意定义域问题，可考虑用均值不等式求最值，否则要考虑使用函数的单调性．

【训练3】某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？

最大面积是多少？

解　设温室的左侧边长为xm，则后侧边长为

m.

∴蔬菜种植面积

y＝（x－4）

＝808－2

（4

∵x＋

≥2

＝80，

∴y≤808－2×80＝648（m）2.

当且仅当x＝

，即x＝40，

此时

＝20m，y最大＝648（m2）．

∴当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，为648m2.　　

规范解答5——应用题中的函数建模问题

（【问题研究】解决应用问题的关键是建立恰当的函数模型，因此，首先要熟悉和掌握几类常用的函数模型.求解中容易在以下两个地方出现失误：

1列函数关系式时，会出现由于理不清楚各个量之间的关系，而导致列出错误的关系式.这一点在求解应用题时是常出现的错误；,2列出解析式，在求最优解的过程中，由于方法使用不当而出现求解上的错误.,

【解决方案】1阅读理解，审清题意.读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述部分所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知是什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题.,2根据所给模型，列出函数关系式.根据已知条件和数量关系，建立函数关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题.,3利用数学的方法将得到的常规函数问题即数学模型予以解答，并求得结果.,4将所得结果代入原问题中，对具体问题进行解答.）

【示例】►（本题满分12分）（xx·湖北）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：

千米/小时）是车流密度x（单位：

辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：

当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

（1）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；

（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：

辆/小时）f（x）＝x·v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）

首先求函数v（x）为分段函数，然后利用一元二次函数配方法或基本不等式求解．

[解答示范]

（1）由题意：

当0≤x≤20时，v（x）＝60；当20≤x≤200时，设v（x）＝ax＋b，

再由已知，得

解得

故函数v（x）的表达式为v（x）＝

（4分）

（2）依题意并由

（1）可得f（x）＝

（6分）

当0≤x≤20时，f（x）为增函数，

故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；（7分）

当20＜x≤200时，f（x）＝

x（200－x）≤

2＝

，当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．

所以，当x＝100时，f（x）在区间（20,200]上取得最大值

.（10分）

综上，当x＝100时，f（x）在区间[0,200]上取得最大值

≈3333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．（12分）

对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后再比较大小．另外在利用均值不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可通过函数的单调性求解最值．

2019-2020年高考数学一轮复习第五章数列（单元总结与测试）精品学案新人教A版

单元总结与测试

【章节知识网络】

【章节巩固与提高】

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.（xx·南平模拟）数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为（）

（）an=2n-1（B）an=（-1）n（1-2n）

（C）an=（-1）n（2n-1）（D）an=（-1）n（2n+1）

2.已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg（a3a8a13）=6，则a1a15的值为（）

（）100（B）1000

（C）10000（D）10

3.（xx·株洲模拟）已知数列{an},an=2n+1，则+…+=（）

（）（B）1-2n

（C）1-（D）1+2n

4．已知数列-1,a1,a2,-4成等差数列，-1,b1,b2,b3,-4成等比数列，则的值为（）

5．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，a1=2，若数列{1+an}也是等比数列，则Sn等于（）

（）2n（B）3n（C）2n+1-2（D）3n-1

6.由得出的数列{an}的第34项为（）

（）（B）100（C）（D）

7．（xx·大庆模拟）若Sn为等差数列{an}的前n项和，S9=-36,S13=-104,则a5与a7的等比中项为（）

（）（B）（C）（D）32

8．已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足，则数列{an}的通项公式为（）

（）（B）

（C）（D）

9.（xx·福州模拟）已知正项等比数列{an}满足：

a7=a6+2a5,若存在两项am,an使得则的最小值为（）

10.（易错题）某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产.已知该生产线连续生产n年的产量为f（n）=n（n+1）（2n+1）吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害.为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线的生产期限是（）

（）5年（B）6年（C）7年（D）8年

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.请把正确答案填在题中横线上）

11．已知{an}为等差数列，且a3=-6,a6=0.等比数列{bn}满足b1=-8,b2=a1+a2+a3,则{bn}的前n项和Sn=_______.

12.（xx·漳州模拟）在等比数列{an}中，若

13.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1,若n≥2时，an是Sn与Sn-1的等差中项，则S5=_______.

14．（xx·唐山模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an-1,n∈N*,数列{（n+1）an}的前n项和Tn=________.

15．已知函数f（x）对应关系如表所示，数列{an}满足a1=3,an+1=f（an）,则

a2013=_______.

x

1

2

3

f（x）

3

2

1

三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（13分）（xx·蚌埠模拟）已知{an}是公比大于1的等比数列，a1,a3是函数f（x）=x+-10的两个零点.

（1）求数列{an}的通项公式;

（2）若数列{bn}满足bn=log3an+n+2,且b1+b2+b3+…+bn≥80，求n的最小值.

17．（13分）（预测题）在等比数列{an}中，an＞0（n∈N*），且a1a3=4,a3+1是a2和a4的等差中项.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}满足bn=an+1+log2an（n=1,2,3,…），求数列{bn}的前n项和Sn.

18.（13分）（xx·厦门模拟）已知等差数列{an}是递增数列，且满足a4·a7=15,a3+a8=8.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）令

求数列{bn}的前n项和Sn.

19．（13分）（探究题）已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意的n∈N*,点（an,Sn）都在直线2x-y-2=0上.

（1）求{an}的通项公式;

（2）是否存在等差数列{bn}，使得a1b1+a2b2+…+anbn=（n-1）·2n+1+2对一切n∈N*都成立？

若存在，求出{bn}的通项公式；若不存在，说明理由.

20．（14分）（xx·佛山模拟）已知等差数列{an}中，前n项和Sn满足:

S10+S20=1590,S10-S20=-930.

（1）求数列{an}的通项公式以及前n项和公式.

（2）是否存在三角形同时具有以下两个性质，如果存在，请求出三角形的三边长和b值;如果不存在，请说明理由.

①三边是数列{an+b}中的连续三项，其中b∈N*;

②最小角是最大角的一半.

21.（14分）（xx·山东高考）等比数列{an}中，a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1,a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列.

第一列

第二列

第三列

第一行

3

2

10

第二行

6

4

14

第三行

9

8

18

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}满足：

bn=an+（-1）nlnan，求数列{bn}的前n项和Sn.

答案解析

1.【解析】选B.观察各项的符号及大小知an=（-1）n+1·（2n-1）=（-1）n·（1-2n）.

2.【解析】选C.∵lg（a3a8a13）=6,

∴a3a8a13==106,∴a8=100,

∴a1a15==10000.

3.【解析】选C.an+1-an=2n+1+1-（2n+1）

=2n+1-2n=2n,

∴

=

=

4．【解析】选.由题意知3（a2-a1）=-4-（-1）=-3,

∴a2-a1=-1,

又=（-1）×（-4）=4,且b2＜0,

∴b2=-2,∴.

5．【解析】选.设数列{an}的公比为q,

∵数列{1+an}是等比数列，

∴（1+2q）2=3（1+2q2）⇒q=1,∴Sn=2n.

6.【解析】选C.由

∴数列{}是以1为首项，公差为3的等差数列，

∴

7．【解析】选C.∵

∴a5=-4,

∵

∴a7=-8,∴a5·a7=32,

故a5与a7的等比中项为.

【变式备选】在3和9之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个数的和是（）

（）（B）（C）（D）9

【解析】选.设中间两数为x,y，则x2=3y,2y=x+9,解得

（舍去），所以x+y=.

8．【解析】选B.当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

化简得2an=-an+an-1,即又由，得a1=所以数列{an}是首项为，公比为的等比数列.

所以

9.【解析】选.设等比数列{an}的公比为q,则q>0,且

得q=2,

当且仅当n2=4m2,即m=2，n=4时等号成立.

10.【解题指南】令第n年的年产量为an,根据题意先求an,再解不等式an≤150，从而得出答案.

【解析】选C.令第n年的年产量为an,则由题意可知第一年的产量a1=f

（1）=×1×2×3=3（吨）；第n（n=2,3,…）年的产量an=f（n）-f（n-1）=n（n+1）（2n+1）-（n-1）·n·（2n-1）=3n2（吨）.

令3n2≤150，则结合题意可得1≤n≤.

又n∈N*,所以1≤n≤7,即生产期限最长为7年.

【变式备选】甲型H1N1流感病毒是寄生在宿主的细胞内的，若该细胞开始时是2个，记为a0=2，它们按以下规律进行分裂，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…,记n（n∈N*）小时后细胞的个数为an，则an=________（用n表示）．

【解析】按规律，a1=4-1=3,a2=2×3-1=5,a3=2×5-1=9,…,an+1=2an-1,

∴an+1-1=2（an-1）,

即{an-1}是等比数列，其首项为2，公比为2，故an-1=2n，∴an=2n+1．（本题也可由a1=3=2+1,a2=5=22+1,a3=9=23+1,…,猜想出an=2n+1.）

答案:

2n+1

11．【解析】设等差数列{an}的公差为d,

因为a3=-6,a6=0,所以

解得a1=-10,d=2,

所以an=-10+（n-1）·2=2n-12.

设等比数列{bn}的公比为q,

因为b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8,

所以-8q=-24,即q=3,

所以{bn}的前n项和为

答案：

4（1-3n）

12.【解析】由已知可得

解得q=1或.

答案：

1或-

13．【解析】由题意知n≥2时，2an=Sn+