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嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略
标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]
嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略
嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略
摘要
本文以嫦娥三号登月为背景，研究的是嫦娥三号软着陆轨道设计与最优控制策略问题。
根据动力学相关原理，建立了嫦娥三号软着陆轨迹模型，得到软着陆过程中各阶段的最优控制策略。
针对问题一，通过已知条件求解主减速阶段运动过程，通过水平位移量反推近月点位置。
建立模型一确定近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号速度大小与方向。
首先以月球中心为坐标原点建立空间坐标系，根据计算的作用力可知地球影响较小，故忽略不计。
然后将嫦娥三号软着陆看作抛物线的运动过程，计算在最大推力下的减速运动，求得月面偏移距离为462.4km，由此计算出偏移角度为15.25°。
从而得出近月点和远月点的经纬度分别为（34.76°W，44.12°N）和（34.76°E，44.12°S）。
最后在软着陆的椭圆轨道上，由动力势能和重力势能的变化，计算出嫦娥三号在远月点和近月点的速度分别为1700/和1615/，沿轨道切线方向。
针对问题二，我们根据牛顿第二定律，以每个阶段初始点以及终止点的状态作为约束，以燃料消耗最少作为优化目标，可以建立全局最优模型。
而通过将轨迹离散化，进行逐步迭代从而求得每个阶段的水平位移，并分别得到软着陆过程中六个过程中的着陆轨迹方程以及其对应的最优控制策略。
而在粗避障以及精避障阶段，我们将所给的数字高程图均分为9块，综合考量每一块的相对高程差和平坦度指标来选取最佳着陆点。
在粗避障阶段，根据燃料消耗最少的目标，选择把先将主减速发动机关闭，在进行一段时间匀加速直线运动后再打开发动机，进行减速直线运动作为最优的控制策略。
针对问题三，首先我们改变近月点处到月表的距离和减速发动机的推力这两个因素，对嫦娥三号处的水平位移、燃料消耗等等因素进行灵敏度以及误差的分析，可以观察到近月点离月表的距离与水平位移和燃料消耗均呈线性正相关，同时注意到减速发动机的推力与水平位移呈线性负相关，与该燃料消耗却又呈线性正相关，这也与常识相符合。
由于嫦娥三号在主减速段水平位移最大，因此我们选取该段从对近月点离月表的距离和减速发动机提供的推力变化两个变量来对模型进行阶段的误差分析，通过计算每个阶段时间的相对误差对最优化后的模型进行误差分析。
最后，本文对所建立的模型进行评价，指出优缺点并提出改进的方向。
关键词：
抛物线；最优控制；线性正相关；相似度1.04%
一、问题重述
嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。
嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。
在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。
嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m。
嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。
其着陆轨道设计的基本要求：
着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。
根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题：
1.确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。
2.确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。
3.对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。
二、问题分析
2.1问题一的分析
针对问题一，首先我们需要根据预定的着陆点的经纬度确定轨道，然后通过抛物线的运动计算出在月球着陆时的水平路程，然后计算出偏移角度，据此确定近月点的经纬度，而嫦娥三号的着陆轨道为过月球中心点的椭圆轨道，所以远月点的经纬度和近月点对称，则可以由近月点计算出远月点的经纬度。
最后因为在着陆轨道上卫星的能量守恒，则可以通过势能和动能的转换来计算嫦娥三号的速度和方向。
2.2问题二的分析
针对问题二，确定嫦娥三号着陆轨道以及6个阶段的最优控制策略时，始终要满足燃料消耗最小原则。
在问题1中已经对近月点的运动情况进行求解，近月点和主减速段终值点的位置、速度及发动机推力大小均已知，在此基础上，给定准备轨道、主减速段最优控制策略。
快速调整段主要是对探测器姿态进行调整，采取与主减速同样的建模方法，得到该段质心动力学方程，在满足约束条件及阶段要求下给出具体最优控制策略。
对于粗避障段，首先对其数字高程图进行划分，对每个区域的平坦程度进行分析，取最平坦区域作为着陆大致范围。
同样需建立动力学模型对运动轨迹进行描述，考虑燃料消耗最少的目标，选择先匀加速后又在恒定推力下减速至0。
2.3问题三的分析
针对问题三，我们还是通过改变近月点离月球表面的距离和减速发动机提供的两个变量，通过MATLAB进行编程，确定对嫦娥三号在水平位移、燃料消耗等参数方面的灵敏度如何，进而求得近月点离月表的距离与水平位移和燃料消耗之间的相对关系以及更重要的是减速发动机提供的推力与水平位移及燃料消耗之间的相对关系。
最后根据嫦娥三号在主减速段水平位移是最大的，进而我们选取该段从对近月点离月球表面的距离变化和减速发动机提供的推力变化两个角度来进行我们对于模型整体的误差的分析。
三、模型假设
1.忽略地球等星体引力的影响；
2.假设嫦娥三号在运行过程中不出现故障；
3.假设飞行器变化姿态是瞬间完成的；
4.不考虑任何摩擦力；
5.假设月球为球体，半径以平均半径为准，并且引力场分布均匀。
四、符号说明
符号
符号说明
Δm
由燃料消耗导致的嫦娥三号减少质量
嫦娥三号主减速阶段初始高度
Fmax
发动机推力上限
M
嫦娥三号净重
主减速阶段终值点速度
m
嫦娥三号的质量
m0
嫦娥三号初始质量
α
发动机推力方向在xoy平面的投影与x轴的夹角
五、模型的建立与求解
5.1问题一
5.1.1模型的建立与分析
由万有引力公式
计算F，再由牛顿第二定律
计算地球和月球在近月点和远月点处的重力加速度。
表1地球及月球在近月点和远月点的重力加速度（单位：
m/s2）
近月点
远月点
地球
0.0031
0.0024
月球
1.5966
1.4523
由上表可知，地球在近月点和远月点的重力加速度数值很小，即地球对嫦娥三号与月球影响很小，故可忽略不计。
所以本模型只考虑月球对嫦娥三号的影响。
根据附件内的软着陆过程示意图，即嫦娥三号将在近月点15公里处以抛物线下降，将其看作匀减速运动过程。
利用MATLAB绘制嫦娥三号绕月飞行的三维动态图，更直观的反应嫦娥三号的环月飞行，如图1
图1
同时，由附件内嫦娥三号着陆区域和着陆点示意图可知，只要保证嫦娥三号的着陆区域在虹湾着陆区，即认为着陆成功。
为保证嫦娥三号以最大概率降落到精准的着陆点和虹湾着陆区，经过分析后选择以北纬44.12°作为软着陆的绕月轨道。
在这种确定纬度的绕月轨道中，月球对嫦娥三号的万有引力，可以分解为两个方向。
一个是绕月的向心力，一个是与绕行面相切的力，则选择最终状态为绕赤道运行更为准确。
根据实际分析，嫦娥三号的绕月平面应与南北极轴重合。
5.1.2模型的求解
经查阅资料，嫦娥三号主发动机能够产生从1500N至7500N的可调节推力。
主减速阶段看作平抛运动：
起始速度：
加速度的取值范围：
平抛产生的距离：
图2
结合图2，得到准备着陆的点与软着陆点相差15.25°，即可算出近月点的经纬度，同时根据对称性，求得远月点的经纬度。
由附件内信息可知距离月球表面15km时，速度大小为1700m/s，将此速度看作近月点速度，从近月点到远月点可看做是重力势能和动能转化的过程，而远月点距离地球表面为100km，可以计算出重力势能的变化，计算出远月点的速度。
由此可得到近月点、远月点的速度以及经纬度：
表2近月点、远月点的速度以及经纬度
近月点
远月点
速度
1700m/s
1615m/s
经纬度
（34.76°W,44.12°N）
（34.76°E，44.12°S）
5.2问题二
5.2.1着陆准备阶段
嫦娥三号在着陆准备轨道上绕月球做椭圆运动，当且仅当其处于近月点时，恰好刚刚进入着陆轨迹。
基于问题1中求解结果可知，在该模型坐标系下，以最小燃料消耗为目标，嫦娥三号在近月点处的飞行状态如下表所示：
表3嫦娥三号在近月点处飞行状态数据表
推力方向
速度大小
速度方向
位置坐标
vA的反向
1692m/s
切于A点且α=9.654°
19.51°W31.68°N
根据表3中相应数据，对嫦娥三号的着陆轨道初始点位置进行选定，其着陆准备轨道必然在近月点与远月点经纬度及着陆点位置三点所构成的平面之内，且由已知条件近月点海拔15千米、远月点海拔100千米和月球形状扁率1/963.7256，可以完全确定着陆准备的椭圆轨道，在该轨道近月点处，按照表中飞行状态数据作为最优控制策略，对嫦娥三号进行控制。
5.2.2主减速阶段最优控制模型
模型的建立
设计主减速段的控制策略时，需根据燃料消耗最小原则进行设计，为此，定义燃料消耗的性能指标[1]：
（1）
其中，m’为单位时间燃料消耗；Δm为由燃料消耗导致的嫦娥三号减少质量。
由题目可知比冲关系：
（2）
嫦娥三号的质量变化：
（3）
其中，m为嫦娥三号的质量；m0为嫦娥三号初始质量。
由于嫦娥三号着陆方式符合重力转弯软着陆[1]的情况，即
的方向与下降速度方向相反，α为发动机推力方向在xoy平面的投影与x轴的夹角。
将推力分别沿x，y方向进行分解，根据牛顿第二定律可得：
（4）
（5）
将
（2）、（3）带入（4）、（5）中化简可得：
（6）
（7）
利用（6）、（7）并结合质点运动的微分方程，最终得到嫦娥三号软着陆主减速阶段轨迹的微分方程：
（8）
而其中约束条件分为边值约束以及过程约束。
边值约束为：
a.初值约束：
，
，
b.终值约束：
，
过程约束为：
a.推力约束：
b.高度约束：
c.质量约束：
其中，
为嫦娥三号主减速阶段初始高度；
为主减速阶段终值点的高度；
为主减速阶段终值点速度；t1为主减速阶段时间；Fmax为发动机推力上限；r为月球半径；M为嫦娥三号净重。
原则为燃料消耗最小原则：
最小。
模型的求解
利用MATLAB软件进行求解，求解结果如表4，着陆轨道如图3
表4主减速阶段最优控制策略
推力
方向
燃料消耗
时间
水平位移
末速度
7500N
v的反向
1075kg
421.2s
377095m
57.15m/s
图3主减速阶段运动轨迹
5.2.3快速调整阶段最优控制模型
模型的建立
采用与模型1同样的建模方法，可得到嫦娥三号快速调整阶段动力学方程
（9）
其中m1主减速阶段终止点嫦娥三号的质量。
边值约束条件：
a）初值约束：
，
，
，
，
b）终值约束：
，
，
其中，h3为嫦娥三号在快速调整段终点的高度；t2为快速调整段时间；vx1、vy1分别为嫦娥三号在主减速段终点的速度在x轴和y轴的分量。
整个软着陆过程中过程约束均为模型一中的过程约束条件。
燃料最少原则：
最小。
5.2.3.2模型求解：
基于模型1相同的求解方法，运用仿真迭代运算，由于初始角度α1确定，通过改变推力推F的大小，观察燃料消耗量Δm变化，利用MATLAB软件得到快速调整段推力与各变量之间的关系如下：
图4快速调整阶段推力与各变量关系
由题可知，在快速调整段需满足水平末速度为0,发动机推力方向向下的条件，观察图2中推力与水平末速度的关系可以发现，推力至少要大于5000N才能够保证水平末速度为0，而推力大致在5000N～6000N之间时，燃油消耗量成明显快速上升趋势，此推力阶段，下落时间变化也与燃料消耗趋势基本一致，水平位移变化量也近似最大。
基于变化趋势的大致分析能够确定在4500N～5500N之间将存在一个最小推力，使得水平末速度恰好为0，此时燃料消耗量即为最小值，现利用燃料消耗最小原则，利用MATLAB软件对推力进行具体数值确定：
表5发动机推力与各变量关系
推力
燃料消耗
末速度
水平末速度
时间
水平位移
4501
25.87
23.92
6.96
16.9
307.14
4502
25.88
23.90
6.96
16.9
307.09
…
…
…
…
…
…
5082
40.79
0.84
0.02
23.6
289.13
5083
42.19
0.54
0.01
24.4
289.06
5084
44.79
0.20
0.00
25.9
288.99
5085
46.53
0.22
0.00
26.9
288.92
…
…
…
…
…
…
5499
904.90
1.19
0.00
483.8
262.18
5500
925.83
1.17
0.00
494.9
262.07
由表中数据可知，当推力为5083N时，水平末速度首次达到0m/s，此时燃料消耗量为42.19kg，末状态合速度大小为0.554/ms，水平位移289.06m，此阶段运行时间为24.4s，且在重力转弯软着陆情况下，主减速发动机产生的可调节推力方向始终与合速度方向相反。
根据以上数据，利用MATLAB画出快速调整阶段的轨迹图如下
图5快速调整阶段轨迹
因此，最优控制策略为
推力
燃料消耗
时间
水平位移
末速度
5083
42.19
24.4
289
0.554
表6快速调整阶段最优控制策略
5.2.4粗避障阶段最优控制模型
5.2.4.1高程图分析
由于粗避障阶段主要是对大致着陆方位进行初步确定，所以可将原始图片分割成九块小区域，以便于嫦娥三号进一步缩小着陆范围，分割区域及编号如下图所示
图62400m高程图分块
为衡量各区域高程差相对于整体区域的分布情况，定义相对高程差作为评价指标：
相对高程=|该区域高程均值-总体高程均值|/总体高程均值
嫦娥三号对着陆区域的筛选目的是为了避开大的陨石坑，而对于陨石坑存在与否的判定，主要是通过所拍照片的各区域高程差的大小来反映，因此，需利用MATLAB软件来计算每一块区域关于高程差的相关统计量：
表7不同区域高程差统计
区域
1
2
3
4
5
6
7
8
9
均值
117.67
117.77
94.13
96.39
106.08
115.33
92.69
108.84
95.87
极差
158
218
60
76
110
173
75
126
76
标准差
30.39
45.49
5.63
10.12
20.12
37.47
8.88
24.59
11.36
相对高程差
0.12
0.12
0.10
0.08
0.01
0.10
0.12
0.04
0.09
针对以上相关统计量的结果进行分析：
i.均值能够反应各个区域平均的高程差情况，但是对于凹凸差异较大的区域而言，不能够作为月面情况的描述指标；
ii.极差能够直观反映出各区域陨石坑凹凸高度变化范围，但是不能对区域整体平滑程度做出判断。
iii.标准差刻画的是高程波动情况，即该区域高程值的波动；
iv.相对高程刻画的是高程的平均程度。
后两个指标都能很好描述该区域是否适合着陆。
由于这两个指标本身表征的含义不具有统一性，但对比标准统一，都是为了反映各区域高程的整体情况，因此，需把这两个指标进行归一化，采取线性加权的方式，综合成一个平坦度指标。
且平坦度越小，就越适合作为着陆点。
进行归一化处理后得到以下结果：
表8归一化处理后不同区域高程差统计
区域
1
2
3
4
5
6
7
8
9
标准差
0.62
1.00
0.00
0.11
0.36
0.80
0.08
0.48
0.14
相对高程差
0.99
1.00
0.83
0.64
0.00
0.79
0.96
0.24
0.68
平坦度
1.61
2.00
0.83
0.75
0.36
1.59
1.04
0.71
0.83
由表中平坦度大小可知，区域5的平坦度最小，则表明区域5最适合最为着陆点所在范围。
因此，取区域5的中心位置作为粗避障段终值点坐标，由题中所给附件3可知，区域5中心点位置坐标为（1150,1150），与整个区域中心点重合，因此，粗避障阶段总的水平位移为0。
5.2.4.2模型建立
建立嫦娥三号粗避障阶段质心动力学方程：
（10）
其中：
m2为快速调整段结束后嫦娥三号的质量。
边值约束条件：
a）初值约束：
，，，
，
b）终值约束：
，
，
其中，h4为嫦娥三号在粗避障段终点的高度；t3为粗避障段时间；vy2为嫦娥三号在快速调整段终点的速度在y轴的分量。
整个软着陆过程中过程约束均为模型一中的过程约束条件。
燃料最少原则：
最小。
5.2.4.3模型求解
1在此情况下，匀加速直线运动阶段无燃料损失，仅当启动发动机推力时，才会产生燃料的消耗。
由于匀加速直线运动的时间存在不确定性，因此，需根据相关文献[2]中粗避障段下落时间的理论值，对均加速直线运动时间进行大致设定，进而得到匀加速直线运动的末状态。
2采用模型1相同的求解方法，在假设推力为恒力的条件下，通过计算机迭代仿真求得该情况下燃料的总消耗量及下落总时间。
3选取不同的匀加速直线运动时间，进而得到各种情况下的最小燃料消耗量，从而近似确定最小的燃料消耗量及下落时间。
利用MATLAB软件在选取不同匀加速直线运动时间的情况下，观察燃料消耗量、恒定推力等运动过程描述量的变化情况，得到如下表格：
表9运动描述随匀加速时间变化
匀加速时间
总时间
末速度
剩余质量
燃料消耗
恒定推力
25
108.3
0.014
1203.99
74.740
2637.90
26
104.5
0.057
1206.55
72.179
2703.26
30
91.7
0.034
1215.15
63.579
3029.56
35
79.3
0.001
1223.53
55.195
3663.14
40
69.7
0.036
1230.09
48.639
4814.74
45
62.1
0.173
1235.35
43.380
7458.25
在不断改变均加速直线运动时间的情况下，匀加速度直线运动时间取45s时，燃料消耗量最少为43.380kg，此时运动总时间最少为62.1s，推力最大为7458.25N。
根据以上变化规律进行推断，若增加匀加速直线运动时间不断，恒定推力的取值也随之增加，而运动总时间不断减少，同时消耗燃料质量也有所下降。
因此最优控制策略为：
表10粗避障阶段最优控制策略
时间段
运动状态
推力
方向
0~45
匀加速直线
0
45~62.1
减速直线
7458.25
v的反向
此策略下，燃料消耗量为43.380kg。
5.2.5精避障段最优控制模型
5.2.5.1高程图分析
处理方式同2400m处高程图，得出归一化处理后各指标数值如下
表11归一化后精避障段各指标
区域
1
2
3
4
5
6
7
8
9
标准差
0.161
0.047
0.183
1
0.589
0.137
0.455
0.262
0
相对高程
0.052
0.250
0.075
0
1
0.385
0.497
0.210
0.415
平坦度
0.214
0.298
0.258
1
1.589
0.521
0.952
0.472
0.415
由表中平坦度大小可知，区域1的平坦度最小，则表明区域1最适合最为着陆点所在范围。
因此取区域1的中心位置作为精避障段终值点坐标，由题中所给附件4中高程图可知，区域1中心点位置坐标为（200,800），整个区域中心点坐标为（500,500）。
以区域1的中心点和整个区域中心点之间的距离作为粗避障阶段总的水平位移，根据两中心点坐标，利用两点间距离公式得到两点在高程图上的距离为424.3，由题可知，该高程的水平分辨率为0.1m/像素，则可得实际距离42.43m。
5.2.5.2模型建立
建立嫦娥三号粗避障阶段质心动力学方程：
（11）
其中：
m3为粗避障段结束后嫦娥三号的质量。
边值约束条件：
a）初值约束：
，
，
，
，
b）终值约束：
，
，
其中，h5为嫦娥三号在精避障段终点的高度；t4为精避障段时间。
整个软着陆过程中过程约束均为模型一中的过程约束条件。
燃料最少原则：
最小。
5.2.5.3模型求解
1采用模型1相同的求解方法，在假设推力为恒力的条件下，通过计算机迭代仿真求对该情况下燃料的总消耗量进行求解，但由于精避障阶段运动的距离小，从而可以忽略由于燃料消耗而导致嫦娥三号质量的减少，即假设其在该阶段的质量保持不变，从而对模型进行进一步化简。
2设定该阶段前一部分的运行时间，改变推力的大小，找到满足精避障段结束后水平速度为0的参数，进而确定前一部分运动结束后的状态。
选取不同的前一部分运行时间，分别求得到各自满足要求的推力大小，根据相关文献[2]中粗避障段下落时间的理论值大致为22s，从而近似确定推力大小及其运动状态，得到精避障阶段运动轨迹图：
图7精避障段轨迹
根据求解结果，最优控制策略为
表12精避障阶段最优控制策略
下落时间
推力大小
方向
4.63
2445.37
v的同向
4.63
2445.37
v的反向
5.2.6缓速下降段最优控制模型
5.2.6.1模型的建立
由于缓速下降段α=90°，因此，可根据粗避障段的化简模型，同理可得嫦娥三号质心动力学方程：
（12）
其中m4为精避障段结束后嫦娥三号的质量。
边值约束条件：
a）初值约束：
，，，
b）终值约束：
，
其中，h5为嫦娥三号在缓速下降终点的高度；t5为缓速下降段时间。
整个软着陆过程中过程约束均为模型一中的过程约束条件。
燃料最少原则：
最小。
5.2.6.2模型求解
同粗避障阶段的化简模型求解方法相同，可得到缓速下降段过程最优控制策略：
表13缓速下降阶段最优控制策略
下落时间
推力
方向
3.44
5416.77
竖直向上
5.2.7整体分析
整个软着陆过程燃料消耗情况如下
表14软着陆过程各阶段燃料消耗
阶段
着陆准备
主减速
快速调整
粗避障
精避障
缓速下降
消耗量
0
1075
42.19
43.38
0
0
总消耗量
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