电磁学2高斯定理.ppt
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第二篇第二篇上次课内容回顾上次课内容回顾库仑定律：
点电荷之间的相互作用力库仑定律：
点电荷之间的相互作用力电场强度：
电场强度：
点电荷的电场强度：
点电荷的电场强度：
连续带电体的电场强度：
连续带电体的电场强度：
静电场的形象描述静电场的形象描述电场线上每点切线的方向表示该点场强的方向电场线上每点切线的方向表示该点场强的方向+qq一、静电场的高斯定理一、静电场的高斯定理1.电场线电场线（E线线）第第3节节静电场的高斯定理静电场的高斯定理GaussLawofElectrostaticFields引入电场线引入电场线,只是为了形象理解电场只是为了形象理解电场E，实际上，实际上电场电场E是连续分布于空间。
是连续分布于空间。
规定：
规定：
=电场强度的大小电场强度的大小（也称电场线密度）（也称电场线密度）
（1）静电场的电场线起于正电荷止于负电荷，）静电场的电场线起于正电荷止于负电荷，有头有尾，不会在无电荷处中断。
有头有尾，不会在无电荷处中断。
电场线的特征：
电场线的特征：
（2）在没有电荷的空间里，任何两条电场线）在没有电荷的空间里，任何两条电场线不会相交。
不会相交。
电场中任意一点处，通过该处垂电场中任意一点处，通过该处垂直于的直于的单位面积上电场线根数单位面积上电场线根数（3）静电场的电场线不会形成闭合曲线。
）静电场的电场线不会形成闭合曲线。
电场线稀疏的地方场强小电场线稀疏的地方场强小电场线密集的地方场强大电场线密集的地方场强大+q2.电通量电通量定义定义：
通过电场中任一给定面的电场线总根数，：
通过电场中任一给定面的电场线总根数，就是该面的电通量就是该面的电通量E。
（1）E为均匀场为均匀场1o设场中有一平面设场中有一平面S，该面的电通量：
该面的电通量：
E=SE2oE=SEcosSSn
（2）E为非均匀场为非均匀场曲面曲面S上上,各点的各点的E大小方向均不同大小方向均不同取面积元取面积元dS，其上的电通量：
，其上的电通量：
S面上的总通量：
面上的总通量：
当当S为闭合曲面时：
为闭合曲面时：
对闭合面的法线方向规定：
对闭合面的法线方向规定：
自内向外为法线的自内向外为法线的正正方向方向E线从曲面内向外穿出线从曲面内向外穿出而从曲面外向内穿而从曲面外向内穿入入E的单位：
的单位：
dSS3.真空中静电场的高斯定理真空中静电场的高斯定理静电场的基本规律之一静电场的基本规律之一
（1）高斯定理）高斯定理通过任意闭合通过任意闭合曲面曲面S的电通量的电通量S面包围的面包围的电荷的代数和电荷的代数和即：
即：
内内证明：
证明：
设真空中有一点电荷设真空中有一点电荷q，在在q的电场中，的电场中，
（1）取以取以q为中心为中心r为半径的球面为半径的球面S该该S上的电通量为：
上的电通量为：
S内内内内
（2）设想任意闭合面设想任意闭合面S，且，且S与与S包围同包围同一个点电荷一个点电荷q，由电场线的连续性可知：
由电场线的连续性可知：
看出看出电通量电通量与球面半径、与球面半径、闭合曲面形状无关。
闭合曲面形状无关。
证明：
证明：
SSS内内设真空中有一点电荷设真空中有一点电荷q，在在q的电场中，的电场中，内内（3）若球面若球面S或任意曲面或任意曲面S不包围电荷不包围电荷qSS=0即即:
曲面外的电荷对闭合曲面的电通量无贡献曲面外的电荷对闭合曲面的电通量无贡献穿入的穿入的电场线电场线穿出的穿出的电场线电场线设真空中有一点电荷设真空中有一点电荷q，在在q的电场中，的电场中，证明：
证明：
内内（4）若在同一空间有若在同一空间有q1、q2qn电荷系电荷系任意点的电场强度为任意点的电场强度为:
取任意闭合面取任意闭合面S，S其电通量为其电通量为:
由单个点电荷的结论由单个点电荷的结论qi在在S内内qj不在不在S内内定理得证！
定理得证！
证明：
证明：
内内内内2封闭面封闭面S上的场强上的场强E是由是由S内的电荷产生，而内的电荷产生，而与与S外的电荷无关吗？
外的电荷无关吗？
1E只决定于只决定于闭合曲闭合曲面面S包围的电荷，包围的电荷，S面外的面外的电荷对电荷对E无贡献。
无贡献。
3若若S内的电荷是连续分布内的电荷是连续分布E是由是由全部电荷全部电荷共同产生的合场强共同产生的合场强qi移动，移动，E、变否？
变否？
注意注意曲面曲面S内内带电体的体积带电体的体积内内体电荷密度体电荷密度有关！
有关！
高斯定理的意义：
高斯定理的意义：
有净电场线从闭合面内有净电场线从闭合面内发出发出有净电场线到闭合面内有净电场线到闭合面内终止终止反映电场的基本性质反映电场的基本性质说明静电场是有源场！
说明静电场是有源场！
电磁场的基本方程之一电磁场的基本方程之一若若若若内内高斯定理的微分形式：
高斯定理的微分形式：
电场强度的散度，等于体电荷密度电场强度的散度，等于体电荷密度与与之比。
之比。
梯度算符梯度算符即电场线起于正电荷，止于负电荷。
即电场线起于正电荷，止于负电荷。
例例9.求均匀带电球面的电场。
求均匀带电球面的电场。
设半径为设半径为R,电量为电量为+q。
.PdqdEdEdqR解：
解：
取取r为半径的同心为半径的同心高斯球面高斯球面So方向为方向为rrEoR+q二、用高斯定理求二、用高斯定理求E内内又又当当而而内内内内例例10.求均匀带电球体的电场分布。
求均匀带电球体的电场分布。
设半径为设半径为R,电量为电量为+q。
R解：
解：
取以取以r为半径的同心高斯球面为半径的同心高斯球面So方向为方向为rrEoR方向为方向为rr0时时,E0.Pdq例例11.用高斯定理求均匀带电的用高斯定理求均匀带电的无限长圆柱棒的电场分布无限长圆柱棒的电场分布,已知线电荷密度已知线电荷密度。
解：
解：
取半径为取半径为r,高为高为h的同轴高斯圆柱面的同轴高斯圆柱面通过该面的电通量：
通过该面的电通量：
00hr+侧面侧面侧面侧面对有限长的棒对有限长的棒不成立不成立讨论：
讨论：
1r0,E？
无限长均匀带电圆柱体无限长均匀带电圆柱体无限长均匀带电圆柱面无限长均匀带电圆柱面2两平行输电线的电场分布？
两平行输电线的电场分布？
体密度体密度3同轴电缆的电场？
同轴电缆的电场？
r例例12.无限大无限大薄薄平板均匀带电，面电荷密度平板均匀带电，面电荷密度+，求求场强分布场强分布?
解：
解：
由电荷分布可知场相对平面对称由电荷分布可知场相对平面对称,过场点作闭合高斯柱面过场点作闭合高斯柱面平板平板与板等距离平面上与板等距离平面上E相等相等方向：
垂直于平板向外方向：
垂直于平板向外内内并且并且内内例例13.无限大平板厚度为无限大平板厚度为d，电荷体密度为，电荷体密度为，电场强度如何分布？
电场强度如何分布？
解：
解：
均匀电场均匀电场板内：
板内：
板外：
板外：
如图在平板内、外作底面如图在平板内、外作底面为为S的高斯柱面：
的高斯柱面：
电场相对板的中心平面对称电场相对板的中心平面对称小结高斯定理解题步骤：
小结高斯定理解题步骤：
（1）分析电场是否具有对称性。
）分析电场是否具有对称性。
（2）取合适的高斯面）取合适的高斯面（封闭面封闭面）,与电场线垂直，与电场线垂直，并且曲面上并且曲面上E大小相等。
大小相等。
（3）E相等的面不构成闭合面时，相等的面不构成闭合面时，另选法线另选法线的面。
的面。
（4）分别求出）分别求出和和，从而求得从而求得E。
内内例例14.一半径为一半径为R,电荷密度为电荷密度为的均匀带电球内有一的均匀带电球内有一半径为半径为r的空腔，证明空腔内为均匀电场。
的空腔，证明空腔内为均匀电场。
Roro证明：
证明：
过空腔内任一点过空腔内任一点P,作以作以r为为半径半径,o为心的高斯球面为心的高斯球面.P设想空腔内充有设想空腔内充有+和和的电荷的电荷,所有所有+构成一完整的带电球。
构成一完整的带电球。
根据高斯定理：
根据高斯定理：
所有所有+在空腔内在空腔内P点产生的场强为点产生的场强为.P同理同理过空腔内的过空腔内的P点，作以点，作以r为为半径半径,空腔圆心空腔圆心o为心的高斯球面为心的高斯球面.根据高斯定理可得根据高斯定理可得,所有所有在在P点产生的电场点产生的电场:
P点的合场强：
点的合场强：
即腔内为均匀电场即腔内为均匀电场所有所有+在空腔内在空腔内P点产生的场强为点产生的场强为Roro.P1.下列说法是否正确：
下列说法是否正确：
答：
答：
不对（如图）。
不对（如图）。
（1）应用高斯定理的条件是电场必须具有对称性。
应用高斯定理的条件是电场必须具有对称性。
答：
答：
不对。
不对。
（3）若闭合曲面若闭合曲面S上各点上各点的场强为零时，则的场强为零时，则S面内必面内必定未包围电荷。
定未包围电荷。
答：
答：
不对（如图）。
不对（如图）。
讨论讨论高斯定理高斯定理
（2）静电场中任一闭合曲面静电场中任一闭合曲面S，若有，若有，则则S面上的面上的E处处为零。
处处为零。
2.有一对等量异号的电荷如图，求通过有一对等量异号的电荷如图，求通过S1、S2、S3、S4各面的电通量。
各面的电通量。
解：
解：
3.空腔中能否作一高斯面求得腔内任一点的空腔中能否作一高斯面求得腔内任一点的场强为零？
场强为零？
答：
答：
不行！
虽然空腔中不行！
虽然空腔中E处处相等，但方向处处相等，但方向不与不与平行，平行，用高斯定理仍然不能求出场强。
用高斯定理仍然不能求出场强。
（4）三个相等的点电荷置于等边三角形三个相等的点电荷置于等边三角形三个顶点上，以三角形的中心为球心作一三个顶点上，以三角形的中心为球心作一球面球面S如图，能用高斯定理求面上的场强。
如图，能用高斯定理求面上的场强。
答：
答：
不对。
不对。
但有但有成立。
成立。
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