授课提纲24-动能定理2.ppt

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动能定理与机械能守恒动能定理与机械能守恒讨论讨论第第12章章质点系动能定理质点系动能定理动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用质点系的动能质点系的动能动能动能-是度量质点或质点系整体运动效应的特征量之一是度量质点或质点系整体运动效应的特征量之一质点的动能质点的动能1）1）平移刚体的动能平移刚体的动能平移刚体的动能平移刚体的动能刚体各点的速度相同，用质心的速度刚体各点的速度相同，用质心的速度刚体各点的速度相同，用质心的速度刚体各点的速度相同，用质心的速度平移刚体的动能相当于将刚体的质量集中在质心时质点的动能平移刚体的动能相当于将刚体的质量集中在质心时质点的动能平移刚体的动能相当于将刚体的质量集中在质心时质点的动能平移刚体的动能相当于将刚体的质量集中在质心时质点的动能

（2）

（2）定轴转动刚体的动能等于刚体对于定轴的转动惯量与转动角定轴转动刚体的动能等于刚体对于定轴的转动惯量与转动角定轴转动刚体的动能等于刚体对于定轴的转动惯量与转动角定轴转动刚体的动能等于刚体对于定轴的转动惯量与转动角速度平方乘积的一半速度平方乘积的一半速度平方乘积的一半速度平方乘积的一半3）3）平面运动刚体的动能平面运动刚体的动能平面运动刚体的动能平面运动刚体的动能平面运动刚体的动能等于刚体跟随质心平移的动能与平面运动刚体的动能等于刚体跟随质心平移的动能与平面运动刚体的动能等于刚体跟随质心平移的动能与平面运动刚体的动能等于刚体跟随质心平移的动能与相对于质心平移系的转动动能之和。

相对于质心平移系的转动动能之和。

相对于质心平移系的转动动能之和。

相对于质心平移系的转动动能之和。

动能定理动能定理动能定理动能定理:

质点从某一位置运动到另一质点从某一位置运动到另一质点从某一位置运动到另一质点从某一位置运动到另一位置，其动能改位置，其动能改位置，其动能改位置，其动能改变量等于运动过程中作用在质点上的合力所作之功变量等于运动过程中作用在质点上的合力所作之功变量等于运动过程中作用在质点上的合力所作之功变量等于运动过程中作用在质点上的合力所作之功（55）对问题的进一步分析与讨论。

）对问题的进一步分析与讨论。

应用动能定理解题的步骤：

应用动能定理解题的步骤：

（11）明确分析对象，一般以）明确分析对象，一般以整个系统整个系统为研究对象；为研究对象；（22）分析系统的受力，区分主动力与约束力，）分析系统的受力，区分主动力与约束力，在理想约束的情况下在理想约束的情况下约束力不做功约束力不做功；（33）分析系统的运动，计算系统在任意位置的动能）分析系统的运动，计算系统在任意位置的动能或在或在起始和终了起始和终了位置的动能；位置的动能；（44）应用动能定理建立系统的动力学方程，而后求解；）应用动能定理建立系统的动力学方程，而后求解；动力学普遍定理动力学普遍定理动力学普遍定理动力学普遍定理动量定理动量定理动量定理动量定理动量矩动量动量矩动量动量矩动量动量矩动量动能定理动能定理动能定理动能定理动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用分别建立了质系动量和分别建立了质系动量和动量矩与质系所受外力动量矩与质系所受外力系的主矢和外力系的主系的主矢和外力系的主矩之间的关系，它们是矩之间的关系，它们是矢量形式矢量形式的。

的。

建立了质系的动能与作建立了质系的动能与作用于质系上的力的功之用于质系上的力的功之间的关系，是间的关系，是标量形式标量形式的的。

44、动能定理涉及系统的、动能定理涉及系统的始末位置始末位置，不涉及约束反力。

，不涉及约束反力。

55、注意综合应用。

、注意综合应用。

一、正确掌握各定理特征：

一、正确掌握各定理特征：

11、动量定理与动量矩定理只涉及系统的、动量定理与动量矩定理只涉及系统的外力外力，而与，而与内力内力无关；无关；22、动量定理揭示质系质心的运动、动量定理揭示质系质心的运动,反映系统反映系统移动时移动时的动力学性质的动力学性质;33、动量矩定理反映系统绕、动量矩定理反映系统绕某定点或某定轴某定点或某定轴转动的动力学性质；转动的动力学性质；二、根据题目的要求，联系各定理的特征，决定所采用的方法：

二、根据题目的要求，联系各定理的特征，决定所采用的方法：

11、如果给出了系统的、如果给出了系统的始末位置始末位置，求，求vv、aa、，而不，而不涉及约束反力时，用涉及约束反力时，用动能定理动能定理；（若涉及反力，也可先；（若涉及反力，也可先由动能定理求出由动能定理求出vv、aa、，后用其他方法求反力），后用其他方法求反力）22、求反力或绳子内力用质心运动定理；、求反力或绳子内力用质心运动定理；33、对于转动刚体可用动量矩定理或定轴转动微分方程；、对于转动刚体可用动量矩定理或定轴转动微分方程；44、对平面运动刚体可用平面运动微分方程；、对平面运动刚体可用平面运动微分方程；22、在所选择的定理表达式中，不出现相关的未知力。

在所选择的定理表达式中，不出现相关的未知力。

在所选择的定理表达式中，不出现相关的未知力。

在所选择的定理表达式中，不出现相关的未知力。

如果选用动能定理，对于受理想约束的系统，可以不必将如果选用动能定理，对于受理想约束的系统，可以不必将如果选用动能定理，对于受理想约束的系统，可以不必将如果选用动能定理，对于受理想约束的系统，可以不必将系统拆开，而直接对系统拆开，而直接对系统拆开，而直接对系统拆开，而直接对系统整体系统整体系统整体系统整体应用动能定理，建立一个应用动能定理，建立一个应用动能定理，建立一个应用动能定理，建立一个标量标量标量标量方程方程方程方程，求得速度或加速度，求得速度或加速度，求得速度或加速度，求得速度或加速度（角速度或角加速度角速度或角加速度角速度或角加速度角速度或角加速度）。

分析和解决复杂系统的动力学问题时，选择哪一个定理的分析和解决复杂系统的动力学问题时，选择哪一个定理的分析和解决复杂系统的动力学问题时，选择哪一个定理的分析和解决复杂系统的动力学问题时，选择哪一个定理的思路是：

思路是：

思路是：

思路是：

11、所要求的运动量在所选择的定理中能不能、所要求的运动量在所选择的定理中能不能、所要求的运动量在所选择的定理中能不能、所要求的运动量在所选择的定理中能不能比较容比较容比较容比较容易地易地易地易地表达出来；表达出来；表达出来；表达出来；对于由多个刚体组成的复杂系统，求解动力学问题时，如对于由多个刚体组成的复杂系统，求解动力学问题时，如对于由多个刚体组成的复杂系统，求解动力学问题时，如对于由多个刚体组成的复杂系统，求解动力学问题时，如果选用果选用果选用果选用动量定理或动量矩定理，需要将系统拆开动量定理或动量矩定理，需要将系统拆开动量定理或动量矩定理，需要将系统拆开动量定理或动量矩定理，需要将系统拆开，不仅涉及，不仅涉及，不仅涉及，不仅涉及的方程数目比较多，而且会涉及求解联立方程。

的方程数目比较多，而且会涉及求解联立方程。

的方程数目比较多，而且会涉及求解联立方程。

的方程数目比较多，而且会涉及求解联立方程。

一般思路一般思路:

1,首先观察是否有守衡量首先观察是否有守衡量2,再用再用动能定理动能定理或或运动学运动学（合成法或给定法合成法或给定法）知识求运动量知识求运动量3,最后用最后用动量定理，动量矩定理动量定理，动量矩定理求力求力思路因题而异，熟能生巧，积累！

思路因题而异，熟能生巧，积累！

12-312-3动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用例题:

卷扬机如图所示，已知鼓轮在常力偶M的作用下将圆柱由静止沿斜坡上拉。

鼓轮的半径为R1，质量为m1质量分布在轮缘上，圆柱的半径为R2，质量为m2,质量均匀分布，圆柱滚而不滑，求轮心沿斜面上升距离S时O点的速度与加速度。

POASm2gm1g解：

（1）主动力做的功

（2）动能练习题:

均质圆柱体重为P，放在倾角为的斜面上，只滚不滑，轮心O处系一绳子，跨过重为W的均质滑轮与重物Q相连，两轮半径相等，系统初始静止，求轮心O沿斜面下滑距离S时O点的速度与加速度。

解：

POASQ前式两端对时间求到，即得加速度：

例题:

长为l、重为Q的均质杆AB的A端与一半径为R、重为P的均质圆轮的轮心绞接在一起，轮与地面间只滚不滑，墙与杆间无摩擦，系统初始静止，0=450，而后自由下落，求轮心A在初瞬时的加速度。

BA解：

CvAvBvCPD上式两端对时间求导:

下滑的初瞬时，代入上式，则有：

练习题:

长为l、质量为m的均质杆从水平位置无初速落下到图示位置时，求杆的角速度和角加速度。

OACmg解：

求O点的支反力。

OACmgXOYO解:

受力如图练习题:

两相同的均质滑轮，半径为R、重为P，用绳缠绕如图，系统由静止开始下落，求：

1）质心B的速度与下落距离h的关系；2）质心B的加速度；3）若在A轮上作用一逆时针的力偶矩M，问在什麽条件下圆轮B的质心将上升？

BA解：

1）CDABh下来确定A与B的关系，为此，分别研究A、B轮，受力分别如图：

TPTPXAYA对A轮应用定轴转动微分方程：

对B轮应用相对于质心的动量矩定理：

由于系统初始静止，将上式积分后有：

2）上式两端对时间求导后有：

3）欲使B上升，则需aB0BBTPAATPXAYAMAaB练习题:

均质圆柱体重为P，其中心O绞接一重为Q的均质直杆OA，放在倾角为的斜面上，轮子只滚不滑，OA杆的A端与斜面间无摩擦，系统初始静止，求轮心沿斜面下滑距离S时O点的速度与加速度。

OAS解：

P由于轮心O作直线运动，将上式两端对时间求一阶导数得到：

作业作业12-612-6，1212练习题:

均质杆OA长l、重P，杆端A与半径为R、重为Q的均质圆轮的轮心绞接，不计摩擦，初始OA水平，系统静止，求杆自由下落到与水平成角时杆的角速度及角加速度。

OAA解：

下面寻求O与A及vA的关系，分析A轮受力：

AAQXAYA练习题:

均质杆AB长l，A端铰接，杆自水平位置无初速下落，当杆通过铅直位置时，突然撤去铰链成为自由体，求：

1）此后质心的轨迹；2）当杆的质心下落距离h后，杆共转了多少圈？

ABh解：

1）撤去支座后，质心为抛射体运动，杆作平面运动，故应先求出脱离时的速度和角速度。

此时，=0，=常量此时，a=0，vc=常量脱离后由质心运动定理：

消去时间t即得质心轨迹为一抛物线。

当质心下降h后，即yc=h，求出此时的t，代入c，即可求出杆转过的弧度h为当质心下降h后杆转过的圈数为：

练习题:

均质杆长l、重Q，不计摩擦，求到达任意位置时的角速度、角加速度及A、B两处的反力。

CBA解：

PvCCP点为杆AB的瞬心上式两端对时间求导后有：

CBAPvCC分析受力如图：

NANB杆质心C的轨迹为一半径为l/2的圆弧，其圆心位于O点。

O加速度分析：

acnac由质心运动定理有：

其中：

Q将前面求出的有关量代入，联立解出：