人教版选修1-2第一章：统计案例1.1回归分析的基本思想及其初步应用.ppt

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第一课时第一课时必修必修3（3（第二章第二章统计统计）知识结构知识结构收集数据收集数据（随机抽样随机抽样）整理、分析数据整理、分析数据估计、推断估计、推断简简单单随随机机抽抽样样分分层层抽抽样样系系统统抽抽样样用样本估计总体用样本估计总体变量间的相关关系变量间的相关关系用样本用样本的频率的频率分布估分布估计总体计总体分布分布用样本用样本数字特数字特征估计征估计总体数总体数字特征字特征线线性性回回归归分分析析1、两个变量的关系、两个变量的关系不相关不相关相关关相关关系系函数关系函数关系线性相关线性相关非线性相关非线性相关问题问题1：

现实生活中两个变量间的关系有哪：

现实生活中两个变量间的关系有哪些呢？

些呢？

相关关系：

相关关系：

对于两个变量，当自变量取值一定对于两个变量，当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系。

之间的关系。

思考：

相关关系与函数关系有怎样的不同？

函数关系中的两个变量间是一种确定性关系相关关系是一种非确定性关系函数关系是一种理想的关系模型相关关系在现实生活中大量存在，是更一般的情况问题问题2：

对于线性相关的两个变量用什么方法：

对于线性相关的两个变量用什么方法来刻划之间的关系呢？

来刻划之间的关系呢？

2、最小二乘估计、最小二乘估计最小二乘估计下的线性回归方程：

最小二乘估计下的线性回归方程：

回归直线必过样本点的中回归直线必过样本点的中心心3、回归分析的基本步骤回归分析的基本步骤:

画散点图画散点图求回归方程求回归方程预报、决策预报、决策这种方法称为回归分析这种方法称为回归分析.回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法分析的一种常用方法.课堂互动讲练课堂互动讲练该类题属于线性回归问题该类题属于线性回归问题,解答本类题目的关键首解答本类题目的关键首先应先通过散点图来分析两变量间的关系是否相关先应先通过散点图来分析两变量间的关系是否相关,然后再利用求回归方程的公式求解回归方程然后再利用求回归方程的公式求解回归方程.题型一题型一题型一题型一线性回归分析线性回归分析学生学生学科成学科成绩ABCDE数学成数学成绩（x）8876736663物理成物理成绩（y）7865716461

（1）画出散点图；）画出散点图；

（2）求物理成绩）求物理成绩y对数学成绩对数学成绩x的回归直线方程；的回归直线方程；（3）一名学生的数学成绩是）一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理，试预测他的物理成绩成绩.【思路点拨思路点拨】先画散点图先画散点图,分析物理与数学成绩是分析物理与数学成绩是否有线性相关关系否有线性相关关系,若相关再利用线性回归模型求若相关再利用线性回归模型求解预报变量解预报变量.【解解】

（1）散点图如图：

散点图如图：

【题后点评题后点评】求回归直线方程的一般求回归直线方程的一般方法是方法是:

作出散点图作出散点图,将问题所给的数将问题所给的数据在平面直角坐标系中进行描点据在平面直角坐标系中进行描点,这这样表示出的两个变量的一组数据的相样表示出的两个变量的一组数据的相关图形就是散点图关图形就是散点图,从散点图中我们从散点图中我们可以判断样本点是否呈条状分布可以判断样本点是否呈条状分布,进进而判断两个变量是否具有相关关系而判断两个变量是否具有相关关系.例题例题11从某大学中随机选出从某大学中随机选出88名女大学生，其身名女大学生，其身高和体重数据如下表：

高和体重数据如下表：

编号12345678身高165165157170175165155170体重4857505464614359求根据一名女大学生的身高预报她的体重的求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为回归方程，并预报一名身高为172172的女大的女大学生的体重。

学生的体重。

1.散点图；散点图；2.2.回归方程：

回归方程：

分析：

由于问题中分析：

由于问题中要求根据身高预报要求根据身高预报体重，因此选取身体重，因此选取身高为自变量，体重高为自变量，体重为因变量为因变量探究？

探究？

身高为身高为172172的女大学生的体重一定的女大学生的体重一定是是60.316kg60.316kg吗吗？

如果不是？

如果不是,其原因是什其原因是什么么?

（11）由图形观察可以看出，样本点呈条状分布，）由图形观察可以看出，样本点呈条状分布，身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。

用线性回归方程刻画它们之间的关系。

（22）从散点图还可以看到，样本点散布在某一）从散点图还可以看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是一条直线上，所以不能用条直线的附近，而不是一条直线上，所以不能用一次函数来描述它们之间的关系。

一次函数来描述它们之间的关系。

这时我们用下面的线性回归模型来描述身高和体这时我们用下面的线性回归模型来描述身高和体重的关系：

重的关系：

+其中和为模型其中和为模型的的未知参数未知参数，ee是是y与与之间的误差之间的误差,通常通常称为称为随随机误差机误差。

产生随机误差的原因是什么？

产生随机误差的原因是什么？

e产生的主要原因：

产生的主要原因：

（1）所用确定性函数模拟不恰当；所用确定性函数模拟不恰当；

（2）忽略了某些因素的影响；忽略了某些因素的影响；（3）观测误差，如使用的测量工具不同等观测误差，如使用的测量工具不同等函数模型与回归模型之间的差别函数模型与回归模型之间的差别一次函数模型：

y=bx+a线性回归模型线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项增加了随机误差项e，因，因变量变量y的值由自变量的值由自变量x和随机误差项和随机误差项e共同确定，即自共同确定，即自变量变量x只能只能解释部分解释部分y的变化的变化.在统计中，我们也把自变量在统计中，我们也把自变量x称为称为解释变量解释变量，因变量因变量y称为称为预报变量预报变量.线性回归模型：

y=bx+a+e随机误差e的估计量样本点：

相应的随机误差为：

相应的随机误差估计值为：

称为相应于点的残差残差实际上即为具体到某点的随机误差估计值。

残差分析在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否是线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据.然后，可以通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据.这方面的分析工作称为残差分析。

0.382-2.8836.6271.137-4.6182.4192.627-6.373残差5943616454505748体重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321编号下表为女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据：

e以纵坐标为残差，横坐标为编号，作出图形（残差图）来分析残差特性.由图可知，第1个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集这两个样本点的过程中是否有人为的错误.如果数据采集有错误，就予以纠正，然后重新利用线性回归模型拟合数据;如果数据采集没有错误，则需要寻找其他原因.问：

如何刻画模型拟合的精度？

问：

如何刻画模型拟合的精度？

相关指数：

（1）上式中分子称之为残差平方和，分母为确定的数

（2）R2取值越大（越接近1），则残差平方和越小，即模型的拟合效果越好.反之，取值越小，则残差平方和越取值越小，则残差平方和越大大，即即模型的拟合效果越差.（3）在例1中我们可以求出R2=0.64，表明：

“女大学生的身高解释了64的体重变化”，或者说“女大学生的体重差异有64是由身高引起的”。

其中：

解释解释预报预报1问题四：

结合例问题四：

结合例1思考：

用回归方程预报体重时应注意什么思考：

用回归方程预报体重时应注意什么？

1.回归方程只适用于我们所研究的样本的总体。

回归方程只适用于我们所研究的样本的总体。

2.我们建立的回归方程一般都有时间性。

我们建立的回归方程一般都有时间性。

3.样本取值的范围会影响回归方程的适用范围。

样本取值的范围会影响回归方程的适用范围。

4.不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。

精确值。

涉及到统计的一些思想：

涉及到统计的一些思想：

模型适用的总体；模型的时间性；模型适用的总体；模型的时间性；样本的取值范围对模型的影响；模型预报结果的正确理样本的取值范围对模型的影响；模型预报结果的正确理解。

解。

建立回归模型的基本步骤：

（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量;

（2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在线性关系）；（3）由经验确定回归方程的类型（如观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y=bx+a）；（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）；（5）得出结果后分析残差图是否异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性等），若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等.是否存在线性关系是否存在线性关系第二课时第二课时题型二题型二题型二题型二非线性回归分析非线性回归分析对于非线性回归问题对于非线性回归问题,并且没有给出经验公并且没有给出经验公式式,这时我们可以画出已知数据的散点图这时我们可以画出已知数据的散点图,把它与必修模块把它与必修模块数学数学1中学过的各种函中学过的各种函数（幂函数、指数函数、对数函数等）的数（幂函数、指数函数、对数函数等）的图象作比较图象作比较,挑选一种跟这些散点拟合得最挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数好的函数,然后采用适当的变量代换然后采用适当的变量代换,把问把问题转化为线性回归问题题转化为线性回归问题,使其得到解决使其得到解决.例例2一只红铃虫的产卵数一只红铃虫的产卵数y和温度和温度x有关有关,现收现收集了集了7组观测数据列于表中：

组观测数据列于表中：

温度温度xoC21232527293235产卵数产卵数y/个个711212466115325试建立产卵数试建立产卵数yy与温度与温度xx之间的回归方程；之间的回归方程；选变量选变量解：

选取气温为解释变量解：

选取气温为解释变量xx，产卵数产卵数为预报变量为预报变量yy。

画散点图画散点图假设线性回归方程为假设线性回归方程为：

=bx+a选选模模型型分析和预测分析和预测当当x=28时，时，y=19.8728-463.7393估计参数估计参数由计算器得：

线性回归方程为由计算器得：

线性回归方程为y=y=19.8719.87xx-463.73-463.73所以，一次函数模型拟合效果不太好。

所以，一次函数模型拟合效果不太好。

050100150200250300350036912151821242730333639当当x=28时，时，y=19.8728-463.7393方方法法一一：

一一元元函函数数模模型型y=c1x2+c2变换变换y=c1t+c2非线性关系非线性关系线性关系线性关系问题问题选用选用y=c1x2+c2，还是还是y=c1x2+cx+c2？

问题问题3产卵数产卵数气气温温问题问题2如何求如何求c1、c2？

t=x2方方法法二二，二二元元函函数数模模型型平方变换平方变换：

令令t=xt=x22，产卵数产卵数yy和温度和温度xx之间二次函数模型之间二次函数模型y=bxy=bx22+a+a就转化为产卵数就转化为产卵数yy和温度的平方和温度的平方tt之间线性回归模型之间线性回归模型y=y=bt+abt+a温度温度21232527293235温度的平方温度的平方t44152962572984110241225产卵数产卵数y/个个711212466115325作作散散点点图图，并并由由计计算算器器得得：

yy和和tt之之间间的的线线性性回回归归方方程程为为y=y=0.3670.367tt-202.54-202.54将将t=xt=x22代入线性回归方程得：

代入线性回归方程得：

y=y=0.3670.367xx22-202.54-202.54当当xx=28=28时时，yy