平面问题(1).ppt

平面问题(1).ppt

《平面问题(1).ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平面问题(1).ppt（112页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

第五章第五章平面问题的求解平面问题的求解要点要点建立直角坐标和极坐标下的平面问题基本方程建立直角坐标和极坐标下的平面问题基本方程包括：

平衡微分方程；几何方程；物理方包括：

平衡微分方程；几何方程；物理方程；变形协调方程；边界条件的描程；变形协调方程；边界条件的描述；方程的求解方法等述；方程的求解方法等l应力、应变和位移是弹性力学的应力、应变和位移是弹性力学的3类基本未知类基本未知函数，当这函数，当这3类基本未知函数与第类基本未知函数与第3个坐标方个坐标方向（一般取向（一般取z方向）无关时，则将该类问题称方向）无关时，则将该类问题称为平面问题。

为平面问题。

5-15-1两类平面问题两类平面问题l平面问题是在一个平面域内的求解问题，但并平面问题是在一个平面域内的求解问题，但并非数学上的二维问题。

非数学上的二维问题。

l弹性力学平面问题分为平面应变与平面应力问弹性力学平面问题分为平面应变与平面应力问题两类。

题两类。

1.平面应力问题平面应力问题

（1）几何特征几何特征xyyztba一个方向的尺寸比另一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。

两个方向的尺寸小得多。

等厚薄平板等厚薄平板如：

板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等如：

板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等

（2）受力特征受力特征外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿用，沿z方向不变化。

方向不变化。

xyyztba（3）应力特征应力特征如图选取坐标系，以板的中面如图选取坐标系，以板的中面为为xy平面，垂直于中面的任一直线平面，垂直于中面的任一直线为为z轴。

轴。

由于板面上不受力，有由于板面上不受力，有因板很薄，且外力因板很薄，且外力沿沿z轴方向不变。

轴方向不变。

可认为可认为整个薄板的整个薄板的各点各点都有：

都有：

由剪应力互等定理，有由剪应力互等定理，有结论：

结论：

平面应力问题只有三个应力分量：

平面应力问题只有三个应力分量：

xy应变分量、位移分量也仅为应变分量、位移分量也仅为x、y的函数，与的函数，与z无关。

无关。

2.平面应变问题平面应变问题

（1）几何特征几何特征水坝水坝滚柱滚柱厚壁圆筒厚壁圆筒一个方向的尺寸比另一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸两个方向的尺寸大得多大得多，且且沿长度方向几何形状和沿长度方向几何形状和尺寸不变化尺寸不变化。

近似认为无限长近似认为无限长

（2）外力特征外力特征外力外力（体力、面力）（体力、面力）平行于横截面平行于横截面作作用，且沿长度用，且沿长度z方向不变化。

方向不变化。

约束约束沿长度沿长度z方向不变化。

方向不变化。

（3）变形特征变形特征如图建立坐标系：

以任一横截面为如图建立坐标系：

以任一横截面为xy面，任一纵线为面，任一纵线为z轴。

轴。

设设z方向为无限长，则方向为无限长，则沿沿z方向都不变化，方向都不变化，仅为仅为x，y的函数。

的函数。

任一横截面均可视为对称面任一横截面均可视为对称面水坝水坝因为任一横截面均可视为对称面，则有因为任一横截面均可视为对称面，则有所有各点的位移矢量都平行于所有各点的位移矢量都平行于xy平面。

平面。

平面位移问题平面位移问题平面应变问题平面应变问题注：

注：

（1）平面应变问题中平面应变问题中但是，但是，

（2）平面应变问题中应力分量：

平面应变问题中应力分量：

仅为仅为xy的函数。

的函数。

可近似为平面应变问题的例子：

可近似为平面应变问题的例子：

煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。

煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。

如图所示三种情形，是否都属平面问题？

是平如图所示三种情形，是否都属平面问题？

是平面应力问题还是平面应变问题？

面应力问题还是平面应变问题？

平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题非平面问题非平面问题3.平面问题的求解平面问题的求解问题：

问题：

已知：

外力（体力、面力）、边界条件，已知：

外力（体力、面力）、边界条件，求：

求：

仅为仅为xy的函数的函数建立平面应力（或应变）条件下的基本方程：

建立平面应力（或应变）条件下的基本方程：

（1）静力学关系：

）静力学关系：

（2）几何学关系：

）几何学关系：

（3）物理学关系：

）物理学关系：

形变形变与与应力应力间的关系。

间的关系。

应力应力与与体力、面力体力、面力间的关系；间的关系；形变形变与与位移位移间的关系；间的关系；建立边界条件：

建立边界条件：

平衡微分方程平衡微分方程几何方程几何方程物理方程物理方程

（1）应力边界条件；）应力边界条件；

（2）位移边界条件；）位移边界条件；5-25-2平面问题的基本方程和边界条件平面问题的基本方程和边界条件空间问题的平衡微分方程空间问题的平衡微分方程（纳维叶方程）（纳维叶方程）1.平衡微分方程平衡微分方程对平面应力问题对平面应力问题对平面应变问题对平面应变问题仅为仅为xy的函数。

的函数。

平面问题的平衡微分方程：

平面问题的平衡微分方程：

说明：

说明：

（1）两个平衡微分方程，三个未知量：

）两个平衡微分方程，三个未知量：

超静定问题，需找补充方程才能求解。

超静定问题，需找补充方程才能求解。

（2）对于平面应变问题，）对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用两类平面问题均适用；（3）平衡方程中不含）平衡方程中不含E、，方程与材料性质无关方程与材料性质无关（钢、（钢、石料、混凝土等）；石料、混凝土等）；（4）平衡方程对）平衡方程对整个弹性体内都满足整个弹性体内都满足，包括边界。

，包括边界。

2.2.几何方程几何方程平面应变平面应变平面应力平面应力注：

平面应力问题的解为近似解！

注：

平面应力问题的解为近似解！

l平面应力问题，平面应力问题，但但由由有有对薄板，可认为上两式近似为零，故对薄板，可认为上两式近似为零，故平面应力平面应力问题的解为近似解。

问题的解为近似解。

3.3.物理方程物理方程1.各向同性弹性体的物理方程各向同性弹性体的物理方程其中：

其中：

E为拉压弹性模量；为拉压弹性模量；G为剪切弹性模量；为剪切弹性模量；为泊松比。

为泊松比。

（应力与应变的关系应力与应变的关系）

（1）平面应力问题的物理方程）平面应力问题的物理方程由于平面应力问题由于平面应力问题中中平面应力问题的平面应力问题的平面应力问题的平面应力问题的物理方程物理方程物理方程物理方程注：

注：

（1）

（2）物理方程的另一形式物理方程的另一形式

（2）平面应变问题的物理方程）平面应变问题的物理方程由于平面应变问题由于平面应变问题中中平面应变问题的平面应变问题的平面应变问题的平面应变问题的物理方程物理方程物理方程物理方程注：

注：

（2）平面应变问题平面应变问题物理方程的另一形式：

物理方程的另一形式：

由式（由式（2-13）第三式，得）第三式，得（2-13）

（1）平面应变问题中平面应变问题中，但，但（3）两类平面问题物理方程的）两类平面问题物理方程的转换：

转换：

平面应变问题的平面应变问题的平面应变问题的平面应变问题的物理方程物理方程物理方程物理方程平面应力问题的平面应力问题的平面应力问题的平面应力问题的物理方程物理方程物理方程物理方程

（1）平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题材料常数的转换为：

材料常数的转换为：

（2）平面应变问题平面应变问题平面应力问题平面应力问题材料常数的转换为：

材料常数的转换为：

4.4.边界条件边界条件1.弹性力学平面问题的基本方程弹性力学平面问题的基本方程

（1）平衡方程：

）平衡方程：

（2）几何方程：

）几何方程：

（3）物理方程：

）物理方程：

未知量数：

未知量数：

8个个方程数：

方程数：

8个个结论：

结论：

在适当的在适当的边界条件边界条件下，上述下，上述8个方程可解。

个方程可解。

2.边界条件及其分类边界条件及其分类边界条件：

边界条件：

建立建立边界上的物理量边界上的物理量与与内部物理量内部物理量间的关系。

间的关系。

xyOqP是是力学计算模型力学计算模型建立的重要环节。

建立的重要环节。

边界分类边界分类

（1）位移边界）位移边界

（2）应力边界）应力边界（3）混合边界）混合边界三类边界三类边界

（1）位移边界条件）位移边界条件位移分量已知的边界位移分量已知的边界位移边界位移边界用用us、vs表示边界上的位移分量，表示边界上的位移分量，表表示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为：

表达为：

平面问题的位移边界条件平面问题的位移边界条件平面问题的位移边界条件平面问题的位移边界条件说明：

说明：

称为固定位移边界。

称为固定位移边界。

平面问题的应力边界条件平面问题的应力边界条件

（2）力的边界条件力的边界条件l

（1）边界面力为合力时，面力正负号的确定边界面力为合力时，面力正负号的确定边界面力分量的矢量方向指向坐标轴的边界面力分量的矢量方向指向坐标轴的正正向为正向为正，反之为负反之为负l

（2）边界面力为合力矩时，力矩正负号的确定边界面力为合力矩时，力矩正负号的确定xyMs3.力的边界条件的具体化力的边界条件的具体化xyMs（+）右手法则，右手法则，母指指向母指指向z轴的正向为正，反之为负轴的正向为正，反之为负xyMs（-）xyMs（+）Ms（-）xy例例1如图所示，试写出其边界条件。

如图所示，试写出其边界条件。

xyahhq

（1）

（2）（3）（4）说明：

说明：

x=0的边界条件，是有矛的边界条件，是有矛盾的。

由此只能求出结果：

盾的。

由此只能求出结果：

例例2如图所示，试写出其边界条件。

如图所示，试写出其边界条件。

（1）ABCxyhp（x）p0lAB段（段（y=0）：

）：

代入边界条件公式，有代入边界条件公式，有

（2）BC段（段（x=l）：

）：

（3）AC段（段（y=xtan）:

N例例3图示水坝，试写出其边界条件。

图示水坝，试写出其边界条件。

左侧面：

左侧面：

由应力边界条件公式，有由应力边界条件公式，有右侧面：

右侧面：

例例4图示薄板，在图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分的尖点证明在板中间突出部分的尖点A处无应处无应力存在。

力存在。

解解：

平面应力问题，在平面应力问题，在AC、AB边界上边界上无面力作用。

即无面力作用。

即AB边界：

边界：

由应力边界条件公式，有由应力边界条件公式，有

（1）AC边界：

边界：

代入应力边界条件公式，有代入应力边界条件公式，有

（2）A点同处于点同处于AB和和AC的边界，的边界，满足式（满足式

（1）和（）和

（2），解得），解得A点处无应力作用点处无应力作用例例5图示楔形体，试写出其边界条件。

图示楔形体，试写出其边界条件。

图示构件，试写出其边界条件。

图示构件，试写出其边界条件。

例例6例例5图示楔形体，试写出其边界条件。

图示楔形体，试写出其边界条件。

上侧：

上侧：

下侧：

下侧：

图示构件，试写出其应力边界条件。

图示构件，试写出其应力边界条件。

例例6上侧：

上侧：

下侧：

下侧：

N（3）混合边界条件）混合边界条件

（1）物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。

物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。

（2）物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另一为应力边界条件。

如：

另一为应力边界条件。

如：

图图（a）：

位移边界条件位移边界条件应力边界条件应力边界条件图图（b）：

位移边界条件位移边界条件应力边界条件应力边界条件5-35-3平面问题求解方法平面问题求解方法1.弹性力学问题的求解方法弹性力学问题的求解方法

（1）按位移求解（位移法、刚度法）按位移求解（位移法、刚度法）以以u、v为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用u、v表示，并求出表示，并求出u、v，再由几何方程、物理方程求出应力与再由几何方程、物理方程求出应力与形变分量。

形变分量。

（2）按应力求解（力法，柔度法）按应力求解（力法，柔度法）以以应力分量为基本未知函数，将所有方程都用为基本未知函