川大运筹学资料及试题答案.ppt

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运运筹筹帷帷幄幄之之中中决决胜胜千千里里之之外外线线性性规划规划LinearProgrammingLinearProgramming运运筹筹学学课课件件第第1章章线线性性规规划划|线性规划问题线性规划问题提出提出|可行区域与基本可行解可行区域与基本可行解|单纯形算法单纯形算法|单纯形法进一步讨论单纯形法进一步讨论1.1线线性性规规划划问问题题提出提出|线性规划例题线性规划例题生产计划问题生产计划问题|线性规划模型线性规划模型一般形式一般形式规范形式规范形式标准形式标准形式形式转换形式转换概念概念图解法图解法1.1.1线性规划例题线性规划例题某工厂用三种原料生产三种产品，已知的条件如表某工厂用三种原料生产三种产品，已知的条件如表某工厂用三种原料生产三种产品，已知的条件如表某工厂用三种原料生产三种产品，已知的条件如表所示，试制订总利润最大的生产计划所示，试制订总利润最大的生产计划所示，试制订总利润最大的生产计划所示，试制订总利润最大的生产计划单位产品所需原单位产品所需原料数量（公斤）料数量（公斤）产品产品Q1产品产品Q2产品产品Q3原料可用量原料可用量（公斤（公斤/日）日）原料原料P12301500原料原料P2024800原料原料P33252000单位产品的利润单位产品的利润（千元）（千元）354生生产产计计划划问问题题问问题题分分析析模模型型1.1.2线性规划模型线性规划模型一一般般形形式式注注释释向向量量形形式式矩矩阵阵形形式式标标准准形形式式变一般形式为标准形式变一般形式为标准形式v约束转换约束转换v实例实例v目标转换目标转换v变量转换变量转换不不等等式式变变等等式式松弛变量松弛变量剩余变量剩余变量几几个个概概念念图图解解法法例例解线性规划解线性规划注注释释解可能出现的情况解可能出现的情况：

|可行域是空集可行域是空集|可行域无界无最优解可行域无界无最优解|最优解存在且唯一，则一定在顶点上达到最优解存在且唯一，则一定在顶点上达到|最优解存在且不唯一，一定存在顶点是最优解最优解存在且不唯一，一定存在顶点是最优解1.2可行区域与基本可行解可行区域与基本可行解|可行域的几何结构可行域的几何结构|基本可行解与基本定理基本可行解与基本定理可行域的几何结构可行域的几何结构|基本假设基本假设|凸集凸集|可行域的凸性可行域的凸性基基本本假假设设凸凸集集与与顶顶点点基基本本可可行行解解与与基基本本定定理理|定义定义|基本定理基本定理|问题问题第第29页页例例:

基本解不一定是可行解基本解不一定是可行解基基本本定定理理定定定定理理理理22证明：

由基可行解的定义知，必要性显然成立。

证明：

由基可行解的定义知，必要性显然成立。

充分性：

若向量充分性：

若向量线性独立，则必有线性独立，则必有当当时，它们恰好构成一个基，从而为相应的时，它们恰好构成一个基，从而为相应的基可行解；当基可行解；当时，则一定能从剩余的列向量时，则一定能从剩余的列向量中取出中取出m-k个与个与构成最大的线性独立向量组构成最大的线性独立向量组其对应的解恰为其对应的解恰为x，所以，所以，x是基可行解。

是基可行解。

定定定定理理理理33证明证明

（1）x不是基可行解，则不是基可行解，则x不是可行域的顶点。

不是可行域的顶点。

不失一般性，假设不失一般性，假设x的前的前m个分量为正，则有个分量为正，则有由定理由定理2知，知，线性相关，即存在一组线性相关，即存在一组不全为不全为0的数的数使得有使得有上式乘上一个不为上式乘上一个不为0的数的数与与相加、相减得相加、相减得令令的选取保证，对所有的的选取保证，对所有的有有所以，所以，且且所以，所以，x不是可行域的顶点不是可行域的顶点

（2）x不是可行域的顶点，则不是可行域的顶点，则x不是基可行解。

不是基可行解。

不失一般性，设不失一般性，设不是可行域的顶点，所以可以找到可行域内另外不是可行域的顶点，所以可以找到可行域内另外两个不同点两个不同点Y,Z，有，有X=AY+（1-a）Z（0a0,1-a0，故当，故当因为因为所以所以上面两式相减得上面两式相减得因为因为不全为不全为0，故，故线性相关，即线性相关，即x不是基本可行解。

不是基本可行解。

1.3单单纯纯形形算算法法|算法的三个阶段算法的三个阶段|算法步骤算法步骤|单纯形表单纯形表|算例算例阶阶段段1：

确定初始基可行解：

确定初始基可行解假设问题假设问题引入松弛变量引入松弛变量得得则，可设则，可设则，约束变为则，约束变为则，初始基可行解为则，初始基可行解为则则阶阶段段2：

由一个基可行解到另一个：

由一个基可行解到另一个设初始基可行解设初始基可行解又设前又设前m个坐标非个坐标非0，即，即因为是基可行解，所以因为是基可行解，所以若我们总假定有方法使基矩阵是单位矩阵，则上式展若我们总假定有方法使基矩阵是单位矩阵，则上式展开为开为因为因为是基，所以，其余向量可由它是基，所以，其余向量可由它线性表示线性表示对上式乘以正数对上式乘以正数上式与上式与相加得相加得从中可找到另一个满足约束的点从中可找到另一个满足约束的点要使它成为基可行解，需要满足要使它成为基可行解，需要满足，且至少有一个取等号。

，且至少有一个取等号。

又因为，若又因为，若aij0，则条件自然满足，所以，只需取，则条件自然满足，所以，只需取即可。

即可。

阶阶段段3：

最优性检验和解的判别：

最优性检验和解的判别把基可行解把基可行解分别代入目标分别代入目标令令

（1）当所有的）当所有的说明：

现有顶点的目标函数值说明：

现有顶点的目标函数值比相邻各顶点的目标函数值都大，现有顶点对应的基比相邻各顶点的目标函数值都大，现有顶点对应的基可行解即为唯一最优解。

可行解即为唯一最优解。

（2）当所有的）当所有的又对某个非基变量又对某个非基变量有有则，则，无穷多最优解。

无穷多最优解。

（3）若存在某个）若存在某个又又无界解。

无界解。

的所有分量的所有分量算算法法步步骤骤单纯形表例子单纯形表例子例：

例：

解：

0x321/5014/51-3/510x18/512/501/5cjzj010-25x23/2015/14-3/1410x1110-1/72/7cjzj00-5/14-25/14cj10500cBxBbx1x2x3x40x3934100x485201cjzj10500第第52页页单纯形法的矩阵描述单纯形法的矩阵描述考虑问题考虑问题引入松弛变量引入松弛变量得得第第53页页设设B是一个是一个可行基可行基，若，若则对应于则对应于B的变量向量的变量向量则则同时将同时将C也分成两块也分成两块所以所以,有有第第54页页所以，所以，LP问题写成问题写成将（将

（2）移项后得）移项后得将（将（3）左乘）左乘将（将（4）代入目标（）代入目标

（1）得）得第第55页页单纯形法进一步讨论单纯形法进一步讨论|两阶段法两阶段法|大大M法法|退化退化说明说明第第56页页为什么要做进一步讨论为什么要做进一步讨论第第57页页两两阶阶段段法法第一阶段第一阶段：

不考虑原问题是否存在基可行解，给原问题：

不考虑原问题是否存在基可行解，给原问题加入人工变量，并构造只含人工变量的目标函数加入人工变量，并构造只含人工变量的目标函数w，并，并要求实现最小化。

若求解得要求实现最小化。

若求解得w=0，说明原问题存在基可，说明原问题存在基可行解，可进入第二阶段，否，原问题无可行解，停。

行解，可进入第二阶段，否，原问题无可行解，停。

第二阶段第二阶段：

将第一阶段计算得到的最终表，除去人工变：

将第一阶段计算得到的最终表，除去人工变量，将目标函数行的系数换成原问题的目标函数系数，量，将目标函数行的系数换成原问题的目标函数系数，作为第二阶段的初始表。

作为第二阶段的初始表。

例例算算例例解解:

第一阶段第一阶段cj0000011cBxBbx1x2x3x4x5x6x70x4111-2110001x63-4120-1101x71-2010001Cj-zj6-1-30100cj00000110x4103-20100-11x610100-11-20x31-2010001Cj-zj0-1001030x4123001-22-50x210100-11-20x31-2010001Cj-zj0000011所以，所以，w=0第二阶段第二阶段cj-31100cBxBbx1x2x3x4x50x4123001-21x210100-11x31-20100Cj-zj-10001-3x141001/3-2/31x210100-11x390012/3-4/3Cj-zj0001/31/3大大M法法在一个在一个LP问题的约束条件中加入人工变量后，要求人问题的约束条件中加入人工变量后，要求人工变量对目标函数取值不受影响，为此假定人工变量在工变量对目标函数取值不受影响，为此假定人工变量在目标函数中的系数为（目标函数中的系数为（M），这样目标要实现最大化），这样目标要实现最大化时，必须把人工变量换出基，否则不能最大化。

时，必须把人工变量换出基，否则不能最大化。

采用大采用大M法，引入人工变量，构造新的线性规划问题（法，引入人工变量，构造新的线性规划问题（LP）单纯形表如下单纯形表如下例：

例：

cj-31100MMcBxBbx1x2x3x4x5x6x70x4111-211000Mx63-4120-110Mx71-2010001Cj-zj-3+6M1-M1-3M0M000x4103-20100-1Mx610100-11-21x31-2010001Cj-zj-11-M00M03M-1cj-31100MM0x4123001-22-51x210100-11-21x31-2010001Cj-zj-10001M-1M+1-3x141001/3-2/32/3-5/31x210100-11-21x390012/3-4/34/3-7/3Cj-zj0001/31/3M-1/3M-2/3第第66页页关于退化的说明关于退化的说明单纯形法计算中用单纯形法计算中用规则确定确定换出出变量量时，有，有时存在两个以存在两个以上相同的最小比上相同的最小比值，如此，在下一次迭代中就有一个或几个基，如此，在下一次迭代中就有一个或几个基变量等于量等于0，这便出便出现退化解。

退化解。

为解决，先后有人提出了为解决，先后有人提出了“摄动法摄动法”，“词典序法词典序法”，1974年，年，Bland提出了一种简便的方法，简称提出了一种简便的方法，简称“Bland规则规则”。

（1）选取）选取中下标最小的非基变量中下标最小的非基变量xk为换入为换入变量，即变量，即

（2）当按）当按规则计算存在两个和两个以上最小比值规则计算存在两个和两个以上最小比值时，选取时，选取下标最小的基变量为换出变量。

下标最小的基变量为换出变量。