同余的基本概念和性质.ppt

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3.1同余的概念和性质第三章第三章同同余余同余是数论中的一个基本概念。

本同余是数论中的一个基本概念。

本章除介绍同余的基础知识外，还要章除介绍同余的基础知识外，还要介绍它的一些应用。

介绍它的一些应用。

第一节第一节同余的基本性质同余的基本性质定定义义1给给定定正正整整数数m，如如果果整整数数a与与b之之差差被被m整整除除，则则称称a与与b对对于于模模m同同余余，或或称称a与与b同同余余，模模m，记为，记为ab（modm），此此时也称也称b是是a对模模m的同余的同余如如果果整整数数a与与b之之差差不不能能被被m整整除除，则称称a与与b对于于模模m不不同同余余，或或称称a与与b不不同同余余，模模m，记为ab（modm）。

第一节第一节同余的基本性质同余的基本性质定理定理1下面的三个叙述是等价的：

下面的三个叙述是等价的：

（）ab（modm）；（）存在整数存在整数q，使得，使得a=bqm；（）存在整数存在整数q1，q2，使得，使得a=q1mr，b=q2mr，0r0ab（modd）;（）ab（modm）,k0,kNakbk（modmk）；（）ab（modmi），1ikab（modm1,m2,mk）；（）ab（modm）（a,m）=（b,m）；（）acbc（modm）,（c,m）=1ab（modm）.第一节第一节同余的基本性质同余的基本性质证明证明结论结论（）（）的证明，留作习题。

的证明，留作习题。

（）由由acbc（modm）得得到到mc（ab），再再由由（c,m）=1和和第第一一章章第第三三节定理节定理4得到得到mab，即，即ab（modm）。

证毕。

证毕。

第一节第一节同余的基本性质同余的基本性质例例1设设N=是整数是整数N的十进制表示，即的十进制表示，即N=an10nan110n1a110a0，则，则（）3|N（）9|N（）11|N（）13|N第一节第一节同余的基本性质同余的基本性质证明证明由由1001，1011，1021，（mod3）及式及式

（2）可知可知N=（mod3），由上式可得到结论由上式可得到结论（）。

结论结论（），（）用同样方法证明。

用同样方法证明。

第一节第一节同余的基本性质同余的基本性质为了证明结论为了证明结论（），只需利用式，只需利用式

（2）及及1001，1013，1024，1031，（mod13）和和第一节第一节同余的基本性质同余的基本性质注注:

一一般般地地，在在考考虑虑使使被被m除的余数时，首先是求出正整数除的余数时，首先是求出正整数k，使得，使得10k1或或1（modm），再将再将写成写成的形式，再利用式的形式，再利用式

（2）。

第一节第一节同余的基本性质同余的基本性质例例2求求被被7整整除除的的条条件件，并并说明明1123456789能否被能否被7整除。

整除。

解解1001,1013,1022,1031（mod7）,因因此此即即第一节第一节同余的基本性质同余的基本性质由于由于7894561231=455，7455，所以所以71123456789。

第一节第一节同余的基本性质同余的基本性质解解依次计算同余式依次计算同余式224，2416，28256，216154，2321（mod641）。

例例3说明明是否被是否被641整除。

整除。

因此因此0（mod641），即即641。

第一节第一节同余的基本性质同余的基本性质注注:

一一般般地地，计计算算ab（modm）常常是是一一件件比比较较繁繁复复的的工工作作。

但但是是，如如果果利利用用Euler定定理理或或Fermat定理（见第四节）就可以适当简化。

定理（见第四节）就可以适当简化。

第一节第一节同余的基本性质同余的基本性质解解（2573346）26（7334）26=7（72）164267

（1）16426=（74）26326=3（35）53（7）5=37（72）22129（mod50），即所求的余数是即所求的余数是29。

例例4求求（2573346）26被被50除的余数。

除的余数。

第一节第一节同余的基本性质同余的基本性质解解我们有我们有713，721，741（mod10），因此，若因此，若77r（mod4），则则例例5求求的个位数。

的个位数。

现在现在77

（1）713（mod4），第一节第一节同余的基本性质同余的基本性质所以由式所以由式（3）得到得到即即n的个位数是的个位数是3。

注注:

一一般般地地，若若求求对对模模m的的同同余余，可可分分以以下下步步骤骤进行：

进行：

（）求出整数求出整数k，使，使ak1（modm）；（）求出正整数求出正整数r,rk,使得使得bcr（modk）;（）ar（modm）。

第一节第一节同余的基本性质同余的基本性质证明证明由由42n+13n+2=442n93n=416n93n43n93n=133n0（mod13）例例6证明明:

若若n是正整数是正整数,则1342n+13n+2.得证。

得证。

第一节第一节同余的基本性质同余的基本性质证明证明设设a=2k1，当，当n=1时，有时，有a2=（2k1）2=4k（k1）11（mod23），即式即式（4）成立。

成立。

例例7证明：

若明：

若2a，n是正整数，是正整数，则1（mod2n+2）。

（4）第一节第一节同余的基本性质同余的基本性质设式设式（4）对于对于n=k成立，则有成立，则有1（mod2k+2）=1q2k+2，其中其中qZ，所以，所以=（1q2k+2）2=1q2k+31（mod2k+3），其其中中q是是某某个个整整数数。

这这说说明明式式（4）当当n=k1也也成立。

成立。

由归纳法知式由归纳法知式（4）对所有正整数对所有正整数n成立。

成立。

第一节第一节同余的基本性质同余的基本性质证明证明由由a21（modp）pa21=（a1）（a1），所以必是所以必是pa1或或pa1，例例8设p是是素素数数，a是是整整数数，则由由a21（modp）可以推出可以推出a1或或a1（modp）。

即即a1（modp）或或a1（modp）。

第一节第一节同余的基本性质同余的基本性质解解因为因为792=8911，故，故792n8n，9n及及11n。

我们有我们有8n8z=6，以以及及9n913xy45z=19xy9xy1，（5）例例9设n的的十十进制制表表示示是是,若若792n,求求x，y，z。

第一节第一节同余的基本性质同余的基本性质11n11z54yx31=3yx113yx。

（6）由于由于0x,y9，所以由式，所以由式（5）与式与式（6）分别得出分别得出xy1=9或或18，3yx=0或或11。

第一节第一节同余的基本性质同余的基本性质这样得到四个方程组：

这样得到四个方程组：

其其中中a取取值值9或或18，b取取值值0或或11。

在在0x,y9的的条件下解这四个方程组，得到条件下解这四个方程组，得到x=8，y=0，z=6。

习习题题一一1.证明定理证明定理1和定理和定理2。

2.证明定理证明定理4。

3.证明定理证明定理5中的结论中的结论（）（）。

4.求求81234被被13除的余数。

除的余数。

5.设设f（x）是是整整系系数数多多项项式式，并并且且f

（1）,f

（2）,f（m）都不能被都不能被m整除整除,则则f（x）=0没有整数解没有整数解.6.已知已知99，求，求与与。