电磁感应中的单杆和双杆问题习题答案.docx
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电磁感应中的单杆和双杆问题习题答案
电磁感应中“滑轨”问题归类例析
一、“单杆”滑切割磁感线型
1、杆与电阻连接组成回路
例1、如图所示，MN、PQ是间距为L的平行金属导轨，置于磁感强度为B、方向垂直导轨所在平面向里的匀强磁场中，M、P
间接有一阻值为R的电阻．一根与导轨接触良好、阻值为R／2的金属导线ab垂直导轨放置
（1）若在外力作用下以速度v向右匀速滑动，试求ab两点间的电势差。
（2）若无外力作用，以初速度v向右滑动，试求运动过程中产生的热量、通过及ab发生的位移x。
例2、如右图所示，一平面框架与水平面成37°角，宽L=0.4m，上、下两端各有一个电
阻R0＝1Ω，框架的其他部分电阻不计，框架足够长.垂直于框平面的方向存在向上的匀强磁场，磁感应强度B＝2T.ab为金属杆，其长度为L＝0.4m，质量m＝0.8kg，电阻r＝0.5Ω，棒与框架的动摩擦因数μ＝0.5.由静止开始下滑，直到速度达到最大的过程中，上端电阻R0产生的热量Q0＝0.375J（已知sin37°＝0.6，cos37°=0.8；g取10m／s2）求：
（1）杆ab的最大速度；
（2）从开始到速度最大的过程中ab杆沿斜面下滑的距离；在该过程中通过ab的电荷量.
关键：
在于能量观，通过做功求位移
2、杆与电容器连接组成回路
例3、如图所示,竖直放置的光滑平行金属导轨,相距L,导轨一端接有一个电容器,电容量为C,匀
强磁场垂直纸面向里,磁感应强度为B,质量为m的金属棒ab可紧贴导轨自由滑动.现让ab从高h处由静止下滑,不考虑空气阻力,也不考虑任何部分的电阻和自感作用.求金属棒下落的时间？
问金属棒的做什么运动？
棒落地时的速度为多大？
例4、光滑U型金属框架宽为
L，足够长，其上放一质量为
m的金属棒ab，左端连接有一电容为
C的电容器，现给棒一个初速速度。
v0，使棒始终垂直框架并沿框架运动，如图所示。
求导体棒的最终
a
C
v0
3、杆与电源连接组成回路
穿过导轨面．横跨在导轨上的直导线ab的质量m=0.1kg、电阻R=0.8Ω，导轨电阻不计．导轨间通过开关S将电动势E=1.5V、内电阻r=0.2Ω的电池接在M、P两端，试计算分析：
（1）在开关S刚闭合的初始时刻，导线ab的加速度多大？
随后ab的加速度、速度如何变化？
（2）在闭合开关S后，怎样才能使ab以恒定的速度υ=7.5m/s沿导轨向右运动？
试描述这时电路中的能量转化情况（通过具体的数据计算说明）
二、“双杆”滑切割磁感线型
1、双杆所在轨道宽度相同——常用动量守恒求稳定速度
例6、两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L。
导轨上面横放着两根导体棒ab和cd，
构成矩形回路，如图所示．两根导体棒的质量皆为m，电阻皆为R，回路中其余部分的电阻可不计．在整个导轨平面内都有
竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B．设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行．开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的
初速度v0．若两导体棒在运动中始终不接触，求：
（1）在运动中产生的焦耳热最多是多少．
（2）当ab棒的速度变为初速度的3/4时，cd棒的加速度是多少？
ac
例7、如图所示，两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应强度B=0.50T的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计。
导轨间的距离l=0.20m。
两根质量均为m=0.10kg的平
行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为R=0.50Ω。
在t=0时刻，
乙甲
F
两杆都处于静止状态。
现有一与导轨平行、大小为0.20N的恒力F作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动。
经过
t=5.0s，金属杆甲的加速度为a=1.37m/s2，问此时两金属杆的速度各为多少？
2、双杆所在轨道宽度不同——常用动量定理找速度关系
例8.如图所示，光滑导轨、等高平行放置，间宽度为间宽度的3倍，导轨右侧水平且处于竖直向上的匀强磁场中，左侧呈弧形升高。
、是质量均为的金属棒，现让从离水平轨道高处由静止下滑，设导轨足够
长。
试求：
（1）、棒的最终速度；
（2）全过程中感应电流产生的焦耳热。
例9、如图所示，abcd和a/b/c/d/为水平放置的光滑平行导轨，区域内充满方向竖直向上的匀强磁场。
ab、a/b/间的宽度是cd、
c/d/间宽度的2倍。
设导轨足够长，导体棒ef的质量是棒gh的质量的2倍。
现给导体棒ef一个初速度v0，沿导轨向左
运动，当两棒的速度稳定时，两棒的速度分别是多少？
例10.图中a1b1c1d1和a2b2c2d2为在同一竖直平面内的金属导轨，处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨
所在的平面（纸面）向里。
导轨的a1b1段与a2b2段是竖直的．距离为小l1，c1d1段与c2d2段也是竖直的，距离为l2。
x1y1与x2y2为两根用不可伸长的绝缘轻线相连的金属细杆，质量分别为m1和m2，它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触。
两杆与导轨构成的回路的总电阻为R。
F为作用于金属杆x1y1上的竖直向上的恒力。
已知两杆运动到图示位置时，已匀速
向上运动，求此时作用于两杆的重力的功率的大小和回路电阻上的热功率。
3、磁场方向与导轨平面不垂直
例11、如图所示，ab和cd是固定在同一水平面内的足够长平行金属导轨，ae和cf是平行的
足够长倾斜导轨，整个装置放在竖直向上的匀强磁场中。
在水平导轨上有与导轨垂直的导体棒
轨垂直且水平的导体棒2，两棒与导轨间接触良好，构成一个闭合回路。
已知磁场的磁感应强度为
倾斜导轨与水平面夹角为θ，导体棒1和2质量均为m，电阻均为R。
不计导轨电阻和一切摩擦。
现用一水平恒力F作
例14（2006年高考重庆卷第21题）两根相距为L的足够长的金属直角导轨如图所示放置，它们各有一边在同一水平内，另一边垂直于水平面。
质量均为m的金属细杆ab、cd与导轨垂直接触形成闭合回路，杆与导轨之间的动摩擦因数均为μ
导轨电阻不计，回路总电阻为2R。
整个装置处于磁感应强度大小为B,方向竖直向上的匀强磁场中。
当ab杆在平行于水平导轨的拉力F作用下以速度V1沿导轨匀速运动时，cd杆也正好以速度V2向下匀速运动。
重力加速度为g。
以下说法正确的是（）
A．ab杆所受拉力
B．cd杆所受摩擦力为零
C．回路中的电流强度为
D．μ与V1大小的关系为μ=
例15（2006年高考广东卷第20题）如图所示，在磁感应强度大小为B，方向垂直向上的匀强磁场中，有一上、下两层均与水平面平行的“U”型光滑金属导轨，在导轨面上各放一根完全相同的质量为的匀质金属杆和，开始时两根
金属杆位于同一竖起面内且杆与轨道垂直。
设两导轨面相距为H，导轨宽为L，导轨足够长且电阻不计，金属杆单位长度的
电阻为r。
现有一质量为的不带电小球以水平向右的速度撞击杆的中点，撞击后小球反弹落到下层面上的C点。
答案
例1解析：
（1）ab运动切割磁感线产生感应电动势E，所以ab相当于电源，与外电阻R构成回路
2）若无外力作用则ab在安培力作用下做减速运动，最终静止
动能全部转化为电热,Q1mv2。
2
由动量定理得：
Ftmv即BILtmv，qIt∴qmv
BL
BLx
mv
q3
3
BL
R
R
2
2
得x3mvR
得x22。
2B2L2
例2，解析：
该题是一道考察电磁感应、安培力、闭合电路欧姆定律及力学有关知识的综合题，解题的关键是要正确分析金属杆的运动及受力的变化情况。
（1）杆ab达到平衡时的速度即为最大速度v，
（2）
（2）ab导线产生热量
Qab（2I0）2r（2I0）2R202Q0
克服安培力等于产生的总电能即，WQ2Q02Q01.5J，
由动能定理：
mgssinWmgscos1mv20
12
mv2W
得s2
mg（sincos）
BLs
通过ab的电荷量qIt，代入数据得q＝2C
R
请问解答是否正确？
0.
正确解析：
棒加速下落过程，电容器有充电电流，安培力不为
mg为定值，杆匀加速下落，
22
mcBL
2mgh
22mCB2l2
例4解析：
当金属棒ab做切割磁力线运动时，要产生感应电动势，这样，电容器C将被充电，ab棒中有充电电流存在，
ab棒受到安培力的作用而减速，临界为当ab棒电动势等于电容器的电压时以稳定速度v匀速运动时，有：
BLv=q/C
而对导体棒ab利用动量定理可得：
-BILt=-BLq=mv-mv0
FBIL受安培力水平向右，此时瞬时加速度a0006m/s2
0mm
ab运动起来且将发生电磁感应现象．
ab向右运动的速度为υ时，感应电动势E'Blv，根据右手定则，ab上的感
EE
应电动势（a端电势比b端高）在闭合电路中与电池电动势相反．电路中的电流（顺时针方向，I）将减小（小
Rr
E'与电池电动势E相等时，电
于I0=1.5A），ab所受的向右的安培力随之减小，加速度也减小．尽管加速度减小，速度还是在增大，感应电动势E随速度
的增大而增大，电路中电流进一步减小，安培力、加速度也随之进一步减小，当感应电动势
路中电流为零，ab所受安培力、加速度也为零，这时ab的速度达到最大值，随后则以最大速度继续向右做匀速运动．
所以m
E1.5
m/s=3.75m/s．
Bl0.80.5
2）如果ab以恒定速度7.5m/s向右沿导轨运动，则ab中感应电动势
E'Blv0.80.57.5V=3V
''EE31.5
由于E>E，这时闭合电路中电流方向为逆时针方向，大小为：
IA=1.5A
Rr0.80.2
直导线ab中的电流由b到a，根据左手定则，磁场对ab有水平向左的安培力作用，大小为
F'BlI'0.80.51.5N=0.6N
所以要使ab以恒定速度v7.5m/s向右运动，必须有水平向右的恒力F0.6N作用于ab．上述物理过程的能量转化情况，可以概括为下列三点：
①作用于ab的恒力（F）的功率：
PFv0.67.5W=4.5W
2电阻（R+r）产生焦耳热的功率：
'22
P'I2（Rr）1.52（0.80.2）W=2.25W
3逆时针方向的电流I'，从电池的正极流入，负极流出，电池处于“充电”状态，吸收能量，以化学能的形式储存起
来．电池吸收能量的功率：
P'I'E1.51.5W=2.25W
由上看出，PP'P''，符合能量转化和守恒定律（沿水平面匀速运动机械能不变）．
例6解析：
ab棒向cd棒运动时，磁通量变小，产生感应电流．ab棒受到与运动方向相反的安培力作用作减速运动，cd棒则在安培力作用下作加速运动．在ab棒的速度大于cd棒的速度时，回路总有感应电流，ab棒继续减速，cd棒继续加速．临界状态下：
两棒速度达到相同后，回路面积保持不变，磁通量不变化，不产生感应电流，两棒以相同的速度v作匀速运动．
1）从初始至两棒达到速度相同的过程中，两棒总动量守恒，有mv02mv根据能量守恒，整个过程中产生
121212的总热量Q21mv0221（2m）v214mv02
2）设ab棒的速度变为初速度的3/4时，cd棒的速度为v1，则由动量守恒可知：
33E
mv0mv0mv1。
此时回路中的感应电动势和感应电流分别为：
E（v0v1）BL，I。
此时cd棒所
04014012R
受的安培力：
FIBL，所以cd棒的加速度为aF
m
22
由以上各式，可得
BLv0a
4mR
例7解析：
设任一时刻t两金属杆甲、乙之间的距离为x，速度分别为v1和v2，经过很短的时间△t，杆甲移动距离v1△t，杆乙移动距离v2△t，回路面积改变
S[（xv2t）v1t]tlx（v1v2）lt
由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势
S
EB
t
回路中的电流iE，杆甲的运动方程
2R
FBlima
由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等，方向相反，
所以两杆的动量（t0时为0）等于外力F的冲量
Ftmv1mv2
1F2R
联立以上各式解得v1[1（Fma）]
12mB2F
代入数据得v18.15m/sv21.85m/s
例8【解析】下滑进入磁场后切割磁感线，在电路中产生感应电流，、各受不同的磁场力作用而分别作
变减速、变加速运动，电路中感应电流逐渐减小，当感应电流为零时，、不再受磁场力作用，各自以不同的速度匀速滑动。
（1）自由下滑，机械能守恒：
①
故它们的磁场力为：
由于、串联在同一电路中，任何时刻通过的电流总相等，金属棒有效长度
②
在磁场力作用下，、各作变速运动，产生的感应电动势方向相反，当
（），安培力为零，、运动趋于稳定，此时有：
所以③
、受安培力作用，动量均发生变化，由动量定理得：
④
⑤
联立以上各式解得：
，
（2）根据系统的总能量守恒可得：
例9解析：
当两棒的速度稳定时，回路中的感应电流为零，设导体棒
ef的速度减小到v1，导体棒gh的速度增大到v2，则有2BLv1-BLv2=0，即v2=2v1。
对导体棒ef由动量定理得：
2BLIt2mv12mv0
对导体棒gh由动量定理得：
BLItmv20。
由以上各式可得：
12v13v0,v23v0。
例10.【解析】设杆向上运动的速度为v，因杆的运动，两杆与导轨构成的回路的面积减少，从而磁通量也减少。
由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势的大小
EB（l2l1）v
回路中的电流
x1y1的安
IE
电流沿顺时针方向。
两金属杆都要受到安培力作用，作用于杆培力为
f1Bl1I
方向向上，作用于杆x2y2的安培力
f2Bl2I
方向向下。
当杆作匀速运动时，根据牛顿第二定律有
Fm1gm2gf1f20
解以上各式，得
F（m1m2）g
I
B（l2l1）⑥
F（m1m2）g
B2（l2l1）2
作用于两杆的重力的功率的大小
P（m1m2）gv⑧
电阻上的热功率
2
QI2R⑨
由⑥、⑦、⑧、⑨式，可得
R（m1m2）g
F（m1m2）g
B2（l2l1）2
（m1m2）gR
B（l2l1）R
例11解析
（1）1棒匀速：
FBIL2棒匀速：
BILmgtan
解得：
Fmgtan
（2）两棒同时达匀速状态，设经历时间为t，过程中平
均感应电流为I，据动量定理，
联立解得：
v2v1cos
回路中的感应电动势：
EE1E22Blv
电磁感应中的双杆运动问题例14【解析】因4个选项提出的问题皆不同，要逐一选项判断。
因为ab杆做匀速运动，所以受力平衡，有，其中,,，,
因为cd杆在竖直方向做匀速运动，受力平衡，所以cd杆受摩擦力大小为，或者，因为cd杆所受安培力作为
对轨道的压力，所以cd杆受摩擦力大小为,总之，B错误；
，C错误；
因为只有ab杆产生动生电动势（cd杆运动不切割磁感线），所以回路中的电流强度为
根据B中和，得μ=，所以D正确。
本题答案为AD。
根据平抛运动的分解，有
②代入①得
回路内感应电动势的最大值为，电阻为，所以回路内感应电流的最大值为
，所以，代入⑤式得Q=
。
④
（2）因为在安培力的作用下，金属杆做减速运动，金属杆做加速运动，当两杆速度大小相等时，回路内感应电
流为0，根据能量守恒定律，⑤
其中是两杆速度大小相等时的速度，根据动量守恒定律，
3）设金属杆、速度大小分别为、，根据动量守恒定律，，又，所以
当然受到的安培力大小也如此，只不过方向相反。
【点评】金属杆、两杆在同一个金属U形导轨上都做变速运动，运动方向相同（都向右），同一时刻两杆都切割
磁感线产生感应电动势，两个感应电动势在空间中的方向相同（都向外），但两个感应电动势在回路中的方向相反，所以总电动势是这两个电动势之差，即，电流是，方向为金属杆中感应电流的方向，因为比产生的感应电动势大，安培力是，方向都和速度方向相反（都向左）。
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