不定积分习题及答案.docx
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不定积分习题及答案
不定积分习题及答案
【篇一:
定积分习题及答案】
a层次)
?
20
3
1.?
sinxcosxdx;2.?
x
a
2
a?
xdx;3.?
2
2
3
dxx
2
1
?
x
2
;
4.?
7.?
1?
1
xdx5?
4xdx
;5.?
4
dxx?
1
1
;6.?
3
4
1
dx?
x?
1
;
e2
1
x?
lnx
?
4
;8.?
?
dx
;9.?
0?
cos2xdx;?
2x2?
2x?
2
32
xsinx
dx;10.?
xsinxdx;11.?
2?
4cosxdx;12.?
4
?
5x?
2x2?
1?
?
?
2
?
4
5
4lnx1x
dx13.?
?
;14.;15.dxxarctgxdx;?
2?
10sinxx4
?
3
?
16.?
2e2xcosxdx;17.?
?
?
xsinx?
dx;18.?
sin?
lnx?
dx;
2
1
e
?
3
?
?
19.?
2?
cosx?
cosxdx;20.?
4
4
?
sinxxsinx
;dx;21.?
01?
cos2x1?
sinx
22.?
1
20
2
?
?
1?
x1?
x
xlndx;23.?
dx;24.?
2lnsinxdx;40?
?
1?
x1?
x
?
25.?
(b层次)
?
?
dx
dx?
?
?
0?
。
1?
x21?
x?
1.求由?
edt?
?
costdt?
0所决定的隐函数y对x的导数
y
t
x
dy。
dx
2.当x为何值时,函数i?
x?
?
?
te?
tdt有极值?
2
x
3.
dcosx2
cos?
tdt。
dx?
sinx
?
?
?
x?
1,x?
1
2?
4.设f?
x?
?
?
12,求?
f?
x?
dx。
0x,x?
1?
?
2
1
5.lim
2
?
?
arctgtdt?
0
x
x?
?
?
x?
1
2
。
?
1
x?
sinx,0?
x?
?
6.设f?
x?
?
?
2,求?
?
x?
?
?
f?
t?
dt。
?
其它?
0,?
1
当x?
0时?
?
1?
x
7.设f?
x?
?
?
?
1,当x?
0时?
?
1?
ex
,求?
f?
x?
1?
dx。
2
8.lim
1
n?
?
n2
n?
n
2n?
?
?
n2。
kn2kn
?
9.求lim?
n?
?
k?
1
e
。
1
n?
ne
10.设f?
x?
是连续函数,且f?
x?
?
x?
2?
f?
t?
dt,求f?
x?
。
11.若?
2ln2x
dte?
1
?
12
t
?
?
6
1
,求x。
12.证明:
2e
?
?
?
21e?
xdx?
2。
2
?
?
?
x?
a?
2?
2x
13.已知lim?
?
4xedx,求常数a。
?
?
ax?
?
?
x?
a?
?
2
?
?
1?
x,
14.设f?
x?
?
?
?
x
?
?
e,
x
x?
0x?
0
,求?
f?
x?
2?
dx。
1
3
15.设f?
x?
有一个原函数为1?
sinx,求?
2xf?
?
2x?
dx。
2
?
16.设f?
x?
?
ax?
b?
lnx,在?
1,3?
上f?
x?
?
0,求出常数a,b使?
f?
x?
dx最
1
3
小。
17.已知f?
x?
?
e
?
x2
,求?
f?
?
x?
f?
?
?
x?
dx。
2
1
1
18.设f?
x?
?
x2?
x?
f?
x?
dx?
2?
f?
x?
dx,求f?
x?
。
19.?
?
?
f?
cosx?
cosx?
f?
?
cosx?
sinx?
dx。
2
2
20.设x?
0时,f?
x?
?
?
x2?
t2f?
?
?
t?
dt的导数与x2是等价无穷小,试求
x
?
?
f?
?
?
0?
。
(c层次)
1.设f?
x?
是任意的二次多项式,g?
x?
是某个二次多项式,已知
?
1
f?
x?
dx?
b?
1?
?
1?
,求?
?
?
?
f0?
4f?
f1g?
x?
dx。
?
?
?
?
?
a6?
?
2?
?
2.设函数f?
x?
在闭区间?
a,b?
上具有连续的二阶导数,则在?
a,b?
内存在?
,
b?
a?
b?
13
使得?
f?
x?
dx?
?
b?
a?
f?
?
?
b?
a?
f?
?
?
?
?
。
?
a
?
2?
24
3.f?
x?
在?
a,b?
上二次可微,且f?
?
x?
?
0,f?
?
?
x?
?
0。
试证
?
b?
a?
f?
a?
?
?
af?
x?
dx?
?
b?
a?
f?
b?
?
f?
a?
。
b
2
4.设函数f?
x?
在?
a,b?
上连续,f?
?
x?
在?
a,b?
上存在且可积,f?
a?
?
f?
b?
?
0,试证f?
x?
?
1b
f?
?
x?
dx(a?
x?
b)。
?
a2
1
1
5.设f?
x?
在?
0,1?
上连续,?
f?
x?
dx?
0,?
xf?
x?
dx?
1,求证存在一点x,
0?
x?
1,使f?
x?
?
4。
6.设f?
x?
可微,f?
0?
?
0,f?
?
0?
?
1,f?
x?
?
?
tfx2?
t2dt,求lim
x?
0
x
?
?
f?
x?
。
4
x
7.设f?
x?
在
4
b
?
a,b?
上连续可微,若f?
a?
?
f?
b?
?
0,则
f?
x?
?
f?
?
x?
。
?
b?
a2
a
a?
x?
b
8.设f?
x?
在?
a,b?
上连续,a?
a?
b?
b,求证lim?
k?
0
ba
f?
x?
k?
?
f?
x?
dx
k
?
f?
b?
?
f?
a?
。
9.设f?
x?
为奇函数,在?
?
?
?
?
?
内连续且单调增加,f?
x?
?
?
?
x?
3t?
f?
t?
dt,
0x
证明:
(1)f?
x?
为奇函数;
(2)f?
x?
在?
0,?
?
?
上单调减少。
3
10.设f?
x?
可微且积分?
?
f?
x?
?
xf?
xt?
?
dt的结果与x无关,试求f?
x?
。
1
11.若f?
?
?
x?
在?
0,?
?
连续,f?
0?
?
2,f?
?
?
?
1,证明:
?
?
f?
x?
?
f?
?
?
x?
?
sinxdx?
3。
?
12.求曲线y?
?
?
t?
1?
?
t?
2?
dt在点(0,0)处的切线方程。
x
13.设f?
x?
为连续函数,对任意实数a有
?
?
?
?
a
?
a
sinxf?
x?
dx?
0,求证
f?
2?
?
x?
?
f?
x?
。
14.设方程2x?
tg?
x?
y?
?
?
x?
y
d2y
sectdt,求2。
dx
2
15.设f?
x?
在?
a,b?
上连续,求证:
h?
0
lim?
1x
?
f?
t?
h?
?
f?
t?
?
dt?
f?
x?
?
f?
a?
(a?
x?
b)h?
a
x2?
1?
x?
0
16.当x?
0时,f?
x?
连续,且满足?
f?
t?
dt?
x,求f?
2?
。
17.设f?
x?
在?
0,1?
连续且递减,证明
?
?
f?
x?
dx?
?
f?
x?
dx,其中?
?
?
0,1?
。
1?
18.设f?
?
x?
连续,f?
x?
?
?
f?
t?
f?
?
2a?
t?
dt,f?
0?
?
0,f?
a?
?
1,试证:
x
f?
2a?
?
2f?
a?
?
1。
19.设g?
x?
是?
a,b?
上的连续函数,f?
x?
?
?
g?
t?
dt,试证在?
a,b?
内方程
ax
g?
x?
?
f?
b?
?
0至少有一个根。
b?
a
x
x
a
b
20.设f?
x?
在?
a,b?
连续,且f?
x?
?
0,又f?
x?
?
?
f?
t?
dt?
?
(1)f?
?
x?
?
2
(2)f?
x?
?
0在?
a,b?
内有且仅有一个根。
21.设f?
x?
在?
0,2a?
上连续,则?
2a0
1
dt,证明:
ftf?
x?
dx?
?
?
f?
x?
?
f?
2a?
x?
?
dx。
a
22.设f?
x?
是以?
为周期的连续函数,证明:
?
0?
sinx?
x?
f?
x?
dx?
?
0?
2x?
?
?
f?
x?
dx。
4
2?
?
23.设f?
x?
在?
a,b?
上正值,连续,则在?
a,b?
内至少存在一点?
,使
?
?
a
f?
x?
dx?
?
f?
x?
dx?
?
1
b
1b
f?
x?
dx。
?
a2
x
1f?
u?
1?
24.证明?
lnf?
x?
t?
dt?
?
lndu?
?
lnf?
u?
du。
000fu25.设f?
x?
在?
a,b?
上连续且严格单调增加,则?
a?
b?
?
f?
x?
dx?
2?
xf?
x?
dx。
a
a
bb
26.设f?
x?
在?
a,b?
上可导,且f?
?
x?
?
m,f?
a?
?
0,则?
f?
x?
dx?
a
b
m
?
b?
a?
2。
2
27.设f?
x?
处处二阶可导,且f?
?
?
x?
?
0,又u?
t?
为任一连续函数,则
1a
f?
u?
t?
?
dt?
?
0a
?
1a?
f?
?
u?
t?
dt?
,?
a?
0?
。
?
a0?
b?
a?
b?
28.设f?
x?
在?
a,b?
上二阶可导,且f?
?
?
x?
?
0,则?
f?
x?
dx?
?
b?
a?
f?
?
。
a
?
2?
29.设f?
x?
在?
a,b?
上连续,且f?
x?
?
0,?
f?
x?
dx?
0,证明在?
a,b?
上必有
a
b
f?
x?
?
0。
30.f?
x?
在?
a,b?
上连续,且对任何区间?
?
?
?
?
?
a,b?
有不等式
?
?
?
f?
x?
dx?
m?
?
?
1?
?
(m,?
为正常数),试证在?
a,b?
上f?
x?
?
0。
第五章定积分
(a)
?
1.?
2sinxcos3xdx
?
解:
原式?
?
?
a0
20
2114
cosxdx?
?
cosx?
440
3
?
2.?
x2a2?
x2dx
解:
令x?
asint,则dx?
acostdt当x?
0时t?
0,当x?
a时t?
?
?
2
原式?
?
2a2sin2t?
acost?
acostdt
5
【篇二:
不定积分练习题】
函数去求原函数2.利用不定积分的直接积分法、换元法、分步积分法求出其原函数
内容
一.不定积分的概念与性质1.原函数与不定积分的概念2.不定积分的性质3.基本的积分公式二.基本积分的方法1.直接积分法
2.第一换元积分法(凑微分法)3.第二换元积分法4.分步积分法
例题
题型i不定积分的概念与性质
题型ii利用基本积分法求不定积分题型iii有理函数的积分题型iv简单无理函数的积分
题型vi含有三角函数的不定积分
题型vii抽象函数的不定积分题型viii分段函数的不定积分
自测题四
1求不定积分
2求抽象函数的不定积分
3根据含有三角的被积函数,求原函数4函数的性质
5复合性的被积函数,求原函数
4月16日不定积分练习题
基础题一.填空题
1.不定积分:
?
x?
dx
2
x
?
_____
2.不定积分:
(x?
2)dx=______3.不定积分:
2
?
(1?
1x
2
)xxdx=_______
4.不定积分:
(x?
2)dx=__________
?
?
2
5.不定积分:
(2e
x
?
3x
)dx=_______
6.一曲线通过点(e,3),且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数,则该曲线的方程为____________________
7.已知一个函数f(x)的导函数为
2
11?
x
2
,且当x?
1时函数值为
32
?
,则此函数为_______________
8.
?
(x?
1x
1x
)dx?
________
9.设f(x)?
10.如果e
?
x
,则
?
f?
(x)dx?
是函数f(x)的一个原函数,则
?
f(x)dx?
11.设
?
f(x)dx?
16
ln(3x?
1)?
c,则f(x)?
2
12.经过点(1,2),且其切线的斜率为2x的曲线方程为.13.已知f?
(x)?
2x?
1,且x?
1时y?
2,则f(x)?
14.15.
?
(10
x
?
3sinx?
dx?
?
(a
2
22
?
x)dx?
.
16.
?
(1?
x?
x?
1x
4
3
dx?
.
二.选择题1、设i?
?
dx,则i=()?
c (b) ?
1
(a) ?
4x
2、设f(x)?
?
5
13x
3
?
c(c) ?
()
1?
33
x?
c (d)x?
c33
1
1?
x
2
,则f(x)的一个原函数为
11?
x11?
x
(d)ln (a) arcsinx ( b) arctanx(c)ln
21?
x21?
x
3、函数cos
(a)
?
2sin
x的一个原函数为()?
2
x(b)?
?
2sin
?
2
x(c)
2?
sin
?
2
x(d)?
2?
sin
?
2x
?
2
4、设f(x)的一个原函数为f(x),则
(a)f(2x)+c(b)f(5.设
?
f(2x)dx?
()
x2
)+c(c)
12
f(2x)?
c(d)2f(
x2
)+c
?
f(x)dx?
34
lnsin4x?
c,则f(x)?
()。
b.?
cot4xd.3cot4x
a.cot4xc.3cos4x
6.若f(x)为可导、可积函数,则()。
a.?
c.
?
?
?
f(x)dx?
?
f(x)
?
b.d?
d.
?
?
f(x)dx?
?
f(x)
?
f(x)
?
f?
(x)dx?
f(x)
?
df(x)?
7.设f(x)dx?
f(x)?
c,则
?
?
sinxf(cosx)dx?
()
(a)f(sinx)?
c(b)?
f(sinx)?
c(c)?
f(cosx)?
c(d)sinxf(cosx)?
c
8.设f?
x?
是f
?
x?
在?
?
?
?
?
?
上的一个原函数,且f?
x?
为奇函数,则f?
x?
是()
a.偶函数b.奇函数
c.非奇非偶函数d.不能确定9.已知f()
a.xb.cosxc.cosxd.cosx
2
2
2
?
x?
的一个原函数为cosx,g?
x?
的一个原函数为x,则f?
g?
x?
?
的一个原函数为
?
?
2
10.设e
?
2x
是f
?
x?
的一个原函数,则lim
?
2x
f?
x?
2?
x?
?
f(x)
?
x
?
2x
?
x?
0
?
()
a.2e
?
2x
b.-8ec.?
2ed.4e
?
2x
11.设f(x)?
11?
x
2
则f(x)的一个原函数为
(a) arcsinx (b) arctanx1?
1?
x?
1?
1?
x?
(c)ln?
(d)ln?
?
?
2?
1?
x?
2?
1?
x?
4月17日不定积分练习题
基础题一.填空题
1.?
tanxdx?
__________.2.?
3.?
4.5.?
2
3x?
3x?
1
x?
1
dx
2
42
2
dx=.
x(1?
x)
=______________________________.
?
1?
e
1x
2
1
?
x
dx
cos
2x
?
sinxx
为,则
6.设f(x)的一个原函数
?
f(x)dx
?
______________.
7.设f(x)的一个原函数为lnx,则9.若f(x)的一个原函数为
?
f(1?
2x)dx
8.设f(x)的一个原函数为lnx,则f?
(x)?
_______________.
则f(x)?
_______.xlnx,
二.选择题1.设i?
?
xx
e?
1e?
1
x
x
dx,则i?
()
x
(a) ln(e?
1)?
c (b) ln(e?
1)?
c(c) 2ln(e?
1)?
x?
c(d) x?
3xln(e?
1)?
c
2.设f(x)的一个原函数是f(x),则
x
?
f(ax?
b)dx
=()
(a)f(ax+b)+c(b)af(ax+b)+c(c)
f(ax?
b)ax?
b
+c(d)
1a
f(ax+b)+c
3.若?
f(x)dx?
sinx?
c,则?
xf(1?
x2)dx?
()
(a)2sin(1?
x)?
c(b)?
2sin(1?
x)?
c(c)
2
2
12
sin(1?
x)?
c(d)?
1sinx
2
2
12
sin(1?
x)?
c
2
4.不定积分:
?
(1?
(a)x?
)cosxdx?
()
1
sinxsinx
11
(c)sinx?
?
c(d)sinx?
?
c
sinxsinx
?
c(b)x?
1
?
c
5.不定积分:
?
sinexde
x
x
?
()
x
x
x
(a)cose?
c(b)?
cose?
c(c)arccose?
c(d)?
arccose?
c
6.不定积分:
?
x
dx1?
e
x
=()
?
x
(a)ln(1?
e)?
c(b)ln(1?
e)?
c(c)ln
e
xx
1?
e
?
c(d)ln
11?
e
x
?
c
7.设f(x)?
ktan2x的一个原函数是
(a)?
23
ln(cos2x),则常数k?
()
43
(d)
2
3
综合题
(b)
23
(c)?
43
1.求?
cos(2x?
1)sin(2x?
1)dx.
2.求不定积分
2
?
(x?
1)
x
4
dx.
【篇三:
不定积分练习题】
函数去求原函数2.利用不定积分的直接积分法、换元法、分步积分法求出其原函数
内容
一.不定积分的概念与性质1.原函数与不定积分的概念2.不定积分的性质3.基本的积分公式二.基本积分的方法1.直接积分法
2.第一换元积分法(凑微分法)3.第二换元积分法4.分步积分法
例题
题型i不定积分的概念与性质
题型ii利用基本积分法求不定积分题型iii有理函数的积分题型iv简单无理函数的积分
题型vi含有三角函数的不定积分
题型vii抽象函数的不定积分题型viii分段函数的不定积分
自测题四
1求不定积分
2求抽象函数的不定积分
3根据含有三角的被积函数,求原函数4函数的性质
5复合性的被积函数,求原函数
4月16日不定积分练习题
基础题一.填空题
1.不定积分:
?
x?
dx
2
x
?
_____
2.不定积分:
(x?
2)dx=______3.不定积分:
2
?
(1?
1x
2
)xxdx=_______
4.不定积分:
(x?
2)dx=__________
?
?
2
5.不定积分:
(2e
x
?
3x
)dx=_______
6.一曲线通过点(e,3),且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数,则该曲线的方程为____________________
7.已知一个函数f(x)的导函数为
2
11?
x
2
,且当x?
1时函数值为
32
?
,则此函数为_______________
8.
?
(x?
1x
1x
)dx?
________
9.设f(x)?
10.如果e
?
x
,则
?
f?
(x)dx?
是函数f(x)的一个原函数,则
?
f(x)dx?
11.设
?
f(x)dx?
16
ln(3x?
1)?
c,则f(x)?
2
12.经过点(1,2),且其切线的斜率为2x的曲线方程为.13.已知f?
(x)?
2x?
1,且x?
1时y?
2,则f(x)?
14.15.
?
(10
x
?
3sinx?
dx?
?
(a
2
22
?
x)dx?
.
16.
?
(1?
x?
x?
1x
4
3
dx?
.
二.选择题1、设i?
?
dx,则i=()?
c (b) ?
1
(a) ?
4x
2、设f(x)?
?
5
13x
3
?
c(c) ?
()
1?
33
x?
c (d)x?
c33
1
1?
x
2
,则f(x)的一个原函数为
11?
x11?
x
(d)ln (a) arcsinx ( b) arctanx(c)ln
21?
x21?
x
3、函数cos
(a)
?
2sin
x的一个原函数为()?
2
x(b)?
?
2sin
?
2
x(c)
2?
sin
?
2
x(d)?
2?
sin
?
2x
?
2
4、设f(x)的一个原函数为f(x),则
(a)f(2x)+c(b)f(5.设
?
f(2x)dx?
()
x2
)+c(c)
12
f(2x)?
c(d)2f(
x2
)+c
?
f(x)dx?
3
4
a.cot4x
lnsin4x?
c,则f(x)?
()。
b.?
cot4xd.3cot4x
c.3cos4x
6.若f(x)为可导、可积函数,则()。
a.?
c.
?
?
?
f(x)dx?
?
f(x)
?
b.d?
d.
?
?
f(x)dx?
?
f(x)
?
f(x)
?
f?
(x)dx?
f(x)
?
df(x)?
7.设f(x)dx?
f(x)?
c,则
?
?
sinxf(cosx)dx?
()
(a)f(sinx)?
c(b)?
f(sinx)?
c(c)?
f(cosx)?
c(d)sinxf(cosx)?
c
8.设f?
x?
是f
?
x?
在?
?
?
?
?
?
上的一个原函数,且f?
x?
为奇函数,则f?
x?
是()
a.偶函数b.奇函数
c.非奇非偶函数d.不能确定9.已知f()
a.xb.cosxc.cosxd.cosx
2
2
2
?
x?
的一个原函数为cosx,g?
x?
的一个原函数为x,则f?
g?
x?
?
的一个原函数为
?
?
2
10.设e
?
2x
是f
?
x?
的一个原函数,则lim
?
2x
f?
x?
2?
x?
?
f(x)
?
x
?
2x
?
x?
0
?
()
a.2e