线性代数22种题型及思维定式.docx

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线性代数22种题型及思维定式

线性代数的思维定势

1.

ij

若题设条件与代数余子式A或A*有关，则用行列式按行（列）展开定理以

及AA*=A*A=

AE.

2.若涉及到A,B是否可交换，即AB=BA，则要立刻联想到逆矩阵的定义.

3.题目中涉及初等变换，要联想到初等方阵，把矩阵变换转化成矩阵相乘的等式.

4.若题设n阶方阵A满足f（A）=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE.

5.若要证明一组向量α1,α2,,αs线性无关，先考虑用定义再说.

6.若已知Ax=0的线性无关的解为α1,α2,,αs，则n-r（A）≥s，即r（A）≤n-s.

7.若已知AB=O，则联想到

①B的列向量是齐次方程组Ax=0的解；

②r（A）+r（B）≤n.

8.若题目涉及求参数的值，则联想到是否有某行列式为零.

9.若已知A的特征向量ξ0，则先用定义Aξ0=λ0ξ0处理一下.

10.n阶对称矩阵A可对角化⇔n-r（A-λ0E）=k，其中k是特征值λ0的重数.

11.若题目中涉及到二次型，要联想到实对称阵A，将二次型问题转化成实对称阵A的相关问题讨论.

12.若要证明抽象的n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下.

题型1数字型行列式计算，重点是掌握三、四阶行列式及简单n阶行列式的计算．1.用性质化为三个重要行列式；

2.按行（列）展开去降阶

3.建立Dn与Dn-1,Dn-2之间的关系，递推.

题型2方阵的幂

①求出A2,A3，递推求出An；

②若r（A）=1，则A=αβT，A2=lA,l=βTα=αTβ；

nn

③若A=E+B,且Bk≠0，Bk+1=0，则An=（E+B）n=E+C1B++CkBk+0

④P-1AP=B⇒An=PBnP-1若AΛ⇒An=PΛnP-1

题型3抽象矩阵的行列式

1.先矩阵运算，再行列式运算；注意E的恒等变形

E=ET=AA-1=A-1A,

AB=

AB,

kB=knA

2.A=λ1λ2λn

题型4解矩阵方程

方法通过矩阵运算，把方程化简为下述基本方程:

①Ax=C，则x=A-1C

②xA=C，则x=CA-1

③AxB=C，则x=A-1CB-1

注A,B都可逆，才用上述方法；若A,B不可逆，则设出矩阵AB建立方程组求解。

题型5初等变换与初等阵的关系

1.初等矩阵P左（右）乘A，所得PA（AP）就是A作了一次与P同样的行（列）变换

2.初等矩阵均可逆，且其逆阵仍为同类型的初等矩阵步骤：

先用箭头写出初等变换;2.用初等阵将→改为=

题型6求矩阵的秩

法一:

A经初等行变换化为行阶梯型阵B,则r（A）=r（B）=B的非零行行数;法二:

矩阵A的秩=A的行向量组的秩=A的列向量组的秩

法三:

A为抽象矩阵利用秩的不等式证明r≤r（A）≤r.

题型7求矩阵的逆

**A*-1A*

1.

用伴随矩阵：

AA=AA=AE⇒A=E⇒A=

二阶矩阵用伴随求逆最简单.三阶可以用伴随求逆,四阶五阶不可取.

2.用初等行变换：

（A|E）−行−→（E|A-1）

（A

E）−从−上−到下−→⎛*

*⎫−从−下−到上−→⎛0*⎫−−某行−乘k−→（E

A-1）

ç0

⎪ç0⎪

3.用分块矩阵

⎝⎭⎝⎭

⎛AO⎫-1

⎛A-1O⎫

⎛OA⎫-1

⎛OB-1⎫

çOB⎪

=çOB-1⎪,

çBO⎪

=çA-1

O⎪，A,B是可逆矩阵

⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

4.

用定义：

AB=kE,k≠0,则BA=kE；A-1=1B

k

若题设n阶方阵A满足f（A）=O，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE，若

（aA+

bE）B=

k,E（

≠k0,则aA+bE可逆,且（aA+bE）-1=1B

k

题型8判定向量组的线性相关性及证明抽象向量组的线性无关如何证明线性无关?

法一:

在考研中主要使用定义法:

先设k1α1+k2α2++ksαs=0通过恒等变形，1.找某个代数式乘一下,证必有k1==ks=0

2.重新组合⇒k1=k2==ks=0

法二:

用秩的一些定理、公式证出：

r（α1,α2,,αs）=s

题型9求具体向量组的秩和极大线性无关组

将向量组构成矩阵，求矩阵的秩，即得向量组的秩；

将A→行最简型，选阶数为r（A）的非0子式对应的列即为极大无关组（每个台阶选一个，取竖线右边第一个对应的向量）

题型10求抽象向量组的秩

1.矩阵A的秩=A的列秩=A的行秩；

2.r（AB）≤min（r（A）,r（B））；.若A可逆，则r（AB）=r（B）,r（BA）=r（B）；

Am⨯nBn⨯s=O⇒r（A）+r（B）≤n

3.利用秩的性质求出矩阵A的秩即求出对应的列向量组（α1,α2,,αs）的秩；

4.无关组增加分量仍无关.

题型11利用向量组的秩与极大无关组证明有关矩阵秩的结论方法将矩阵写成向量组，用极大无关组的性质证明．

题型12抽象方程组的求解

①必须先求

Ax=

0,Ax=b,r（A）,n-r（A）

②把条件写成矩阵形式，利用矩阵运算，求出Ax=0的n-r（A）个线性无关的解，及一个特解。

Ax=b的

题型13求证或讨论方程组Ax=b有解（向量组的线性表示，两向量组是否等价）的条件

1：

写矩阵转化为矩阵的命题，利用初等变换求满足的条件

行⎛A⎫列

B

注：

①（AB）行阶梯形。

②ç⎪列阶梯形。

⎝⎭

Ax

2：

当A为方阵时，求出A≠0的条件即，

=b有唯一解的条件。

再把A=0中的参数代回

原方程，对（

行

）

Ab行阶梯；若

r（A）=r（Ab）

，则Ax=b

有无穷多解；若

r（A）

Ax=b无解。

题型14两方程组解的关系（同解，公共解）

①转化为矩阵秩的等价命题。

②方程组的基础解系，特解入手求解。

题型15抽象阵的特征值、特征向量

方法1．定义法将条件写成矩阵形式后与Aα=λα,α≠0比较；

2.

特征多项式法λ为A的特征值⇔

A-λE

=0⇔λE-A=0

3.

相似已知P-1AP=B，

若Aα=λα,则B（P-1α）=λ（P-1α）；若Bα=λα,则A（Pα）=λ（Pα）；

4.若r（A）=1，则λ=tr（A）和0

求特征向量

1.定义法

Aα=λα,α≠0；2.基础解系法（A-λE）x=0的基解

题型16矩阵与其特征值、特征向量互求问题．

1.上、下三角阵,对角阵的特征值为主对角线上的元素；

2.零矩阵的特征值全为零,特征值全为零的矩阵不一定是零矩阵.例如

⎛01⎫

00

ç⎪

⎝⎭

题型17相似矩阵性质

相似则“四同”；r（A）=r（B）;

A=B;

tr（A）=tr（B）;

λA=λB

题型18方阵相似于对角阵

1.“四同”是相似的必要条件，用四个必要条件求解，只要有一“不同”，则不相似；

2.若A,B均与对角阵Λ相似，则A,B相似.

题型19与实对称矩阵有关的问题：

1.实对称阵A的不同特征值所对应的特征向量正交；

2.实对称阵A的秩r（A）即为非0特征值的个数；

3.实对称阵一定可以正交相似对角阵（步骤）；

4.已知特征值和特征向量，反求矩阵A

题型20二次型的基本概念与标准化

（1）写出f的矩阵A；

（2）求出A的特征值及对应的特征向量

（3）正交单位化，得正交单位向量组η1,η2,η3；（4）构造正交阵Q=（η1,η2,η3）；

⎛λ1⎫

ç

2

ç

⎪

（5）写出正交变x=Qy,得xTAx=yTΛy，Λ=çλ⎪

λ

⎭

⎝3⎪

题型21判定二次型、对称矩阵的正定性1.具体阵用顺序主子式法；

2.抽象阵用特征值法或定义法;并注意：

当α为n维非0列向量时αTα>0.

3.任何x，恒有f

=xTAx≥0,

f=0⇔x=0；

4.

A为正定阵⇒aii>0,A>0

注：

要证一个矩阵是正定矩阵。

1.是否对称;2.证明其正定性.

题型22如何判断矩阵的等价，相似，合同

A与B等价⇔PAQ=B,

P,Q可逆⇔r（A）=r（B），A、B同型；

A与B合同⇔CTAC=B⇔xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数；

A与B相似⇔P-1AP=B⇐A，B都与同一个对角阵相似。

特别：

当A、B为对称阵时，A与B相似⇔λA=λB⇒pA=pB,qA=qB⇔A与B合同.