平面向量中的的最值阿波罗尼斯圆.docx
《平面向量中的的最值阿波罗尼斯圆.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《平面向量中的的最值阿波罗尼斯圆.docx(13页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
平面向量中的的最值阿波罗尼斯圆
三、阿波罗尼斯圆
背景展示阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米徳被称为亚历山大时期数学三巨匠,他对圆
锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之
一。
公元前3世纪,古希腊数学家阿波罗尼斯在《平而轨迹》一书中,曾研究了众多的平而轨迹问题,其中有如下
结果:
到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.
如图,点人3为两泄点,动点P满足PA=aPB,则久=1时,动点P的轨迹为直线:
当&H1时,动点P的轨迹
为圆,后世称之为阿波罗尼斯圆.
证:
设AB=2m(m>O\PA=APB・以A3中点为原点,直线43为x轴建立平而直角坐标系,则
A(-加,0),B(m,0).又设C(x,y),则由PA=APB得yj(x+m)+y2=2^(x-/»)2+y2,两边平方并化简整理得(才一1)x2-2m(22+1)x+(才一1)),2=〃?
2(1一才),
当兄=1时.%=0,轨迹为线段A3的垂直平分线;
22+1
轨迹为以点(h—心0)为圆心,
/C_1
上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯宦理.
例1:
(2008.江苏卷,13题)满足条件AB=ZAC=>J2BC的AA3C的面积的最大值是()
【解析1】显然这又是一例“阿波罗圆”,建立建立直角坐标系.因为有c=h2=>/2•代入
阿波罗圆公式得:
(x-3)2+y2=8o设圆心为M,显然CM丄兀轴时,A4BC而积最大,此时|CM|=2>/2,/.(=1-2.272=2^2.
【解析2】利用余弦定理和函数的最值问题处理
设AC=41BC=,所以:
cosC=•"匚4〜.匸,〔+严厂一一"
2y/2x22迈x
以43中点为原点,直线43为兀轴建立平面直角坐标系,则A(—1,0),B(h0),
设C(x,y),由AC=V2BC得Jd+lF+b=近・仏_1)2+于,整理得:
屮=_〒+6x—1=-(x—3)2+8S8,・•・卜|52运,
则Swe=-x・2卜I<2^2,所以的最大值是2迈・
2
【解析4】性质1:
r=MB・M4
性质2:
评注:
既然存在,说明英轨迹不包括与x轴的两个交点P、Q,现在问P0这两点究竟有什么性质?
DA(JA
由于莎=忑=迈,:
・CP为AABC的内角平分线;同理,CQ为AABC的外角平分线。
这就是说P0分别是线段A3的内分点和外分点,而PQ1E是阿氏圆的直径。
于是''阿波罗尼斯圆”在中国又被称为“内外圆”.因此,又有如下的轴上简洁解法:
•・•动点C到泄点力(-1,0)和3(1,0)距离之比为血,则有lx+ll=V2IX-1I,
=>x2+2x4-1=2(疋—2x+l)=>x2—6x+l=0=>x=3±2\/2f
・•.得心=3-2近为内分点,x2=3+2^2为外分点.圆半径『=+(吃-州)=2血,即为三角形高的最大值,即AABC高的最大值是2“.故AABC的面积的最大值是2^2•
例2:
(2006,四川文8理6)已知两定点4(-2,0)5(1,0),如果动点p满足|凸=料,则点P的轨迹所包围的而积等于()
A•“B.4龙C.8zrD.9兀
【解析】显然这又是一个阿波罗圆,由上述评注我们可以实行轴上解决。
设O为坐标原点,注意到|OA|=2|OB|,可知原点0为线段A3的内分点.设AB的外分点为C(x,0),
由舒=2n甘=2=>x=4,即有C(4,0).于是圆直径为|OC|=2厂=4,.・・广=2,所求轨迹面积S=qT=4兀,故选B.
评注:
本题条件中的关于〉'轴不对称,所以直接用阿波罗圆公式不恰当,但由于知道轨迹一泄是圆,圆面积只
2cA13
与半径有关,而半径公式为r=-T7P>当c=-|/lB|=-,2=2时,直接代入即得r=2o
例3:
△ABC中,角C的平分线交A3于点T、且AT=2JB=\若ABh的髙线长为2,求AABC的周长.
【解析】直角坐标系,由条件知兄=
的外分点为G(x,O),V^l=—
GBa—1
聲爵2,故点C的轨迹是阿波罗圆D,的内分点。
设AB
=2,•••x=4,即圆直径|TG|=2r=4,r=2,故点D(2,0)・已知A4BC中
AB上的高线长为2,即仞丄叭且|CD|=2,由勾股定理得:
\CA\=2^5冋=&v\AB\=3,
故所求三角形A4BC的周长心肚=3+3腐・
例4•有关性质:
1满足上而条件的阿波罗尼斯圆的直径的两端是按照左比人内分A3和外分A3所得的两个分点:
2
直线CM平分ZACB,直线GV平分ZACB的外角;
-AMAN
3——=——
BMBN
4
CM丄CN
5兄>1时,点B在圆O内:
0
6若AC.AD是切线,则CD与AO的交点即为B;
7若点3做圆0的不与CD重合的弦EF,则A3平分ZEAF:
例5.(2006四川髙考理)已知两泄点A(—2,0).3(1,0).如果动点F满足\PA\=2\PB\,则点F的轨迹所包用的图形的而积等于()
扎7TB.4?
rC.87FD.9tt
解:
B
例6.(2008江苏高考)AABC中,AB=2,AC=2BC,贝ij的最大值为.
答案:
-
3
例7.AABC中,AB=4,C4:
CB=5:
3,则肚的最大值为•
答案:
—
2
阿波罗尼斯圆的PA+kPB应用
一.背景介绍:
“PA+k・PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
当k值为1时,即可转化为“PA+PB”之和最短
问题,就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理,即可以转化为轴对称问题来处理。
而当k取任意不为1的
正数时,若再以常规的轴对称思想来解决问题,则无法进行,因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类,一般分为2类研究。
即点P在宜线上运动和点P在圆上运动。
其中点P在宜线上运动的类型称之为“胡不归”问题;点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
二.阿波罗尼斯圆模型建立
如图1所示,QO的半径为r,点A、B都在00夕卜,P为0O上一动点,已知旦・0B,连接PA、PB,则当“PAH・PB”的值最小时,P点的位置如何确定?
模型解读:
最早见篁PA+PB”型问题应该是在“将军饮马”问题中,而本题多了一个,故如何确左“k•PB”的大小是关键,如图2,在线段0B上截取0C使0C“・r,则可说明△BP0与△PC0相似,即k・PB二PC。
故本题求“PA+k・PB"的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值,其中与A与C为定点,P为动点,故当A、P、C三点共线时,aPA^PC"值最小。
如图3
三.“阿氏圆”模型破解策略
【破解策略详细步骤解析】
第•步:
连接动点于圆心O(•般将含有k的线段两端点分别与圆心O相连),即连接OB、OPx
OCOP
回顾图2,在OB上取点C构建一=——的目的是为了形成"母了型相似模型”,'‘母了•型相似”的构建是“阿OPOB
氏圆”模型破解的“核武器”,“母了型相似”•出,“阿氏圆”宜接秒杀。
将图2中△BPO单独提取出,如图4,
上色渲染的△PCOs'bpo、就是“母了型相似模型”,“母/型相似模型”的特点如图4,APCO与HBPO有公共ocOP
角ZO,且一=——(在某些角度处理策略题中,"母子型相似”的主要特征是ZO二ZO、ZBMOPC)
OP0B
nrOP
(构造出"COSHBPO后可以得到一=进而推diOP=OBOC\^半径的平方二原有线段X构造线段”,
OPOB
确定C的位置后,连接AC.求出AC长度邛可氏圆”即可破解)
四•“阿氏圆”典型例题讲解
例1:
如图1,在RtAABC中,ZACB=90a,CB=4.CA=6,0C半径为2,P为圆上一动点,连接AP.BP,求AP+-BP的最小值.
2
CP\CP\1
解答:
如图2,连接CP,因为CP二2,AC=6,BC=4,简单推算得——=一,——=一,而题目中是求uAP+-BPAC3CB22
”其中的“k二,故舍弃在AC上取点,应用“空=丄”,所以在CB上取-点D,使CD=1,则有
2CB2
CDCPPD11i
=——=一,无论P如何移动…'PCD与△BCP始终相似,故PD=-BP始终成立,所以AP+-BP
CPCBBP222
MP+PD其中4、D为定点,故4、P、D三点共线时最小,AP+-BP=AP+PD=yiAC2+CD2=^37
2
(思考:
若求BP+-PA呢?
)
3
例2:
己知扇形COD中,ZCOD=90,OC=6.OA=3,OB=5f点P是弧CD上•点,求2PA十PB的最小值.解答:
首先连接OP,因为"二6,04=3,OB二5,所以竺=丄,题目求的是3PA+PB”,
OP2OP6
AO1
其中的5=2”与之相关的是——=一,故在OA上取点,考虑到是2PA.故在OC上取点H,使OH=12,则有OP2
AOOPAP1
——=——=——=-,无论P如何移动,^PAO与HHPO始终相似,故PH=2PA始终成立,所以2PA十PB二PH十PB,
OPOHPH2
其中H、B为定点,故H、P、B三点共线时最小,2PA+PB=PH+PB=JOH?
+OB》=\3・(思考:
若求AP+gpB呢?
)
例3:
如图1,正方形ABCD边长为4.0B的半径为2,P是03上•动点,则、运PD十4PC的最小值?
较这三条线段啊),感觉好像和“迈PD・4PC”没关系啊!
实际上对'‘阿氏圆”套路的理解不够深,我们研究的线
段是圆心到“•动两点”,在此题中,“・动”指的是“动点PJ“两定”不是指爪C,而是要看问题FP»4PC”
RP1Rp
问题中p为动点,c、D才是定点,故本题应该比较荒拄而亏,故选择在WH(如图2)'使
/TrhRpph巧冋
得射7=、二,则有一=—=—=、二,所以无论P如何移动,与5DBP始终相似,故BH=—
2BPBDPD42
(2
始终成立,所以V2PZ)+4PC=4(PC+—PD)=4(PC+PH)其中H、C为定点,故H、P、C三点共线时最小,
4
y[2PD+4PC=4(PC+—PD)=4HC=4y/PM2+MC2=
4
(思考:
若求P"护呢?
)
例4.阿波罗尼斯是古希腊著划数学家,与欧几里得、阿基米徳被称为亚历山大时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果击中在他的代表作《圆锥曲线》一书,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是:
已知动点M与两泄点q、B的距离之比为几(2>0,兄Hi),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.下面,我们来研究与此相关的一个问题.已知圆:
x2+y2=\和点丄,0、点M为圆。
上动点,则
I2丿
的最小值为()
A.^6B.y/lC.尿D.VFT
解析1.令2\MA\=\MC\,则牆斗由题意可得圆x2+y2=1是关于点A,C的阿波罗尼斯圆,且z=|e
\a+b-c\+2\c-b\最小值为
图1图2
【答案】f解法一:
阿波罗尼斯圆解析:
AC.
I
_2-
1AC.
1
.2.
_1_血,因为题目所求:
2AD
1
2AB
V2
2血4
CD+2BD=2C^-CD+BD)9所以连接AC.在线段ADt取点如图1,使巻=[=AH=J
2AC24
••竺=兰=竺=丄,即:
AACH相似于△ACD,即:
CD+2BD=2(-CD+BD)=2(CH+BD),当ADACDC22
CHB三点共线时取最小值如图2,所以H(1丄),3(0」),所以:
BH=Jl2+(-)2=-a2BH=-
4V442
例6.如图1,在已知菱形ABCD的边长为4,ZB=60e,OB的半径为2,P为OB上一动点,则上PD+6PC的最小值?
图1图2
解答:
比较BP、BC、PD戶普=耳罟今,故在BD上取点H,使刃7=斗,故黑=箫磊弋弋PD、®D+6PC=6(PC+%PD)=6(PC+PH)
=6^iHM2+MC2=2VTh
(思考:
若求PD+-PC呢?
)
2
【解析3】建立平面直角坐标系处理最值问题