数字信号处理第三版西科大课后答案第2章.docx

数字信号处理第三版西科大课后答案第2章.docx

《数字信号处理第三版西科大课后答案第2章.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数字信号处理第三版西科大课后答案第2章.docx（27页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

数字信号处理第三版西科大课后答案第2章

第2章　时域离散信号和系统的频域分析

2.1　学习要点与重要公式

2.2　FT和ZT的逆变换

2.3　分析信号和系统的频率特性2.4　例题

2.5　习题与上机题解答

2.1　学习要点与重要公式

　　数字信号处理中有三个重要的数学变换工具，即傅里叶变换（FT）、Z变换（ZT）和离散傅里叶变换（DFT）。

利用它们可以将信号和系统在时域空间和频域空间相互转换，这方便了对信号和系统的分析和处理。

　　三种变换互有联系，但又不同。

表征一个信号和系统的频域特性是用傅里叶变换。

Z变换是傅里叶变换的一种推广，单位圆上的Z变换就是傅里叶变换。

在z域进行分析问题会感到既灵活又方便。

离散傅里叶变换是离散化的傅里叶变换，因此用计算机分析和处理信号时，全用离散傅里叶变换进行。

离散傅里叶变换具有快速算法FFT，使离散傅里叶变换在应用中更加方便与广泛。

但是离散傅里叶变换不同于傅里叶变换和Z变换，它将信号的时域和频域，都进行了离散化，这是它的优点。

但更有它自己的特点，只有掌握了这些特点，才能合理正确地使用DFT。

本章只学习前两种变换，离散傅里叶变换及其FFT将在下一章学习。

2.1.1　学习要点

（1）傅里叶变换的正变换和逆变换定义，以及存在条件。

（2）傅里叶变换的性质和定理：

傅里叶变换的周期性、移位与频移性质、时域卷积定理、巴塞伐尔定理、频域卷积定理、频域微分性质、实序列和一般序列的傅里叶变换的共轭对称性。

　　（3）周期序列的离散傅里叶级数及周期序列的傅里叶变换表示式。

　　（4）Z变换的正变换和逆变换定义，以及收敛域与序列特性之间的关系。

（5）Z变换的定理和性质：

移位、反转、z域微分、共轭序列的Z变换、时域卷积定理、初

值定理、终值定理、巴塞伐尔定理。

　　（6）系统的传输函数和系统函数的求解。

　　（7）用极点分布判断系统的因果性和稳定性。

　　（8）零状态响应、零输入响应和稳态响应的求解。

　　（9）用零极点分布定性分析并画出系统的幅频特性。

2.1.2　重要公式

（1）

这两式分别是傅里叶变换的正变换和逆变换的公式。

注意正变换存在的条件是序列服从绝对可和的条件，即

（2）

这两式是周期序列的离散傅里叶级数变换对，可用以表现周期序列的频谱特性。

（3）

该式用以求周期序列的傅里叶变换。

如果周期序列的周期是N，则其频谱由N条谱线组成，注意画图时要用带箭头的线段表示。

　　（4）若y（n）=x（n）*h（n）,则

这是时域卷积定理。

（5）若y（n）=x（n）h（n）,则

这是频域卷积定理或者称复卷积定理。

（6）

式中,xe（n）和xo（n）是序列x（n）的共轭对称序列和共轭反对称序列，常用以求序列的xe（n）和xo（n）。

　　（7）

这两式分别是序列Z变换的正变换定义和它的逆Z变换定义。

（8）

前两式均称为巴塞伐尔定理，第一式是用序列的傅里叶变换表示，第二式是用序列的Z变换表示。

如果令x（n）=y（n），可用第二式推导出第一式。

　　（9）若x（n）=a|n|,则

x（n）=a|n|是数字信号处理中很典型的双边序列，一些测试题都是用它演变出来的。

2.2　FT和ZT的逆变换

（1）FT的逆变换为

用留数定理求其逆变换，或将z=ejω代入X（ejω）中，得到X（z）函数，再用求逆Z变换的方法求原序列。

注意收敛域要取能包含单位圆的收敛域，或者说封闭曲线c可取

单位圆。

例如，已知序列x（n）的傅里叶变换为

求其反变换x（n）。

将z=ejω代入X（ejω）中，得到

因极点z=a，取收敛域为|z|>|a|，由X（z）很容易得到x（n）=anu（n）。

（2）ZT的逆变换为

求Z变换可以用部分分式法和围线积分法求解。

　用围线积分法求逆Z变换有两个关键。

一个关键是知道收敛域以及收敛域和序列特性之间的关系，可以总结成几句话：

①收敛域包含∞点，序列是因果序列；②收敛域在某圆以内，是左序列；③收敛域在某圆以外，是右序列；④收敛域在整个z面，是有限长序列；⑤以上②、③、④均未考虑0与∞两点，这两点可以结合问题具体考虑。

另一个关键是会求极点留数。

2.3　分析信号和系统的频率特性

　　求信号与系统的频域特性要用傅里叶变换。

但分析频率特性使用Z变换却更方便。

我们已经知道系统函数的极、零点分布完全决定了系统的频率特性，因此可以用分析极、零点分布的方法分析系统的频率特性，包括定性地画幅频特性，估计峰值频率或者谷值频率，判定滤波器是高通、低通等滤波特性，以及设计简单的滤波器（内容在教材第5章）等。

根据零、极点分布可定性画幅频特性。

当频率由0到2π变化时，观察零点矢量长度和极点矢量长度的变化，在极点附近会形成峰。

极点愈靠进单位圆，峰值愈高；零点附近形成谷，零点愈靠进单位圆，谷值愈低，零点在单位圆上则形成幅频特性的零点。

当然，峰值频率就在最靠近单位圆的极点附近，谷值频率就在最靠近单位圆的零点附近。

　　滤波器是高通还是低通等滤波特性，也可以通过分析极、零点分布确定，不必等画出幅度特性再确定。

一般在最靠近单位圆的极点附近是滤波器的通带；阻带在最靠近单位圆的零点附近，如果没有零点，则离极点最远的地方是阻带。

参见下节例2.4.1。

2.4　例　　题

　　［例2.4.1］　已知IIR数字滤波器的系统函数

试判断滤波器的类型（低通、高通、带通、带阻）。

（某校硕士研究生入学考试题中的一个简单的填空题）

　　解：

将系统函数写成下式:

系统的零点为z=0，极点为z=0.9，零点在z平面的原点，不影响频率特性，而惟一的极点在实轴的0.9处，因此滤波器的通带中心在ω=0处。

毫无疑问，这是一个低通滤波器。

　　［例2.4.2］假设x（n）=xr（n）+jxi（n），xr（n）和xj（n）为实序列，X（z）=ZT［x（n）］在单位圆的下半部分为零。

已知

求X（ejω）=FT［x（n）］

解：

Xe（ejω）=FT［xr（n）］

因为　　　　X（ejω）=0π≤ω≤2π

所以

　　　　X（e-jω）=X（ej（2π-ω））=0　　0≤ω≤π

当0≤ω≤π时，　　　　　　　　，故

当π≤ω≤2π时，X（ejω）=0，故

0≤ω≤π

π≤ω≤2π

因此

　　　　　　Re［X（ejω）］=X（ejω）

　　　　　　Im［X（ejω）］=0

　　［例2.4.3］　已知

0≤n≤N

N+1≤n≤2N

n<0,2N

求x（n）的Z变换。

解：

题中x（n）是一个三角序列，可以看做两个相同的矩形序列的卷积。

　　设y（n）=RN（n）*RN（n）,则

n<0

0≤n≤N－1

N≤n≤2N－1

2N≤n

将y（n）和x（n）进行比较，得到y（n－1）=x（n）。

因此

　　　Y（z）z－1=X（z）

　　　　Y（z）=ZT［RN（n）］·ZT［RN（n）］

故

［例2.4.4］　时域离散线性非移变系统的系统函数H（z）为

（1）要求系统稳定，确定a和b的取值域。

（2）要求系统因果稳定，重复

（1）。

　　解：

（1）H（z）的极点为a、b，系统稳定的条件是收敛域包含单位圆，即单位圆上不能有极点。

因此，只要满足|a|≠1,|b|≠1即可使系统稳定，或者说a和b的取值域为除单位圆以的整个z平面。

（2）系统因果稳定的条件是所有极点全在单位圆内，所以a和b的取值域为

　　　　　　　　　　0≤|a|<1,0≤|b|<1

［例2.4.5］　　　　　　　　　　　　　,　f1=10Hz，f2=25Hz，用理想采样频率Fs=40Hz对其进行采样得到　　　。

（1）写出　　　的表达式;

（2）对　　　进行频谱分析，写出其傅里叶变换表达式，并画出其幅度谱；

　　（3）如要用理想低通滤波器将cos（2πf1t）滤出来，理想滤波器的截止频率应该取多少？

解：

（2）按照采样定理,　　的频谱是x（t）频谱的周期延拓，延拓周期为Fs=40Hz，x（t）的频谱为

画出幅度谱如图2.4.1所示。

图2.4.1

（3）观察图2.4.1，要把cos（2πf1t）滤出来，理想低

通滤波器的截止频率fc应选在10Hz和20Hz之间，可选fc＝

15Hz。

如果直接对模拟信号x（t）=cos（2πf1t）+cos（2πf2t）进行滤波，模拟理想低通滤波器的截止频率选在10Hz和25Hz之间，可以把10Hz的信号滤出来，但采样信号由于把模拟频谱按照采样频率周期性地延拓，使频谱发生变化，因此对理想低通滤波器的截止频率要求不同。

［例2.4.6］　对x（t）=cos（2πt）+cos（5πt）进行理想采样，采样间隔T=0.25s，得到　　　，再让　　　通过理想低通滤波器G（jΩ），G（jΩ）用下式表示:

≤

（1）写出　　的表达式;

（2）求出理想低通滤波器的输出信号y（t）。

解：

（1）

（2）为了求理想低通滤波器的输出，要分析　　　的频谱。

　　　中的两个余弦信号频谱分别为在±0.5π和±1.25π的位置，并且以2π为周期进行周期性延拓，画出采样信号　　　的频谱示意图如图2.4.2（a）所示，图2.4.2（b）是理想低通滤波器的幅频特性。

显然，理想低通滤波器的输出信号有两个，一个的数字频率为0.5π，另一个的数字频率为0.75π，相应的模拟频率为2π和3π，这样理想

低通滤波器的输出为

　　　　　　y（t）=0.25［cos（2πt）+cos（3πt）］

图2.4.2

2.5　习题与上机题解答

　　1．设X（ejω）和Y（ejω）分别是x（n）和y（n）的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换：

（1）x（n－n0）

（2）x*（n）

　　（3）x（－n）（4）x（n）*y（n）

　　（5）x（n）y（n）（6）nx（n）

　　（7）x（2n）（8）x2（n）

（9）

解：

（1

令n′=n－n0,即n=n′+n0，则

（2）

（3）

令n′=－n，则

（4）FT［x（n）*y（n）］=X（ejω）Y（ejω）

下面证明上式成立：

令k=n－m,则

（5）

或者

（6）因为

对该式两边ω求导，得到

因此

（7）

令n′=2n，则

或者

（8）

利用（5）题结果，令x（n）=y（n）,则

（9）

令n′=n/2，则

2．已知

≤

求X（ejω）的傅里叶反变换x（n）。

解：

3.线性时不变系统的频率响应（频率响应函数）H（ejω）=|H（ejω）|ejθ（ω），如果单位脉冲响应h（n）为实序列，试证明输入x（n）=Acos（ω0n+j）的稳态响应为

解：

假设输入信号x（n）=ejω0n，系统单位脉冲响应为h（n），则系统输出为

上式说明当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位取决于网络传输函数。

利用该性质解此题：

上式中|H（ejω）|是ω的偶函数，相位函数是ω的奇函数，|H（ejω）|=|H（e-jω）|，θ（ω）=－θ（－ω）,故

4．设

将x（n）以4为周期进行周期延拓，形成周期序列　　　，画出x（n）和　　　的波形，求出　　　的离散傅里叶级数

和傅里叶变换。

解：

画出x（n）和　　　的波形如题4解图所示。

题4解图

或者

5.设题5图所示的序列x（n）的FT用X（ejω）表示，不直接求出X（ejω），完成下列运算或工作：

题5图

（1）

（2）

（3）

（4）确定并画出傅里叶变换实部Re［X（ejω）］的时间序列xa（n）；

（5）

（6）

解　

（1）

（2）

（3）

（4）因为傅里叶变换的实部对应序列的共轭对称部分，即

按照上式画出xe（n）的波形如题5解图所示。

题5解图

（5）

（6）因为

因此

6．试求如下序列的傅里叶变换：

（1）x1（n）=δ（n－3）

（2）

（3）x3（n）=anu（n）　　　　0

　（4）x4（n）=u（n+3）－u（n－4）

　解

（1）

（2）

（3）

（4）

或者:

7．设：

（1）x（n）是实偶函数，

（2）x（n）是实奇函数，

分别分析推导以上两种假设下，其x（n）的傅里叶变换性质。

　　解：

令

（1）因为x（n）是实偶函数，对上式两边取共轭，得到

因此

X（ejω）=X*（e－jω）

上式说明x（n）是实序列，X（ejω）具有共轭对称性质。

由于x（n）是偶函数，x（n）sinω是奇函数，那么

因此

该式说明X（ejω）是实函数，且是ω的偶函数。

　　总结以上,x（n）是实偶函数时，对应的傅里叶变换X（ejω）是实函数，是ω的偶函数。

（2）x（n）是实奇函数。

上面已推出，由于x（n）是实序列，X（ejω）具有共轭对称性质，即

　　　　　　　X（ejω）=X*（e－jω）

由于x（n）是奇函数，上式中x（n）cosω是奇函数，那么

因此

这说明X（ejω）是纯虚数，且是ω的奇函数。

　　8．设x（n）=R4（n），试求x（n）的共轭对称序列xe（n）和共轭反对称序列xo（n），并分别用图表示。

解：

xe（n）和xo（n）的波形如题8解图所示。

题8解图

9．已知x（n）=anu（n）,0

　　解：

因为xe（n）的傅里叶变换对应X（ejω）的实部，xo（n）的傅里叶变换对应X（ejω）的虚部乘以j，因此

10．若序列h（n）是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式：

　　　　　　　　　HR（ejω）=1+cosω

求序列h（n）及其傅里叶变换H（ejω）。

　　解：

11．若序列h（n）是实因果序列，h（0）=1，其傅里叶变换的虚部为

　　　　　　　　HI（ejω）=－sinω

求序列h（n）及其傅里叶变换H（ejω）。

　　解：

你手机可不可以装内存卡啊，上面有没有mythor

你手机可不可以装内存卡啊，上面有没有mythor

（2）

13．已知xa（t）=2cos（2πf0t），式中f0=100Hz，以采样频率fs=400Hz对xa（t）进行采样，得到采样信号　　　和时域离散信号x（n），试完成下面各题：

（1）写出　　　的傅里叶变换表示式Xa（jΩ）；

（2）写出　　　和x（n）的表达式；

　　（3）分别求出　　　的傅里叶变换和x（n）序列的傅里叶变换。

　　解：

上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数δ函数，它的傅里叶变换可以表示成：

（2）

（3）

式中

式中

　　　　　　ω0=Ω0T=0.5πrad

　　上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在，只有引入奇异函数δ函数才能写出它的傅里叶变换表示式。

　　14．求出以下序列的Z变换及收敛域:

（1）2－nu（n）

（2）－2－nu（－n－1）

　　（3）2－nu（－n）（4）δ（n）

　　（5）δ（n－1）（6）2－n［u（n）－u（n－10）］

解　

（1）

（2）

（3）

（4）ZT［δ（n）］=10≤|z|≤∞

　　（5）ZT［δ（n－1）］=z－10<|z|≤∞

　　（6）

≤

15．求以下序列的Z变换及其收敛域，并在z平面上画出极零点分布图。

（1）x（n）=RN（n）　　N=4

（2）x（n）=Arncos（ω0n+j）u（n）r=0.9,ω0=0.5πrad,j=

0.25πrad

　　（3）

≤

≤

≤

≤

式中，N=4。

解　

（1）

由z4－1=0，得零点为

由z3（z－1）=0，得极点为

z1,2=0,1

零极点图和收敛域如题15解图（a）所示，图中,z=1处的零极点相互对消。

题15解图

（2）

零点为

极点为

极零点分布图如题15解图（b）所示。

　　（3）　令y（n）=R4（n）,则

　　　　　x（n+1）=y（n）*y（n）

　　　　　zX（z）=［Y（z）］2,X（z）=z－1［Y（z）］2

因为

因此

极点为　　　　z1=0,z2=1

　　零点为

在z=1处的极零点相互对消，收敛域为0<|z|≤∞，极零点分布图如题15解图（c）所示。

16．已知

求出对应X（z）的各种可能的序列表达式。

　　解：

X（z）有两个极点：

z1=0.5,z2=2，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有三种情况：

|z|<0.5，0.5<|z|<2，2<|z|。

三种收敛域对应三种不同的原序列。

（1）收敛域|z|<0.5：

令

n≥0时，因为c内无极点，x（n）=0;

　　n≤－1时，c内有极点0，但z=0是一个n阶极点，改为求圆外极点留数，圆外极点有z1=0.5,z2=2，那么

（2）　收敛域0.5<|z|<2:

n≥0时，c内有极点0.5，

n<0时，c内有极点0.5、0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外极点只有一个，即2，

　　　x（n）=－Res［F（z）,2］=－2·2nu（－n－1）

最后得到

（3）收敛域|z|<2:

n≥0时，c内有极点0.5、2，

n<0时，由收敛域判断，这是一个因果序列，因此x（n）=0；或者这样分析，c内有极点0.5、2、0，但0是一个n阶极点，改求c外极点留数，c外无极点，所以x（n）=0。

最后得到

17．已知x（n）=anu（n）,0

分别求：

（1）x（n）的Z变换；

（2）nx（n）的Z变换；

　　（3）a－nu（－n）的Z变换。

　　解：

（1）

（2）

（3）

18．已知

分别求：

（1）收敛域0.5<|z|<2对应的原序列x（n）；

（2）收敛域|z|>2对应的原序列x（n）。

解：

（1）收敛域0.5<|z|<2:

　　n≥0时，c内有极点0.5，

　　　　x（n）=Res［F（z）,0.5］=0.5n=2－n

n<0时，c内有极点0.5、0，但0是一个n阶极点，改求c外极点留数，c外极点只有2，

　　　　　　x（n）=－Res［F（z）,2］=2n

最后得到

x（n）=2－nu（n）+2nu（－n－1）=2－|n|　　∞

（2）收敛域|z|>2:

　　n≥0时，c内有极点0.5、2，

n<0时，c内有极点0.5、2、0，但极点0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，可是c外没有极

点，因此

　　　　　　　　　　x（n）=0

最后得到

　　　　　　　　　x（n）=（0.5n－2n）u（n）

　　19．用部分分式法求以下X（z）的反变换：

（1）

（2）

解：

（1）

（2）

20．设确定性序列x（n）的自相关函数用下式表示：

试用x（n）的Z变换X（z）和x（n）的傅里叶变换X（ejω）分别表示自相关函数的Z变换Rxx（z）和傅里叶变换Rxx（ejω）。

解：

解法一

令m′=n+m,则

解法二

因为x（n）是实序列，X（e－jω）=X*（ejω），因此

21．用Z变换法解下列差分方程：

（1）y（n）－0.9y（n－1）=0.05u（n），y（n）=0n≤－1

（2）y（n）－0.9y（n－1）=0.05u（n），y（－1）=1，y（n）=0　n<－1

　　（3）y（n）－0.8y（n－1）－0.15y（n－2）=δ（n）

y（－1）=0.2,y（－2）=0.5,y（n）=0,当n≤－3时。

　　解：

（1）y（n）－0.9y（n－1）=0.05u（n），y（n）=0　　n≤－1

n≥0时，

n<0时，

y（n）=0

最后得到

y（n）=［－0.5·（0.9）n+1+0.5］u（n）

（2）y（n）－0.9y（n－1）=0.05u（n）,y（－1）=1,y（n）=0n<－1

n≥0时，

n<0时，

y（n）=0

最后得到

y（n）=［0.45（0.9）n+0.5］u（n）

（3）y（n）－0.8y（n－1）－0.15y（n－2）=δ（n）

　　y（－1）=0.2,y（－2）=0.5,y（n）=0,当n<－2时

Y（z）－0.8z－1［Y（z）+y（－1）z］－0.15z－2［Y（z）+y（－1）z+y（－2）z2］=1

n≥0时，

y（n）=－4.365·0.3n+6.375·0.5n

n<0时,

y（n）=0

最后得到

y（n）=（－4.365·0.3n+6.375·0.5n）u（n）

22．设线性时不变系统的系统函数H（z）为

（1）在z平面上用几何法证明该系统是全通网络，即|H（ejω）|=常数；

（2）参数a如何取值，才能使系统因果稳定？

画出其极零点分布及收敛域。

　　解：

（1）

极点为a,零点为a－1。

　　设a=0.6，极零点分布图如题22解图（a）所示。

我们知道|H（ejω）|等于极点矢量的长度除以零点矢量的长度，按照题22解图（a），得到

因为角ω公用，

，且△AOB~△AOC，故

，即

故H（z）是一个全通网络。

　　或者按照余弦定理证明:

题22解图

（2）只有选择|a|<1才能使系统因果稳定。

设a=0.6，极零点分布图及收敛域如题22解图（b）所示。

　　23．设系统由下面差分方程描述：

　　　　　　　　y（n）=y（n－1）+y（n－2）+x（n－1）

（1）求系统的系统函数H（z），并画出极零点分布图；

（2）限定系统是因果的，写出H（z）的收敛域，并求出其单位脉冲响应h（n）；

　　（3）限定系统是稳定性的，写出H（z）的收敛域，并求出其单位脉冲响应h（n）。

　　解：

（1）y（n）=y（n－1）+y（n－2）+x（n－1）

　　将上式进行Z变换，得到

　　　　　　　Y（z）=Y（z）z－1+Y（z）z－2+X（z）z－1

因此

零点为z=0。

令z2－z－1=0，求出极点：

极零点分布图如题23解图所示。

题23解图

（2）由于限定系统是因果的，收敛域需选包含∞点在内的收敛域，即