不定积分课件.ppt

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第四章第四章不定积分不定积分微分学微分学:

积分学积分学:

互逆问题互逆问题设曲线通过点设曲线通过点（1,2）,且其上任一点处的切且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程求此曲线方程.二、二、基本积分表基本积分表第一节第一节不定积分的概念和性质不定积分的概念和性质一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念三、三、不定积分的性质不定积分的性质一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念定义定义1（原函数）（原函数）如果在区间如果在区间内内,即即都有都有或或那么函数那么函数就称为就称为或或在区间在区间内内原函数原函数.的导函数为的导函数为可导函数可导函数是是在区间在区间内内的一个原函数的一个原函数.原函数存在定理：

原函数存在定理：

即即连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.问题：

问题：

（1）原函数是否唯一？

原函数是否唯一？

例例（C为任意常数）为任意常数）

（2）若不唯一它们之间有什么联系？

若不唯一它们之间有什么联系？

如果函数如果函数在区间在区间内内连续连续，那么在区间那么在区间内存在可导函数内存在可导函数使使都有都有关于原函数的说明：

关于原函数的说明：

（1）若）若，则对于任意常数，则对于任意常数C，

（2）若）若和和都是都是的原函数，的原函数，则则（C为任意常数）为任意常数）证证

（2）（C为任意常数）为任意常数）都是都是的原函数的原函数.被被积积表表达达式式任任意意常常数数积积分分号号被被积积函函数数定义定义2（不定积分不定积分）积积分分变变量量在区间在区间I内，函数内，函数的带有任意常数项的带有任意常数项的原函数，称为的原函数，称为在区间在区间I内的内的不定积分不定积分,记为记为原原函函数数例例1求求解解解解例例2求求例例3设曲线通过点设曲线通过点（1,2）,且其上任一点处的且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线求此曲线方程方程.解解设曲线方程为设曲线方程为根据题意知根据题意知由曲线通过点（由曲线通过点（11，22）所求曲线方程为所求曲线方程为即即是是的一个原函数的一个原函数.不定积分的几何意义不定积分的几何意义:

的图形的图形的所有积分曲线组成的所有积分曲线组成的平行曲线族的平行曲线族.的原函数的图形称为的原函数的图形称为的的积分曲线积分曲线.由不定积分的定义，可知由不定积分的定义，可知结论结论：

微分运算与求不定积分的运算微分运算与求不定积分的运算“互逆互逆”.微分运算与求不定积分的运算的关系微分运算与求不定积分的运算的关系启示启示能否根据求导公式得出积分公式？

能否根据求导公式得出积分公式？

结论结论既然积分运算和微分运算是互逆的，既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式因此可以根据求导公式得出积分公式.二、二、基本积分表基本积分表基基本本积积分分表表（k是常数是常数）;说明：

说明：

例例4求积分求积分解解根据积分公式根据积分公式证证等式成立等式成立.（可推广到有限多个函数之和的情况）（可推广到有限多个函数之和的情况）三、三、不定积分的性质不定积分的性质线性性质线性性质为常数）为常数）例例5求积分求积分解解例例6求积分求积分解解例例7求积分求积分解解例例8求积分求积分解解说明：

说明：

以上几例中的被积函数都需要进行以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形恒等变形，才能使用基本积分表，才能使用基本积分表.例例9解解所求曲线方程为所求曲线方程为例例10已知一曲线已知一曲线在点在点处的切线斜率为处的切线斜率为且此曲线与且此曲线与y轴的交点为轴的交点为求此曲线的方程求此曲线的方程.5.基本积分表基本积分表

（1）4.不定积分的性质（线性性）不定积分的性质（线性性）1.原函数的概念：

原函数的概念：

2.不定积分的概念：

不定积分的概念：

3.求微分与求积分的互逆关系求微分与求积分的互逆关系小结小结6.利用积分公式求积分利用积分公式求积分思考题思考题思考题解答思考题解答作作业业习题习题4-11.（6）,（13）-（26）;2.3.4习题习题4-21.练习题练习题三、一曲三、一曲线通通过点点斜率等于斜率等于该点横坐点横坐标的倒数，求的倒数，求该曲曲线的方程的方程.，且在任一点，且在任一点处的切的切线的的练习题答案练习题答案