中考数学专题1规律探索问题含答案.docx
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中考数学专题1规律探索问题含答案
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第二篇专题能力突破
专题一规律探索问题
A组 全国中考题组
一、选择题
1．（2015·湖北黄冈中学自主招生，9，3分）两列数如下：
7，10，13，16，19，22，25，28，31…
7，11，15，19，23，27，31，35，39…
第1个相同的数是7，第10个相同的数是（ ）
A．115B．127C．139D．151
解析 第一组数7，10，13，16，19，22，25，28，31，…
第m个数为：
3m＋4；
第二组数7，11，15，19，23，27，31，35，39，…
第n个数为：
4n＋3.
∵3与4的最小公倍数为12，
∴这两组数中相同的数组成的数列中两个相邻的数的差值为12.
∵第一个相同的数为7，
∴相同的数组成的数列的通式为12n－5.
第10个相同的数是：
12×10－5＝120－5＝115.
答案 A
2．（2015·重庆（B），8，3分）下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图1中有2个黑色正方形，图2中有5个黑色正方形，图3中有8个黑色正方形，图4中有11个黑色正方形，…，依此规律，图11中黑色正方形的个数是（ ）
A．32B．29
C．28D．26
解析 观察图形发现：
图1中有2个黑色正方形，
图2中有2＋3×（2－1）＝5个黑色正方形，
图3中有2＋3×（3－1）＝8个黑色正方形，
图4中有2＋3×（4－1）＝11个黑色正方形，
…，
图n中有2＋3×（n－1）＝3n－1个黑色的正方形，
当n＝11时，2＋3×（11－1）＝32.
答案 A
3．（2015·重庆（A），8，3分）下列图形中都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第1个图形中一共有6个小圆圈，第2个图形中一共有9个小圆圈，第3个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第7个图形中小圆圈的个数为（ ）
A．21B．24
C．27D．30
解析 观察图形得：
第1个图形有3＋3×1＝6个圆圈，
第2个图形有3＋3×2＝9个圆圈，
第3个图形有3＋3×3＝12个圆圈，
…，
第n个图形有3＋3n＝3（n＋1）个圆圈．
当n＝7时，3×（7＋1）＝24，故选B.
答案 B
4．（2015·浙江宁波，10，3分）一列数b0，b1，b2，…，具有下面的规律，b2n＋1＝bn，b2n＋2＝bn＋bn＋1，若b0＝1，则b2015的值是（ ）
A．1B．6C．9D．19
解析 ∵b2n＋1＝bn，b2n＋2＝bn＋bn＋1，∴b2015＝b1007＝b503＝b251＝b125＝b62＝b30＋b31＝b14＋b15＋b15＝b6＋b7＋2b7＝3b3＋b2＋b3＝4b3＋b0＋b1＝5b1＋b0＝6b0.
∵b0＝1，∴b2015的值是6.
答案 B
5．（2015·山东德州，5，4分）一组数1，1，2，x，5，y，…满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y表示的数为（ ）
A．8B．9C．13D．15
解析 ∵每个数都等于它前面的两个数之和，
∴x＝1＋2＝3，∴y＝x＋5＝3＋5＝8，
即这组数中y表示的数为8.故选A.
答案 A
二、填空题
6．（2015·广东深圳，9，4分）观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第5个图形有________个太阳．
解析 第一行小太阳的个数为1，2，3，4，…，第5个图形有5个太阳，第二行小太阳的个数是1，2，4，8，…，2n－1，第5个图形有24＝16个太阳，所以第5个图形共有5＋16＝21个太阳．
答案 21
7．（2015·浙江湖州，16，4分）已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3，（如图所示），以此类推…，若A1C1＝2，过点A，D2，D3，…D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是________．
解析 设A1C1交AD10于点E，根据正方形的排放规律，可知，
△AD1E∽△D2A1E，∴＝，解得A1E＝；
△D2A1E∽△D3A2D2，∴＝，解得A2D3＝3，
△A2D2D3∽△A3D3D4，∴＝，解得A3D4＝；
△A3D3D4∽△A4D4D5，∴＝，解得A4D5＝；∴AnDn＋1＝，A9D10＝（或）．
答案 （或）
三、解答题
8．（2015·四川自贡，22，12分）观察下表：
我们把某格中各字母的和所得多项式称为“特征多项式”．例如，第1格的“特征多项式”为4a＋b.回答下列问题：
（1）第3格的“特征多项式”为________，第4格的“特征多项式”为________，第n格的“特征多项式”为________；
（2）若第1格的“特征多项式”的值为－10，第2格的“特征多项式”的值为－16，求a，b的值．
解
（1）观察图形发现：
第1格的“特征多项式”为4a＋b，
第2格的“特征多项式”为8a＋4b，
第3格的“特征多项式”为12a＋9b，
第4格的“特征多项式”为16a＋16b，
…
第n格的“特征多项式”为4na＋n2b；
故填12a＋9b 16a＋16b 4na＋n2b.
（2）∵第1格的“特征多项式”的值为－10，第2格的“特征多项式”的值为－16，∴解得：
a＝－3；
b＝2，∴a，b的值分别为－3和2.
B组 全国中考题组
一、选择题
1．（2012·浙江丽水，10，3分）小明用棋子摆放图形来研究数的规律，图1中棋子围成三角形，其颗数3，6，9，12，…称为三角形数，类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）
图1 图2
A．2010B．2012C．2014D．2016
解析 ∵图1中各三角形的棋子数分别是3，6，9，12，…，显然都是3的倍数，图2中各正方形棋子数分别是4，8，12，16，…，显然都是4的倍数，∴既是三角形数又是正方形数的棋子数必能被12整除，而2010，2012，2014，2016四个数中，只有2016能被12整除，故答案选D.
答案 D
2．（2013·山东日照，11，4分）如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，图形中M与m，n的关系是（ ）
A．M＝mnB．M＝n（m＋1）
C．M＝mn＋1D．M＝m（n＋1）
解析 方法一：
验证法：
A中等式不满足第一个图形，故排除A；B中等式不满足第一个图形，故排除B；C中等式不满足第二个图形，故排除C；故选D.方法二：
观察三个图形中数字的变化，可知1×（2＋1）＝3，3×（4＋1）＝15，5×（6＋1）＝35，故M与m，n的关系是M＝m（n＋1），故选D.
答案 D
3．（2014·重庆，10，4分）下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，…，依此规律，第五个图形中三角形的个数是（ ）
A．22B．24C．26D．28
解析 已知三个图形中三角形的数目为：
2，8，14，求差为：
8－2＝6，14－8＝6，差相等，所以各个数据可以看作：
2＝6－4，8＝6×2－4，14＝6×3－4，则第五个图形中三角形的个数是：
6×5－4＝26，故选C.
答案 C
4．（2012·浙江绍兴，10，4分）如图，直角三角形纸片ABC中，AB＝3，AC＝4，D为斜边BC中点．第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交于点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；……；设Pn－1Dn－2的中点为Dn－1，第n次将纸片折叠，使点A与点Dn－1重合，折痕与AD交于点Pn（n>2）．则AP6的长为（ ）
A.B.
C.D.
解析 在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝3，所以BC＝5.又D是BC的中点，所以AD＝.因为点A，D是一组对称点，所以AP1＝×.因为D1是DP1的中点，所以AD1＝××，∴AP2＝×××，同理AP3＝××（×）2，…，APn＝××（×）n－1，所以AP6＝××（×）6－1＝××（×）5＝，故应选A.
答案 A
5．（2014·山东威海，12，3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，…的斜边都在坐标轴上，∠A1OC1＝∠A2OC2＝∠A3OC3＝∠A4OC4＝…＝30°.若点A1的坐标为（3，0），OA1＝OC2，OA2＝OC3，OA3＝OC4，…则依此规律，点A2014的纵坐标为（ ）
A．0B．－3×（）2014
C．
（2）2014D．3×（）2013
解析 OA2＝＝＝＝3×.同理可求：
OA3＝3×（）2；OA4＝3×（）3......以此类推OAn＝3×（）n－1.又因为2014÷4＝503…2，所以点A2014与点A2在同一半轴上，故点A2014的纵坐标为3×（）2013，故选D.
答案 D
二、填空题
6．★（2013·江西，11，3分）观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为________（用含n的代数式表示）．
解析 第一个图形共有4个点，第二个图形共有9个点，第三个图形共有16个点，4，9，16都是完全平方数，故可看作4＝（1＋1）2，9＝（2＋1）2，16＝（3＋1）2，则第n个图形中所有点的个数为（n＋1）2.
答案 （n＋1）2
7．（2013·浙江湖州，15，4分）将连续的正整数按以下规律排列，则位于第七行、第七列的数x是________．
第一列
第二列
第三列
第四列
第五列
第六列
第七列
…
第一行
1
3
6
10
15
21
28
第二行
2
5
9
14
20
27
第三行
4
8
13
19
26
…
第四行
7
12
18
25
…
第五行
11
17
24
…
第六行
16
23
…
第七行
22
…
x
…
…
解析 第一行的第一列与第二列相差2，第二列与第三列相差3，第三列与第四列相差4，…第六列与第七列相差7，第二行的第一列与第二列相差3，第二列与第三列相差4，第三列与第四列相差5，…第五列与第六列相差7，第三行的第一列与第二列相差4，第二列与第三列相差5，第三列与第四列相差6，第四列与第五列相差7，…第七行的第一列与第二列相差8，是30，第二列与第三列相差9，是39，第三列与第四列相差10，是49，第四列与第五列相差11，是60，第五列与第六列相差12，是72，第六列与第七列相差13，是85；故答案为85.
答案 85
8．（2014·贵州毕节，18，5分）观察下列一组数：
，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数据的第n个数是________．
解析 分子依次为1，3，5，7，9，…，可表示为2n－1；分母依次为22，32，42，52，62，…，可表示为（n＋1）2，所以第n个数是.
答案
9．（2012·浙江湖州，16，4分）如图，将正△ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小正三角形，若＝，则正△ABC的边长是________．
解析 设正△ABC的边长为x，则高为x，S△ABC＝x·x＝x2.∵所分成的都是正三角形，
∴结合图形可得黑色菱形的较长的对角线为x－，
较短的对角线为（x－）＝x－1，
∴黑色菱形的面积＝＝（x－2）2，
∴＝＝，
整理得，11x2－144x＋144＝0，解得x1＝（不符合题意，舍去），x2＝12.∴△ABC的边长是12.
答案 12
10．（2014·江苏扬州，18，3分）设a1，a2，…，a2014是从1，0，－1这三个数中取值的一列数，若a1＋a2＋…＋a2014＝69，（a1＋1）2＋（a2＋1）2＋…＋（a2014＋1）2＝4001，则a1，a2，…，a2014中为0的个数是________．
解析 设这些数中0的个数为a，则由a1＋a2＋a3＋…＋a2014＝69可知：
1的个数比－1的个数要多69，即1的个数为，而－1的个数为；再考虑到另一个等式（a1＋1）2＋（a2＋1）2＋…＋（a2014＋1）2＝4001，得到每个数＋1后，其中平方后为4的数有个，1有a个，其余都是0，可知4·＋a＝4001，解得a＝165.
答案 165
三、解答题
11．（2013·浙江绍兴，19，8分）如图，矩形ABCD中，AB＝6.第1次平移矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到矩形A1B1C1D1；第2次平移矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到矩形A2B2C2D2；…；第n次平移矩形An－1Bn－1Cn－1Dn－1沿An－1Bn－1的方向向右平移5个单位，得到矩形AnBnCnDn（n≥2）．
（1）求AB1和AB2的长；
（2）若ABn的长为56，求n.
解
（1）由题意可得，B点向右平移5个单位到达B1点，故AB1＝6＋5＝11；B1点再向右平移5个单位到达B2点，所以AB2＝11＋5＝16；
（2）由
（1）知AB1＝6＋5，AB2＝6＋2×5，依此类推，AB3＝6＋3×5，…，ABn＝6＋5n，∴ABn＝6＋5n＝56，n＝10.
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