24.1.3弧、弦、圆心角.ppt

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NO把圆把圆O的半径的半径ON绕圆心绕圆心O旋转任意一个角度旋转任意一个角度，圆心角圆心角：

我们把顶点在圆心的角叫做：

我们把顶点在圆心的角叫做圆心角圆心角.一、概念一、概念过点过点O作弦作弦AB的垂线的垂线,垂足垂足为为D,则垂线段则垂线段OD的长度的长度,即圆即圆心到弦的距离，叫心到弦的距离，叫弦心距弦心距,图中，图中，OD为为AB弦的弦心距。

弦的弦心距。

1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。

2、下列图中弦心距做对了的是（）ABCDo下面我们一起来观察一下：

在下面我们一起来观察一下：

在O中有哪些圆心角？

中有哪些圆心角？

（请举出两个例子，并说出圆心角所对的弧，弦。

）（请举出两个例子，并说出圆心角所对的弧，弦。

）如果：

如果：

AOB=CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？

弧有什么关系？

如果：

如果：

AOB=CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？

弧有什么关系？

如果：

如果：

AOB=CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？

弧有什么关系？

如果：

如果：

AOB=CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？

弧有什么关系？

如果：

如果：

AOB=CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？

弧有什么关系？

如果：

如果：

AOB=CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？

弧有什么关系？

如果：

如果：

AOB=CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？

弧有什么关系？

如果：

如果：

AOB=CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？

弧有什么关系？

如果：

如果：

AOB=CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？

弧有什么关系？

如果：

如果：

AOB=CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？

弧有什么关系？

如果：

如果：

AOB=CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？

弧有什么关系？

如果：

如果：

AOB=CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？

弧有什么关系？

如果：

如果：

AOB=CODABCDo下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？

弧有什么关系？

如果：

如果：

AOB=CODABCDo证明证明:

OA=OC，OB=OD，AOB=COD,当点当点A与点与点C重合时，重合时，点点B与点与点D也重合。

也重合。

AB=CD，圆心角定理：

在在同圆同圆或或等圆等圆中，中，相等的圆心角相等的圆心角所对的所对的弧相等，所对的弦也相等。

弧相等，所对的弦也相等。

AB=CD。

已知已知:

如图如图AOB=COD,求证求证:

AB=CD，AB=CD。

思考思考定理定理“在同圆或等圆中，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等相等，所对的弦也相等”中，可否把条件中，可否把条件“在在同同圆或等或等圆中中”去掉？

去掉？

为什么？

什么？

温馨提温馨提示示：

由弦相等推出弧相等时，由弦相等推出弧相等时，这里弧一般要求这里弧一般要求都是优弧或劣弧都是优弧或劣弧如图，如图，AB、CD是是O的两条弦的两条弦

（1）如果）如果AB=CD，那么，那么_，_

（2）如果）如果，那么，那么_，_（3）如果）如果AOB=COD，那么，那么_，_（4）如果）如果AB=CD，OEAB于于E，OFCD于于F，OE与与OF相等吗相等吗？

为什么？

为什么？

CABDEFOAB=CDAB=CD四、练习四、练习答答：

OEOF证明：

证明：

OEABOFCDABCDAECFOAOCRTAOERTCOFOEOF在圆心角、弧、弦、弦心距在圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中，有一组量相等，这四组量中，有一组量相等，其余各组也相等其余各组也相等。

OABA11B1

（1）

（1）圆心角相等圆心角相等

（2）

（2）弧相等弧相等（3）（3）弦相等弦相等知知一一得得二二弦心距、弦心距、知一推三知一推三证明：

证明：

AB=AC,ABC是等腰三角形是等腰三角形又又ACB=60，ABC是等边三角形是等边三角形,AB=BC=CA.AOBBOCAOC.ABCO例题例题例例1如图，在如图，在O中，中，,ACB=60,求求证证AOB=BOC=AOC例例22、如图，等边三角形如图，等边三角形ABCABC内接于内接于O,O,连结连结OA,OB,OCOA,OB,OCAOBAOB、COBCOB、AOCAOC分别为多少度？

分别为多少度？

延长延长AOAO，分别交，分别交BCBC于点于点PP，BCBC于于点点D,D,连结连结BD,CD.BD,CD.判断三角形判断三角形是哪一种特殊三角形？

是哪一种特殊三角形？

判断四边形判断四边形BDCOBDCO是哪一种特殊四是哪一种特殊四边形，并说明理由。

边形，并说明理由。

若若OO的半径为的半径为r,r,求等边求等边三角形三角形ABCABC的边长？

的边长？

若等边三角形若等边三角形ABCABC的边长的边长a,a,求求OO的半径为多少？

的半径为多少？

当当a=a=时求圆的半径时求圆的半径?

1.如图，如图，AB是是O的直径，的直径，COD=35，求，求AOE的度数的度数AOBCDE解：

解：

练习练习2.2.已知：

如图，在已知：

如图，在中，弦中，弦求证：

求证：

33、已知、已知:

如图如图,A,B,C,D,A,B,C,D是是OO上的点，上的点，1=21=2。

求证：

。

求证：

AC=BDAC=BD3.如图，如图，BC为为O的直径，的直径，OA是是O的半径，的半径，弦弦BEOA,求证：

求证：

AC=AE4.已知：

如图，已知：

如图，AOB=90，D、C将将AB三等三等分，弦分，弦AB与半径与半径OD、OC交于点交于点F、E求证：

求证：

AE=DC=BF例例3如图，已知点如图，已知点O是是EPF的平分线上一点，的平分线上一点，P点在圆外，点在圆外，以以O为圆心的圆与为圆心的圆与EPF的两边分别相交于的两边分别相交于A、B和和C、D。

求证：

求证：

AB=CD分析：

分析：

联想到联想到“角平分线的性质角平分线的性质”，作弦心距，作弦心距OM、ON，证明证明:

作作,垂足分别为垂足分别为M、N。

OM=ONAB=CD.PABECMNDF要证要证AB=CD，只需证，只需证OM=ONO.PBEDFOAC.如图，如图，P点在圆上，点在圆上，PB=PD吗？

吗？

P点在圆内，点在圆内，AB=CD吗？

吗？

思考：

思考：

PBEMNDFOMN例例44：

如图如图,AB,AB、CDCD是是OO的两条直径。

的两条直径。

（1）

（1）顺次连结点顺次连结点AA、CC、BB、DD，所得的四边形是什，所得的四边形是什么特殊四边形？

为什么？

么特殊四边形？

为什么？

（2）

（2）若直径为若直径为10cm10cm，AOD=120AOD=12000，求四边形，求四边形ACBDACBD的周长和面积。

的周长和面积。

例例44：

如图如图,AB,AB、CDCD是是OO的两条直径。

的两条直径。

（3）（3）四边形四边形ACBDACBD有可能为正方形吗？

若有可能有可能为正方形吗？

若有可能,当当ABAB、CDCD有何位置关系时，四边形有何位置关系时，四边形ACBDACBD为正方为正方形？

为什么？

形？

为什么？

（4）如果要把直径为）如果要把直径为30cm的圆柱形原木锯的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？

最大横截面面积是多可能地大，应怎样锯？

最大横截面面积是多少？

少？

圆心角习题课圆心角习题课垂径定理及逆定理垂径定理及逆定理如图如图,在下列五个条件中在下列五个条件中:

OABCDMCD是直径是直径,AM=BM,CDAB,AC=BC,AD=BD.知二推三知二推三知二推三知二推三在同圆或等圆中在同圆或等圆中,如果如果两个圆心角两个圆心角,两条弧两条弧,两条弦两条弦,两条弦心距两条弦心距中中,有一组量相等有一组量相等,那么它们所对应的其余各那么它们所对应的其余各组量都分别相等组量都分别相等.OABDABD圆心角圆心角,弧弧,弦弦,弦心距之间的关系定理弦心距之间的关系定理知一推三知一推三知一推三知一推三1.如图,在ABCABC中中,ACB=90,ACB=9000,B=25B=2500,以以CC为圆心为圆心,CA,CA为半径为半径的圆交的圆交ABAB于于D,D,求弧求弧ADAD的度数的度数.BCADAD=50做一做做一做2.如图,在ABCABC中中,A=70,A=70,OO截截ABCABC的三条边所得的的三条边所得的弦长相等弦长相等,求求BOCBOC的度数的度数.NOABCEDFBOC=125想一想3.如图如图,D、E分别是分别是AB、AC中点中点,DE交交AB于于M,交交AC于于N.求证求证:

AM=ANABCDEOMNFG证明证明:

连结连结ODOD、OE,OE,分别交分别交ABAB、ACAC于于FF、GGDFM=900=EGNOD=OED=EDMB=ENCENC=ANMDMB=AMNAMN=ANMAM=ANDD、EE分别为分别为ABAB、ACAC的中点的中点4.已知圆内接已知圆内接ABC中，中，AB=AC，圆心，圆心O到到BC的距离为的距离为3cm,圆半径为圆半径为7cm,求腰长求腰长AB.ABCODAB=235BCOAAB=214D5.如图如图,A是半圆上一个是半圆上一个三等分点三等分点,B是是AN的中点的中点,P是直径是直径MN上一个动点上一个动点,O的半径为的半径为1,求求PA+PB的最小值的最小值.NOAMBBPPA+PB2的最小值是的最小值是.AOBECDF思考题思考题已知：

已知：

AB是是O直径，直径，CD是弦，是弦，AECD，BFCD求证：

求证：

ECDF