《概率论与数理统计》习题及答案第八章.docx

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《概率论与数理统计》习题及答案第八章

《概率论与数理统计》习题及答案

第八章

1.设x.,x2,•••,%„是从总体X中抽岀的样本，假设X服从参数为兄的指数分布，几未知，给泄入〉0和显著性水平a（Ovavl）,试求假设Ho的力$检验统计量及否建域.

解

选统汁量*=2人工乙=2如庆

则Z2-Z2（2n）»对于给宦的显著性水平a,査z'分布表求出临界值加⑵"，使

加⑵2））=Q

因z2>z2>所以（F"：

（2/1））=>（/2>/；（2n））,从而

a=P{X2>加⑵“}nP{r>Za（2/0）

可见仏:

2>^的否定域为Z2>Z；（2«）.

2.某种零件的尺寸方差为o-2=1.21,对一批这类零件检查6件得尺寸数据（毫米）：

，，，，，。

设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是毫米（a=O.O5）.

解问题是在/已知的条件下检验假设：

“=32.50

Ho的否定域为1“l>uaf2

u0（n5=1.96,因1“1=6.77>1.96,所以否泄弘，即不能认为平均尺寸是亳米。

3.设某产品的指标服从正态分布，它的标准差为b=100,今抽了一个容量为26的样本，计算平均值1580,问在显著性水平a=0.05下，能否认为这批产品的指标的期望值“不低于1600。

解问题是在b?

已知的条件下检验假设:

//>1600

的否定域为u<-ua/2,其中

X-1600r-r1580-1600c,“

11=V26=x5.1=—1.02.

100100

一叫05=—1.64.

因为//=-1.02>-1.64=-m005,所以接受H（>,即可以认为这批产品的指标的期望值“不低于1600.

4.一种元件，要求其使用寿命不低于1000小时，现在从这批元件中任取25件，测得其寿命平均值为950小时，已知该元件寿命服从标准差为o-=100小时的正态分布，问这批元件是否合格（<7=0.05）

解设元件寿命为X,则X~N（“，IO。

?

），问题是检验假设H0:

//>1000.仏的否定域为w<-h005,貝中

X-1000/—950-1000「

u=（25=x5=-2.5

cr100

wo.o5=164

因为

u=-2.5<-1.64=z/005

所以否泄Ho,即元件不合格.

5.某批矿砂的5个样品中镰含量经测左为X（%）:

3.25,3.27,3.24,3.26,3.24

设测泄值服从正态分布，问能否认为这批矿砂的银含量为3.25（a=0.01）

解问题是在P未知的条件下检验假设H.:

//=3.25

Ho的否泄域为

lfl>也⑷

_15_

X=3.252,s'=_（工X”-5xX2）=O.OOO17,5=0.013

4r-l

/（）.oo5⑷=4.6041

X-3.25,73.252-3.25…

t=>/5=x2.24=0.345

S0.013

因为

1/1=0.345<4.6041=Z0005（4）

所以接受Ho,即可以认为这批矿砂的银含虽:

为.

6.糖厂用自动打包机打包，每包标准重量为100公斤，每天开工后要检验一次打包机工作是否正常，某日开工后测得9包重量（单位：

公斤）如下:

99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,99.5,102.1,100.5

问该日打包机工作是否正常（a=0.05；已知包重服从正态分布）

_19

解X=99.98>S2=-（22（X,.-x）2）=1.47,S=1.21,

8z-i

问题是检验假设Ho:

//=1OO的否定域为iM>rtf/2（8）.

其中_

z=X-100^=99.98-100x3=_005

S1.21

仏§⑻=2.306

因为

”1=0.05<2.306=心25（8）

所以接受Ho,即该日打包机工作正常.

7.按照规定，每100克罐头番茄汁中，维生素C的含量不得少于21亳克，现从某厂生产的一批罐头中抽取17个，测得维生素C的含量（单位：

亳克）如下

22,21,20,23,21,19,15,13,16,

23,17,20,29,18,22,16,25.

已知维生素C的含量服从正态分布，试检验这批罐头的维生素含虽是否合格。

（a=0.025）

解设X为维生素C的含量，则X~N（“，O-2）,艮=20,S—419.625,S=20.485,n=\l.问题是检验假设Ho:

//>21.

（1）Ho:

//>21.

（2）単择统计呈7并计算其值：

X—21厂20—21C

t=y/n=\JY7=-0.20

S20.485

（3）对于给定的tz=0.025查/分布表求出临界值fa（"）=/oo25（16）=2.2・

（4）因为-r0025（16）=-2.20<-0.20=/o所以接受即认为维生素含量合格.

8.某种合金弦的抗拉强度X~N（“，b?

）,由过去的经验知//<10560（公斤/厘米二），今用新工艺生产了一批弦线，随机取10根作抗拉试验，测得数据如下：

10512,10623,10668,10554,10776,10707,10557,1058b10666,10670.

问这批弦笔的抗拉强度是否提髙了（&=0・05）

解X=10631.4,寸=6558・89,5=80.99,n=10・问题是检

验假设/70:

//<10560

（1）:

;/<10560.

（2）选统计量并计算其值.

=2.772

（3）对于a=0.05,查/分布表，得临界值=也5（9）=1.833.

（4）因/（）“（9）=1.833<2.772=f,故否泄弘即认为抗拉强度提髙了。

9.

从一批轴料中取15件测量其椭圆度，计算得S=0.025,问该批轴料椭圆度的总体方差与规左的er=0.0004有无显著差别（a=0・05，椭圆度

（2）选统计量力2并计算其值

（^=9xl2L82=i3705

Zb：

80

（3）对于给左的a=0.05,査z?

分布表得临界值Z^（«-D=ZJ.o5（9）=16.919.

（4）因^2=13.705<16.919=Zj05,故接受H（）,即可以认为方差不

大于80。

11.对两种羊毛织品进行强度试验，所得结果如下

第一种138,127,134,125：

第二种134,137,135,140,130,134.

问是否一种羊毛较另一种好设两种羊毛织品的强度都服从方差相同的正态分布。

（a=0・05）

解设第一、二种织品的强度分别为X和丫，则X~N（“，b2）,Y〜Ngb冷

X=131,S：

=36.667,nx=4

F=135,S~=35.2,n2=6

问题是检验假设乩）：

“=〃2

（2）选统计量T并计算其值.

=-1.295

（3）对于给定的a=O.O5,査/分布表得临界值匕2（厲+$—2）

=^o.o25⑻=2.3069.

（4）因为1/1=1.295<2.3069=0x5⑻，所以接受假设，即不能说一

种羊毛较另一种好。

12.在20块条件相同的上地上，同时试种新旧两个品种的作物各十块土地，其产量（公斤）分别为

旧品种，》,,,新品种

设这两个样本相互独立，并都来自正态总体（方差相等），问新品种的产量

是否高于旧品种（Q=0・01）解设X为新品种产量，丫为旧品种产量；X~Ngb鋼,

Y~Ngcr2）,问题是检验假设

H（）:

“n“2

X=79.43,S：

=2.2246,厲=10

Y=76.23,S；=3.3245,n2=10

T;

J（叫-1）S「+（川2-1）S]

79.43-76.23

一J（2.2246+3.3245）x9

对给定的a=0.01,査f分布表得临界值：

（18）=為（18）=2.5524.

因为T=4.2956>-2.5524=-仏心8）故接受即新品种髙于旧品

13.两台机床加工同一种零件，分别取6个和9个零件，量其长度得

0.345,S；=0.357,假定零件长度服从正态分布，问可否认为两台机床加工的零件长度的方差无显著差异（a=0.05）

解S；=0.345,q=6,

S；=0.357,n2=9

问题是检验假设

H。

:

erf=b；

选统i\^F并计算其值

对给泄的a=0.05査F分布表得临界值心耳（5,8）=耳。

25（5,8）=4.65,花邓（5,8）=-^-=0.1479.

O./O

因佗975（5,8）=0.1479<0.9664=F<4.65=佗025（5,8）故接受

丹0,即无显箸差异.

13・甲.乙两台机床加工同样产品，从它们加工的产品中各抽取若卩测得直径（单位：

mm）为

甲：

……，；

问甲、乙两台机床加工的精度有无显箸差异（a=0.05,产品直径服从正态分布。

）

解设甲加工的直径为X,乙为Y.

Y

X=19.925,S；=0.2164,=8

F=20,S；=0.3967,n2=7

问题是检验假设

H（）：

于=或

选统计量F并计算其值

尸亠竺里“5455.

S20.3967

对于给定的6?

=0.05,査F分布表得临界值

你/2（7,6）=£）025（7,6）=5.70,^.975（7,6）=^-^=0.1953

因佗.975⑺6）=0.1953v0.5455=F＜丘025⑺6）=5.70,故接受比,即精度无显著差异.

14.一颗骰子掷了120次，得下列结果：

点数

1

2

3

4

5

6

出现

2

2

2

2

1

1

次数

3

6

1

0

5

5

问骰子是否匀称（0=0.05）

解用X表示掷一次骰子岀现的点数，其可能值为1,2,3,4,5,6。

问题是检验假设

Hq:

/?

=P{X=/）=-,j=l,2,.・.,6.这里k=6,

Pio=—»ii=\20,npe=2094=｛，｝故

6尹仆叫）二尹耳一20）2=兰=48

幺WotT2020

査才分布表，得临界值加伙一D=Zo.o5（5）=H.071因为/=4.8<1.071=九§故接受H。

即骰子匀称。

15.从一批滚珠中随机抽取50个，测得它们的直径（单位：

mm）为

是否可以认为这批钢珠的直径服从正态分布（Q=0.05）

解数据中最小的为，最大者为，设d=14.05,b=16」5,欲把0上］

分成七个（相等的）区间，则区间长度（组距）为161?

~14（）?

=0.3得分点

7

X=14.35,『2=14.65,儿=14.95,>-4=15.25,y5=15.55,j6=15.85.它们把实数轴分成七个不相交的区间，样本值分成了七组：

■

1

X-1~X

ni

1

-co〜14.35

3

2

14.35~14.65

5

3

14.65~14.95

1

0

4

14.95~15.25

1

6

5

15.25~15.55

8

6

15.55^15.85

6

15.85

设钢珠的直径为X,其分布函数为FM,我们的问题是检验假设:

仇：

=其中从/未知.

b

在比成立之下，“和＜r2的极大似然估计为“=无=15.1,a=-y（X{-X）2=0.1849,cr=0.43.

在上而的表中第1组和第7组的频数过小，把它们并入相邻的组内，即

分成5组，分点为厶=14.65,t2=14.95,t3=15.25>t4=15.55・

P\=F（fJ=①（!

丄心一4[）=1一①（1.04）=0.1492

1495-151

P2=F（r2）-F（r,）=①（-）-01492

=1一0（0.35）一0」492=0.214

卩3=尸亿）-FQJ=①（4；一03632

0.43

=0（0.35）-0.3632=0.2736

、L,x从」5.55—15.1、

几=^4）一F（G=◎（—存一）-

=0（1.04）-0.6368=0.218

15.55-15.1

p5=l-F（r4）=l-4）（——）=0.1452

统计量

宀⑵

Iw

的值严算如下表:

Epinpjq-np（q-np）2（nf—npj丨忙

因为

才=11.68>7.815=总（3）

所以不接受丹0,即不能相信X~U[0,2]・

习题九

1.一批由同样原料织成的布，用五种不同的染整工艺处理，然后进行

缩水试验，设每种工艺处理4块布样，测得缩水率的结果如下表

布样

号

缩水率

A

a2

4

1

2

3

4

问不同的工艺对布的缩水率是否有显箸的影响（a=0.01）

解m=5,nA=n2=n3=nA=n5=4,n=20,查附表5得

^o.oi（m一1，n~m）=FQQl（4,15）=4.89.

方差

来源

平方

和

自由

度

均方

F

值

匚

艺

误

差

4

15

**

总

19

因为9.6095>4.89>所以工艺对缩水率有显著影响.

2.灯泡厂用4种不同配料方案制成的灯丝生产了四批灯泡，今从中分

别抽样进行使用寿命的试验，得到下表的结果（单位：

小时），问这几种配料方案对使用寿命有无显著影响（a=0・01）

试验

寿

命

A

a2

A

1

1600

1850

1460

1510

2

1610

1640

1550

1520

3

1650

1640

1600

1530

4

1680

1700

1620

1570

5

1700

1750

1640

1600

6

1720

—

1660

1680

7

1800

—

1740

——

S

—

—

1820

——

解m=4,=7,n2=5,n3=4=6,n=26,查附表5得

佗°】（加-1,料-加）=厲0］（3,22）=4.82

为简化汁算从上表的试验结果中都减去1600再除以10得下表

A

A.

■

岛

4Z1=1

1

2

3

4

5

6

7

8

0

1

5

8

10

12

20

25

4

4

10

15

-14_5

0

2

4

6

14

22

-9

-8

-7

-3

0

8

叫

丿u

56

58

29

-19

124

（也丫

\/

3136

3364

841

361

1

"叫

占

\2

448

/

7-1

734

982

957

264

2937

卩=丄（124）2=591.385,（2=1286.092,R=2937

26

S；=/?

-。

=1650.908,S^=丄S；=16.509

100

s；=Q-P=694.707,S”=禽S；=6.947

方差分析表

方差来

平

自

均

F值

源

方和

由度

方

配料

误差

3

22

总

和

25

因为F=3.18<4.82=^.0I（3,22）,故不显著.

3.在单因素试验方差分析模型式（）中，“是未知参数（i=l,2,…,加），求“的点估计和区间估计.

解因为X,~N（h，a2）,所以m的点估计为ZA=Xf,=1,2,？

・

由定理知Sp/L~才（打_加），再由泄理知&与

1叫__

S；=——工（X厂&）2相互独立，又由X”•独立，知&与s訂…、S：

独ni-1J-1

VI

立，从而»=—l）s；与&独立，又

/-I

由/分布的泄义知

其中Se=Se心一m）

对于给立的a，査/分布表求出临界值ta/2（n-m）,使

在上式括号内将M眾壺出来得M在置信度1—a下的垃信区间

4・在单因素试验方差分析模型式（）中，b，是未知参数.试证丄一是CT2的无偏估计，且，的1一&下的置信区间为

n一m

',S<,,Se、

、/爲⑺一用）'ZL/2

证：

因为se/

ESe

于是

fl_Hl）

故—一是b，的无偏估计：

n一ni

因为S」b?

~/2（n-m）

所以对于给泄的&，查才分布表求出临界值龙；2（"-〃"和/莒2S-加）使得

P（力二刃2（〃_〃?

）V京V力；2（拜_〃?

））=1_a

式中将b?

暴露出来得

=l-a

证毕

—<十<—

1益/2⑺-也）力“2（料-也）丿

故b?

的置信度为1-a下的置信区间为

力4（舁-加）丿・

5.验证式（）的解a"能使0（。

上）=》⑶一。

一则尸达到最小值.

A=AC-B2=4

证：

⑦2是函数oa〃）=£（x-“一处尸的驻点.而心4B备彳孕、C备前吭X；—工尢

由柯西不等式知A>0,而A>0,C>0所以（°,仍是Q（a,b）的极小点，而Q（a,b）存在最小值，故°,&能使Q（a,b）达到最小值.

6.利用泄理证明，在假设H0-.b=0成立的条件下，统讣量

Av

『=彳7^~心-2）

并利用它检验中例1所得的回归方程的显著性（a=0.01）

证：

因为b~N（b、——）所以才JZ：

~N（0,1）

a

在H°:

b=0成立的条件下£JZJ~N（O,T）

空匹…-2）

b_

由/分布的泄义知

证毕

［忆=〒o、=〜心_2）.

S.3/（-2）

今利用/统计量检验回归方程的显著性.

t=—Jl«=&二J6.056=6.133

S7Jl18.734

对于给泄的a=0.01查/分布表得临界值^.01（10）=2.7638.

因为f=6.133>2.738=r（讪（10）,所以回归方程显著.

7.利用立理证明回归系数方的置信区间为

/

八S八

b-taf2（“—2）—==、b+tar（n-2）IK_

并利用这个公式求中例1的回归系数“的置信区间（置信度为）.

解由定理知

心^^娠~心-2）

对于给定的查f分布表求出临界值ta/2（n-2）,使

P-2）7^*<心2（刃-2）}=l-a

在上式的大括号内，将〃眾露出来得

7S.,S

P{b—f（xc（“—2）I—vb

■K■忆

故"的宜信度为1-a下的置信区间为

八S入

Ib+ta/2（n-2）

IK在例1中厶=27.156n=12,5=10.897,—=6.056

仏5（1°）=2.228•

所以〃的豊信度为下的置信区间为（17.291,37.021）

8.在钢线碳含量x（%）对于电阻y（20*C时，微欧）效应的研究中，得到以下的数据

x

$11122

58916

设对于给泄的X,y为正态变量，且方差与X无关.

（1）求线性回归方程y=a+从；

（2）检验回归方程的显著性：

（3）求“的置信区间（置信度为）：

（4）求y在x=0.50处的置信度为的预测区间.

解我们用下表进行计算

序

号

X

y

•>

9

1

15

22

5

2

18

32

3

19

4

4

21

36

5

1

6

44

7

26

1

67

6

T：

均

x=0.543,y=20.77

S=壬兀2一?

J2=2.595-2.064=0.531,

L、、.=fy；—7于=3104.2—3019.75=84.45,

S=》兀升一7可=85・61—78・947=6・663,

所以回归方程为y=13.95+12.55x

（2）我们用方差分析表来检验回归方程的显著性

方差分析表

方差来源

平方和

自由度

均方

F值

回归

f/=83.

621

疗=83.

62

66£=503

Q

剩余

2=0.8

315

<2=0.1

总

和

垢=84.

轩6

八-O

其中U=bL“Q=s（2=^-・〃一2

査F分布表求岀临界值/*）.0!

（1,5）=16.62

因为F=503.61>16.62=

所以回归方程髙度显著.

（3）由第7题知，〃的置信度为1—Q下的置信区间为

b-tad®-2）—j=、b+ta/2（n-2）.—

I,KKJ

此处2=12.55,几=7,a=0.05,心血（5）=2.5706,

S2=（Lyy-bLxy）/（n-2）=0」66.

所以b的置信度为下的宜信区间为（，）

（4）n=7,x=0.53,Lu=0.531,5=0.407,/0（5）=2.5706,

x0=0・50.

哄兀）=02Si）Sjl+++

0.531

=2.5706x0.407xJl4-y+（°?

~（）：

）43^-=1.12

y0=13.95+12.55x0.5=20.225

故y在x=0.50处的置信度为的置信区间为

（儿一5（0.5）,儿+5（0.5））=（19.105,21.345）

9.在硝酸钠（NRVO