初三数学专题复习五三角形及其全等相似.docx
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初三数学专题复习五三角形及其全等相似
初三数学专题复习五、三角形及其全等、相似
【课标要求】
1.三角形的有关概念：
（1）了解三角形有关的概念，掌握三角形的三边关系；
（2）理解三角形内角和定理及推论；
（3）理解三角形的角平分线、中线、高的概念及画法和性质.
2.特殊三角形的性质和判定：
（1）了解等腰三角形及等边三角形的有关概念，掌握其性质及判定；
（2）掌握线段中垂线和角平分线的性质及判定；
（3）了解直角三角形的有关概念，掌握其性质与判定；
（4）掌握勾股定理与逆定理，并能用来解决有关问题.
3.全等三角形：
（1）理解全等三角形的定义和性质；
（2）掌握三角形全等的性质与判定，熟练掌握三角形全等的证明；
4.相似三角形：
（1）比例线段：
了解比例线段的有关概念及其性质，并会用比例的性质解决简单的问题.
（2）相似图形：
了解相似多边形，相似三角形的概念，掌握其性质和判定并会运用；
（3）相似三角形：
①了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件；
②能利用图形的相似解决一些实际问题；
③通过实例了解中心投影和平行投影，了解视点、视线及盲区的涵义；
（4）位似：
了解位似变换和位似图形的概念，掌握并运用其性质.
【课时分布】
本单元在复习时大约需要9个课时，下表为内容及课时安排（仅供参考）.
课时数
内 容
1
三角形的有关概念
2
等腰三角形、直角三角形
1
全等三角形的判定、性质
3
相似三角形
2
单元测评
【知识回顾】
1.知识脉络
2.基础知识
（1）三角形的概念及性质
三角形的概念：
由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形.
三角形的性质：
①三角形的内角和是180°；
②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角；
③三角形的任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边.
（2）三角形中的重要线段
三角形的角平分线：
三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
三角形的高线：
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称高.
三角形的中线：
在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段.
三角形的中位线：
①连接三角形两边中点的线段.
②定理：
三角形的中位线平行于第三边，且等于它的一半.
（3）三角形的外心、内心
①三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心，三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.
②三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，三角形的内心到三角形三边的距离相等.
（4）等腰三角形
等腰三角形的有关概念及分类：
①有两边相等的三角形叫等腰三角形，三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形；
②等腰三角形分为腰和底不相等的等腰三角形和腰和底相等的等腰三角形；
等腰三角形的性质：
①等腰三角形的两个底角相等（简称为“等边对等角”）；
②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称为“三线合一”）；
③等腰三角形是轴对称图形.
等腰三角形的判定：
①有两边相等的三角形是等腰三角形；
②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称为“等角对等边”）.
（5）等边三角形的性质与判定
等边三角形的性质：
①等边三角形的内角相等，且都等于60°；
②等边三角形的三条边都相等；
等边三角形的判定：
①三条边相等的三角形是等边三角形；
②三个角相等的三角形是等边三角形；
③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.
（6）线段的垂直平分线
线段的垂直平分线概念：
经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，也叫中垂线.
线段的垂直平分线性质：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
线段的垂直平分线判定：
到一条线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合.
（7）角平分线的性质及判定
角平分线的性质：
角平分线上的点到角的两边的距离相等.
角平分线的判定：
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，角的平分线可以看作是到角两边距离相等的点的集合.
直角三角形的性质：
①直角三角形的两锐角互余；
②直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半；
③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
④勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
直角三角形的判定：
①有一个角等于90°的三角形是直角三角形；
②有两角互余的三角形是直角三角形；
③如果三角形一边上的中线等于这边的一半，则该三角形是直角三角形；
④勾股定理的逆定理：
如果三角形一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形.
（8）全等三角形的性质与判定
全等三角形的概念：
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
全等三角形的性质：
全等三角形的对应边、对应角分别相等.
全等三角形的判定：
①有三边对应相等的两个三角形全等，简记为（SSS）；
②有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为（SAS）；
③有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为（ASA）；
④有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为（AAS）；
⑤有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为（HL）.
（9）比例线段
比例线段的概念：
在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即
（或a∶b=c∶d），那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段.
比例线段的性质：
①基本性质：
=
ad=bc；
②合比性质：
=
；
③等比性质：
若
=
=···=
（b＋d＋···＋n≠0），那么
.
黄金分割的概念：
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果
=
，则线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
（10）相似多边形
相似多边形的概念：
对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比，相似比为1的两个多边形全等.
相似多边形的性质：
①相似多边形的对应角相等，对应边成比例；
②相似多边形周长的比等于相似比；
③相似多边形面积的比等于相似比的平方.
（11）相似三角形
相似三角形概念
各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.
相似三角形判定：
①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似；
②两角对应相等，两三角形相似；
③两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
④三边对应成比例，两三角形相似.
相似三角形性质：
①相似三角形的对应角相等，对应边成比例；
②相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；
③相似三角形周长的比等于相似比；
④相似三角形面积的比等于相似比的平方.
（12）图形的位似
图形位似的概念：
如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形叫位似图形.这个点叫做位似中心，这时的相似比称为位似比.
图形的位似性质：
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.
3.能力要求
例1如图5-1，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，∠BAE=90°，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF．
求证：
CD=2AF
【分析】因为AF是直角三角形ABE的中线，所以BE=2AF，
然后通过△ABE≌△ACD即可求得．
【证明】
如图，∵∠BAC+∠EAD=180°，∠BAE=90°，
∴∠DAC=90°.
在△ABE与△ACD中，
∴△ABE≌△ACD（SAS）.∴CD=BE.
∵在Rt△ABE中，F为BE的中点，∴BE=2AF.∴CD=2AF．
【说明】
本题考查了三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，是基础题，熟记和灵活运用三角形全等的判定方法与各性质是解题的关键.
例2如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB=9，BD=3，则CF等于（ ）
A.1B.2C.3D.4
【分析】利用两对相似三角形，线段成比例：
AB：
BD=AE：
EF，CD：
CF=AE：
EF，可得CF=2．
【证明】
如图5-2，∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴∠B=∠BAC=60°，∠E=∠EAD=60°，
∴∠B=∠E，∠BAD=∠EAF，
∴△ABD∽△AEF.∴AB：
BD=AE：
EF．
同理：
△CDF∽△EAF.
∴CD：
CF=AE：
EF.
∴AB：
BD=CD：
CF，即9：
3=（9﹣3）：
CF.∴CF=2.
故选：
B．
【说明】本题考查了相似三角形的判定与性质和等边三角形的性质．此题利用了“两角法”证得两个三角形相似．
例3如图5-3，△ABC中，AB=AC=18，BC=12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD=AG，DG=6，则点F到BC的距离为（ ）
A．1 B．2
C．
D．
【分析】首先过点A作AM⊥BC于点M，交DG于点N，延长GF交BC于点H，易证得△ADG∽△ABC，然后根据相似三角形的性质以及正方形的性质求解即可求得答案．
【解】
过点A作AM⊥BC于点M，交DG于点N，延长GF交BC于点H，
∵AB=AC，AD=AG，∴AD：
AB=AG：
AB.
∵∠BAC=∠DAG，∴△ADG∽△ABC.∴∠ADG=∠B.∴DG∥BC.
∵四边形DEFG是正方形，∴FG⊥DG.∴FH⊥BC，AN⊥DG.
∵AB=AC=18，BC=12，∴BM=
BC=6.
∴
，
又△ADG∽△ABC，∴
.
.∴
.
∴MN=AM−AN=
，∴FH=MN−GF=6
−6．
故选D．
【说明】此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
例4如图5-4，正方形ABCD的边长为l，AB边上有一动点P，连接PD，线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于F，连接DF，过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q．
（1）求线段PQ的长；
（2）点P在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由．
【分析】
（1）由题意得：
PD=PE，∠DPE=90°，又由正方形ABCD的边长为l，易证得△ADP≌△QPE，然后由全等三角形的性质，求得线段PQ的长；
（2）易证得△DAP∽△PBF，又由△PFD∽△BFP，根据相似三角形的对应边成比例，可得证得PA=PB，则可求得答案．
【解】
（1）根据题意得：
PD=PE，∠DPE=90°，∴∠APD+∠QPE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=90°.∴∠ADP+∠APD=90°.∴∠ADP=∠QPE.
∵EQ⊥AB，∴∠A=∠Q=90°.
在△ADP和△QPE中：
，
∴△ADP≌△QPE（AAS）.∴PQ=AD=1.
（2）∵△PFD∽△BFP，∴
.
∵∠ADP=∠EPB，∠CBP=∠A.∴△DAP∽△PBF.
.
.∴PA=PB.∴PA=
AB=
.
∴当PA=
时，△PFD∽△BFP．
【说明】此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
例5如图5-5，等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．
（1）求证：
AF=BE，并求∠APB的度数；
（2）若AE=2，试求AP•AF的值；
【分析】
（1）证明△ABE≌△CAF，借用外角即可以得到答案；
（2）利用勾股定理求得AF的长度，再用平行线分线段成比例定理或者三角形相似及求得
的比值，即可以得到答案．
【解】
（1）证明：
∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°，
又∵AE=CF，
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（SAS）.∴AF=BE，∠ABE=∠CAF．
又∵∠APE=∠ABP+∠BAP，∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°．
∴∠APB=120°．
（2）如图5-6，过点E作EH∥BC，交AF于H，AM⊥BC，垂足为M，
∵AE=CF=2，△ABC为等边三角形，AB=BC=AC=6，
∴MF=1，AM=
.
根据勾股定理，AF=
；
∵EH∥BC，
.
.
.
．
【说明】
本题考查了等边三角形性质的综合应用以及相似三角形的判定及性质的应用，解答本题的关键是注意转化思想的运用．
例6如图5-7，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：
四边形AEDF为菱形；
（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；
（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？
若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】
（1）如答图1所示，利用菱形的定义证明；
（2）如答图2所示，首先求出△PEF的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解；
（3）如答图5-8所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解．
【解】
（1）证明：
当t=2时，DH=AH=2，则H为AD的中点，如图5-8答图1所示．
又∵EF⊥AD，
∴EF为AD的垂直平分线，
∴AE=DE，AF=DF．
∵AB=AC，AD⊥AB于点D，∴∠B=∠C．∴EF∥BC.∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C.
∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF.∴AE=AF=DE=DF，即四边形AEDF为菱形．
（2）解：
如图5-8答图2所示，由
（1）知EF∥BC，∴△AEF∽△ABC.
∴
，解得：
EF=10−
t．
.
∴当t=2秒时，S△PEF存在最大值，最大值为10，此时BP=3t=6．
（3）解：
存在．理由如下：
①若点E为直角顶点，如图5-9答图3①所示，
此时PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t．
∵PE∥AD，∴
，即
，此比例式不成立，故此种情形不存在；
②若点F为直角顶点，如答图3②所示，
此时PE∥AD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=10﹣3t．
∵PF∥AD，∴
，即
，解得t=
；
③若点P为直角顶点，如答图3③所示．
过点E作EM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，
则EM=FN=DH=2t，EM∥FN∥AD．
∵EM∥AD，∴
，即
，解得BM=
t，
∴PM=BP﹣BM=3t−
t=
t．
在Rt△EMP中，由勾股定理得：
PE2=EM2+PM2=（2t）2+（
t）2=
t2．
∵FN∥AD，∴
，即
，解得CN=
t，
∴PN=BC−BP−CN=10−3t−
t=10−
t．
在Rt△FNP中，由勾股定理得：
PF2=FN2+PN2=（2t）2+（10−
t）2=
t2−85t+100．
在Rt△PEF中，由勾股定理得：
EF2=PE2+PF2，
即：
（10﹣
t）2=（
t2）+（
t2﹣85t+100）
化简得：
t2﹣35t=0，解得：
t=
或t=0（舍去）.∴t=
．
综上所述，当t=
秒或t=
秒时，△PEF为直角三角形．
【说明】
本题是运动型综合题，涉及动点与动线两种运动类型．第
（1）问考查了菱形的定义；第
（2）问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值；第（3）问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点，重点考查了分类讨论的数学思想．
【复习建议】
1.三角形的全等、相似是平面几何中的重要的内容，在中考中不论是基础题还是压轴题往往都要涉及到全等或相似的有关知识.事实上，许多中考题在教材中都能找到它的“源头”，有鉴于此，在进行复习时，应以教材为“纲”，紧扣教材.重视双基训练.要掌握典型的例题、习题，能对典型试题进行拆分和组合，引导学生学会从多角度、多侧面来分析解决典型试题，从中抽离出基本图形和基本规律方法；要结合三角形全等和相似的特点进行专项有针对性的训练，加大知识的横向与纵向联系，提高答题速度和质量，提高应变能力.要指导学生掌握解题方法，对例题、习题能举一反三，达到触类旁通；
2.复习时要注意总结和归纳例题、习题中所体现的数学思想和方法，重视解题方法和解题策略的教学.涉及三角形全等、相似的问题中常用到的数学思想方法有：
化归思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等，这些思想方法在中考试题中都有体现.要注重培养学生用数学思想方法解决问题的意识，引导学生审题时要透过现象看本质，注意隐含条件的挖掘，学会将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，从而解决问题；
3.复习中要重视数学逻辑推理能力的训练和书写规范的训练，要及时纠正学生在解题时，出现的答题不规范，抓不住得分要点，思维不严谨等问题.避免学生出现题题会做，题题被扣分的现象.
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