版高考文科数学人教A版一轮复习教师用书第八章 第1讲 空间几何体的结构三视图和直观图.docx
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版高考文科数学人教A版一轮复习教师用书第八章第1讲空间几何体的结构三视图和直观图
第1讲 空间几何体的结构、三视图和直观图
一、知识梳理
1．空间几何体的结构特征
2．直观图
（1）画法：
常用斜二测画法．
（2）规则：
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°（或135°），z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
3．三视图
（1）几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．
（2）三视图的画法
①基本要求：
长对正，高平齐，宽相等．
②画法规则：
正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看到的线画实线，看不到的线画虚线．
[注意]
（1）画三视图时，能看见的线用实线表示，不能看见的线用虚线表示．
（2）同一物体，若放置的位置不同，则所得的三视图可能不同．
上述四棱柱有以下集合关系：
{正方体}{正四棱柱}{长方体}{直平行六面体}{平行六面体}{四棱柱}．
2．斜二测画法中的“三变”与“三不变”
“三变”
“三不变”
Ｋ
二、习题改编
1．（必修2P10B组T1改编）如图，长方体ABCDA′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′.剩下的几何体是（ ）
A．棱台B．四棱柱
C．五棱柱D．六棱柱
解析：
选C.由几何体的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱．
2．（必修2P8A组T1
（1）改编）在如图所示的几何体中，是棱柱的为．（填写所有正确的序号）
答案：
③⑤
一、思考辨析
判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．（ ）
（2）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．（ ）
（3）夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台．（ ）
（4）正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．（ ）
（5）用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．（ ）
（6）菱形的直观图仍是菱形．（ ）
答案：
（1）×
（2）× （3）× （4）× （5）× （6）×
二、易错纠偏
（1）对空间几何体的结构特征认识不到位；
（2）不能由三视图确定原几何体的结构特征；
（3）斜二测画法的规则不清致误．
1．下列结论中错误的是（ ）
A．由五个面围成的多面体只能是三棱柱
B．正棱台的对角面一定是等腰梯形
C．圆柱侧面上的直线段都是圆柱的母线
D．各个面都是正方形的四棱柱一定是正方体
解析：
选A.由五个面围成的多面体可以是四棱锥，所以A选项错误．B，C，D说法均正确．
2．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（ ）
解析：
选B.根据选项A，B，C，D中的直观图，画出其三视图，只有B项正确．
3.在直观图（如图所示）中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm，则在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO为，面积为cm2.
解析：
由斜二测画法的特点，知该平面图形的直观图的原图，即在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO是一个长为4cm，宽为2cm的矩形，所以四边形ABCO的面积为8cm2.
答案：
矩形 8
空间几何体的结构特征（师生共研）
（1）下列结论正确的是（ ）
A．侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
B．六条棱长均相等的四面体是正四面体
C．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台
（2）以下命题：
①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面．
其中正确命题的个数为（ ）
A．0B．1
C．2D．3
【解析】
（1）底面是等边三角形，且各侧面三角形全等，这样的三棱锥才是正三棱锥，A错；斜四棱柱也有可能两个侧面是矩形，所以C错；截面平行于底面时，底面与截面之间的部分才叫圆台，D错．
（2）命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题②错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题③对．
【答案】
（1）B
（2）B
空间几何体概念辨析问题的常用方法
1．把一个半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ）
A．10B．10
C．10
D．5
解析：
选B.设圆锥的底面半径为r，高为h，因为半圆的弧长等于圆锥的底面周长，半圆的半径等于圆锥的母线，所以2πr＝20π，所以r＝10，所以h＝
＝10
.
2．若四面体的三对相对棱分别相等，则称之为等腰四面体，若四面体的一个顶点出发的三条棱两两垂直，则称之为直角四面体，以长方体ABCDA1B1C1D1的顶点为四面体的顶点，可以得到等腰四面体、直角四面体的个数分别为（ ）
A．2，8B．4，12
C．2，12D．12，8
解析：
选A.因为矩形的对角线相等，所以长方体的六个面的对角线构成2个等腰四面体．因为长方体的每个顶点出发的三条棱都是两两垂直的，所以长方体中有8个直角四面体．
空间几何体的三视图（多维探究）
角度一 由空间几何体的直观图识别三视图
（2018·高考全国卷Ⅲ）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）
【解析】 由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A.
【答案】 A
已知几何体，识别三视图的步骤
（1）弄清几何体的结构特征及具体形状、明确几何体的摆放位置；
（2）根据三视图的有关定义和规则先确定正视图，再确定俯视图，最后确定侧视图；
（3）被遮住的轮廓线应为虚线，若相邻两个物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，对于简单的组合体，要注意它们的组合方式，特别是它们的交线位置．
角度二 由空间几何体的三视图还原直观图
（2018·高考全国卷Ⅰ）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（ ）
A．2
B．2
C．3D．2
【解析】 由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN，则MS＝2，SN＝4，则从M到N的路径中，最短路径的长度为
＝
＝2
.故选B.
【答案】 B
由三视图确定几何体的步骤
1．（2020·福州市第一学期抽测）如图，为一圆柱切削后的几何体及其正视图，则相应的侧视图可以是（ ）
解析：
选B.由题意，根据切削后的几何体及其正视图，可得相应的侧视图的切口为椭圆，故选B.
2．（2020·唐山市五校联考）如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为（ ）
解析：
选A.由正视图和俯视图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知侧视图应为A，故选A.
空间几何体的直观图（师生共研）
（1）已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为（ ）
A.
a2B.
a2
C.
a2D．
a2
（2）如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，则原图形是（ ）
A．正方形B．矩形
C．菱形D．一般的平行四边形
【解析】
（1）如图①②所示的实际图形和直观图，
由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝
OC＝
a，在图②中作C′D′⊥A′B′于点D′，则C′D′＝
O′C′＝
a，
所以S△A′B′C′＝
A′B′·C′D′＝
×a×
a＝
a2.故选D.
（2）如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×2
＝4
（cm），CD＝C′D′＝2cm.
所以OC＝
＝
＝6（cm），
所以OA＝OC，
故四边形OABC是菱形，故选C.
【答案】
（1）D
（2）C
平面图形与其直观图的关系
（1）在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．
（2）按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：
S直观图＝
S原图形．
如图，正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是cm.
解析：
由题意知正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以OB＝
cm，对应原图形平行四边形的高为2
cm，所以原图形中，OA＝BC＝1cm，AB＝OC＝
＝3cm，故原图形的周长为2×（1＋3）＝8cm.
答案：
8
[基础题组练]
1．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（ ）
A．圆柱B．圆锥
C．四面体D．三棱柱
解析：
选A.由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱（放倒看）都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形．
2．下列说法正确的有（ ）
①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
②经过球面上不同的两点只能作一个大圆；
③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；
④圆锥的轴截面是等腰三角形．
A．1个B．2个
C．3个D．4个
解析：
选A.①中若两个底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保证侧棱会交于一点，所以①不正确；②中若球面上不同的两点恰为球的某条直径的两个端点，则过此两点的大圆有无数个，所以②不正确；③中底面不一定是正方形，所以③不正确；很明显④是正确的．
3．某几何体的正视图和侧视图均为如图所示的图形，则在下图的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是（ ）
A．①③B．①④
C．②④D．①②③④
解析：
选A.由正视图和侧视图知，该几何体为球与正四棱柱或球与圆柱体的组合体，故①③正确．
4．如图所示，在三棱台A′B′C′ABC中，沿A′BC截去三棱锥A′ABC，则剩余的部分是（ ）
A．三棱锥
B．四棱锥
C．三棱柱
D．组合体
解析：
选B.如图所示，
在三棱台A′B′C′ABC中，沿A′BC截去三棱锥A′ABC，剩余部分是四棱锥A′BCC′B′.
5．有一个长为5cm，宽为4cm的矩形，则其直观图的面积为．
解析：
由于该矩形的面积S＝5×4＝20（cm2），所以其直观图的面积S′＝
S＝5
（cm2）．
答案：
5
cm2
6．一个圆台上、下底面的半径分别为3cm和8cm，若两底面圆心的连线长为12cm，则这个圆台的母线长为cm.
解析：
如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C.
在Rt△ABC中，AC＝12cm，BC＝8－3＝5（cm）．
所以AB＝
＝13（cm）．
答案：
13
7．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为
，其正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则正视图的周长为．
解析：
由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF，其中E，F分别是AD，BC的中点，连接AO，易得AO＝
，又PA＝
，于是解得PO＝1，所以PE＝
，故其正视图的周长为2＋2
.
答案：
2＋2
8．如图1，在四棱锥PABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，图2为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6cm的全等的等腰直角三角形．
（1）根据所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；
（2）求PA的长．
解：
（1）该四棱锥的俯视图为（内含对角线）边长为6cm的正方形，如图，其面积为36cm2.
（2）由侧视图可求得PD＝
＝
＝6
（cm）．
由正视图可知AD＝6cm，且AD⊥PD，
所以在Rt△APD中，
PA＝
＝
＝6
（cm）．
[综合题组练]
1．（2020·陕西西安陕师大附中等八校3月联考）已知正三棱柱ABCA1B1C1的三视图如图所示，一只蚂蚁从顶点A出发沿该正三棱柱的表面绕行两周到达顶点A1，则该蚂蚁走过的最短路径长为（ ）
A.
B．25
C．2
D．31
解析：
选B.将正三棱柱ABCA1B1C1沿侧棱AA1展开两次，如图所示：
在展开图中，AA1的最短距离是大矩形对角线的长度，也即为三棱柱的侧面上绕两圈所走路程的最小值．
由已知求得正三棱锥底面三角形的边长为
＝4.
所以矩形的长等于4×6＝24，宽等于7.
由勾股定理求得d＝
＝25.故选B.
2．（2020·吉林第三次调研测试）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为2，则正视图的面积为（ ）
A．2B．1
C.
D．2
解析：
选A.由题中三视图可知该几何体为四棱锥PABCD，其中底面四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，AB＝2，BC＝1，AD＝2，PA⊥底面ABCD.
所以
×
×2x＝2，解得x＝2.所以正视图的面积S＝
×2×2＝2.故选A.
3．（一题多解）（2020·河南非凡联盟4月联考）某组合体的正视图和侧视图如图
（1）所示，它的俯视图的直观图是图
（2）中粗线所表示的平面图形，其中四边形O′A′B′C′为平行四边形，D′为C′B′的中点，则图
（2）中平行四边形O′A′B′C′的面积为．
解析：
法一：
由题图易知，该几何体为一个四棱锥（高为2
，底面是长为4，宽为3的矩形）与一个半圆柱（底面圆半径为2，高为3）的组合体，所以其俯视图的外侧边沿线组成一个长为4，宽为3的矩形，其面积为12，由斜二测知识可知四边形O′A′B′C′的面积为4×
sin45°＝3
.
法二：
由斜二测画法可先还原出俯视图的外轮廓是长为4，宽为3的矩形，其面积为4×3＝12，结合直观图面积是原图形面积的
，即可得结果．
答案：
3
4．如图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是．
解析：
作出直观图如图所示，通过计算可知AF、DC最长，且DC＝AF＝
＝3
.
答案：
3
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