机械工程控制基础课件-第五章.ppt

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机械工程控制基础机械工程控制基础学时：

学时：

4040教师：

谭心、钟金豹、张文兴、邢静宜教师：

谭心、钟金豹、张文兴、邢静宜学院：

机械工程学院学院：

机械工程学院CyberneticsFoundationforMechanicalEngineeringCyberneticsFoundationforMechanicalEngineering第五章第五章系系统的的稳定性定性2/88设计控制系统时应满足多种性能指标，但最重要的技术要求是系统必须稳定。

因为稳定性是系统能正常工作的首要条件，只有工作稳定才能进一步讨论其他性能指标。

分析系统的稳定性是控制理论的最重要组成部分之一。

控制理论对于判断一个线性定常系统是否稳定提供了多种方法。

本章着重介绍几种常用的稳定判据，以及提高系统稳定性的方法。

一、介绍系统稳定性的基本概念，判断系统稳定性的基本出发点二、系统稳定的充分必要条件3/88本章内容本章内容三、代数判据（Routh、Hurwitz判据）四、Nyquist判据的基本原理和方法，Bode判据五、相对稳定性的概念六、掌握相位裕量和幅值裕量的概念及计算方法明确重点掌握若一个系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，而当扰动取消后，经过充分长的时间，这个系统又能够以一定的精度逐渐恢复到原来的状态，则称系统是稳定的，否则不稳定。

4/885-1.系系统稳定性的初步概念定性的初步概念小球处在a点时，是稳定平衡点，因为作用于小球上的有限干扰力消失后，小球总能回到a点，而小球处于b、c点时为不平衡点，因为只要有干扰力作用于小球时，小球便不再回到b或c。

5/88控制系统在实际运行过程中，总会受到外部和内部的扰动，如火炮射击时，施加给随动系统的冲击负载；雷达天线跟踪时，突然遇到阵风。

如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动作用下偏离原来的平衡状态，并随时间的推移而发散。

因此，如何分析系统的稳定性，并提出保证系统稳定的措施，是自动控制的基本任务。

6/887/88上述2个实例说明系统的稳定反映在干扰消失后的过渡过程的性质上，因此，控制系统的稳定性可以这样定义：

若控制系统在任何足够小的初始偏差的作用下，其过渡过程随时间的推移，逐渐衰减至零，具有恢复原平衡状态的性能，则称该系统稳定。

系统自由振荡输出三种情况一、定一、定义即：

若线性系统受到扰动的作用而使输出量xo（t）发生偏差，产生xo（t）。

扰动消失后，经过足够长的时间，该偏差的绝对值小于给定的正值。

8/88则系统稳定，否则不稳定。

渐近稳定：

（一般所讲的线性系统的稳定性，就是渐近稳定性）如果系统在任意初始条件下都保持渐近稳定，则称为大范围内渐近稳定。

注意事项：

1.线性系统不稳定现象发生与否，取决于系统内部条件，而与输入无关。

线性系统的稳定性只取决于系统本身的结构参数，而与输入无关。

（非线性系统的稳定性与输入有关）2.系统发生不稳定现象必有适当的反馈作用。

9/883.控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定性，即：

讨论输入为0，系统仅存在有初始状态不为0时的稳定性，即讨论系统自由振荡是收敛的还是发散的。

至于机械工程系统，往往用激励或加外力的方发施以强迫振动或运动，因而造成系统共振（或谐振）或偏离平衡位置越来越远，这不是控制理论所要讨论的稳定性。

10/88讨论系统初始状态为0时，系统脉冲响应是收敛的还是发散的。

一般反馈系统的传函为：

11/88二、二、稳定条件定条件设分母=0，可得出系统的特征方程：

（一）稳定条件：

系统的稳定性决定于特征方程。

只要能指出特征方程的根落在S复平面的左半部分，系统即是稳定的。

（二）线性稳定的条件：

设线性系统在初始条件为0时，输入一个理想单位脉冲函数，这时系统的输出是单位脉冲响应。

这相当于系统在扰动信号作用下，输出信号偏离元平衡点的情形。

若线性系统的单位脉冲响应函数随时间的推移趋于0，即：

，则系统稳定；若，则系统不稳定。

12/88系统的特征方程：

若或等幅振荡临界稳定状态。

但由于参数变化等原因，等幅振荡不能维持不稳定。

13/88工程意义上的不稳定L可知，要满足，只有当特征根全部为负实部系统稳定的充要条件：

稳定系统的特征方程根必须全部具有负实部，反之，若特征根中有一个以上具有正实部时，则系统必不稳定。

14/88或系统传函的极点全部位于S复平面的左半部。

若有部分闭环极点位于虚轴上，而其余极点全在S平面左半部时，便会出现前边所述的临界稳定性状态，系统处于等幅振荡状态，从设计角度不可取（很容易转化为不稳定系统）。

可知：

稳定系统在幅值有界输入信号作用下，其输出必定为幅值有界，而对于不稳定系统来说，不能断言其输出幅值为有界。

1.直接计算或间接得知系统特征方程式的根（直接求解）虽直观，但对高阶系统是困难的2.确定根具有负实部的系统参数的区域（劳斯判据）不必解出根来，而能决定系统稳定性的准则就具有工程实际意义。

三、判三、判别稳定性的方法定性的方法15/88线性定常系统稳定全部特征根均具有负实部。

只有求出全部极点判稳但阶次往往较高（实际工程中），不使用计算机直接求根较困难（n4），这样就提出了各种不解特征方程的根，只讨论特征根的分布，从而判断系统稳定性的方法。

1884，Routh提出的Routh判据；1895，Hurwitz提出Hurwitz判据5-2.Routh（劳斯）斯）稳定性判据定性判据16/881、必要条件：

设系统的特征方程为：

17/88一、一、劳斯判据斯判据基于方程式的根与系数的关系而建立的18/88由上式可知，要使全部特征根均具有负实部，必须满足如下2个条件：

（1）特征方程的各项系数ai（i=0,n）不等于0；

（2）特征方程的各项系数ai（i=0,n）符号都相同，一般ai02.充要条件：

Routh阵列中第一列所有项均为正，且值不为019/88Routh阵列表列表20/88系数Ai、Bi的计算，一直进行到其余Ai、Bi等于0为止。

21/88系统稳定的充要条件：

Routh阵列中第一列所有项均为正。

且：

Routh阵列中第一列的系数符号改变的次数等于实部为正的特征根数。

例1.设控制系统的特征方程式为：

试判断系统的稳定性。

解：

ai0满足必要条件22/88Routh阵列：

由第一列看出：

全为正值，故稳定。

1210nn-1161758551540/323/88.符号改变一次例2.由第一列看出，改变符号2次，说明闭环系统有2个正实部的根，即在S右半面有2个闭环极点，故不稳定。

解：

.符号改变一次对于特征方程阶次低（n3）的系统，Routh判据可化为不等式组的简单形式。

24/88二阶系统：

所以，二阶系统稳定的充要条件：

ai025/88三阶系统：

所以，三阶系统稳定的充要条件：

ai0且例3.设某反馈控制系统如图所示，试计算使系统稳定的K值范围。

解：

系统闭环传函：

26/88特征方程为：

3.Routh判据的特殊情况

（1）若在Routh阵列表中任意一行的第1个元素为0，而后各元素不为0，则在计算下一个元素时趋于无穷，将无法进行下去。

此时可用趋于0代替，再计算。

27/88例4：

因为第1例各元素符号不完全一致，系统不稳定，第一列各元素改变次数为2，所以有2个具有正实部的根。

28/88例5：

第一列中除外均为正，所以没有正实部的根，行为零，说明有虚根存在。

实际上：

，临界稳定。

（2）若在Routh阵列表中，某行的各元素全部为0，可利用该行的上一行的元素构成一个辅助多项式，并利用这个多项式方程的导数的系数组成表中的下一行，然后继续往下做。

29/88例6：

30/88辅助多项式：

对A（s）进行求导：

从表中可知：

第1例系数无变号，说明系统无右根。

但因为s3辅行的各项系数全为0，说明虚轴上有共轭虚根。

31/88辅助方程：

系统处于临界稳定。

设系统特征方程为：

二、二、Hurwitz判据判据32/88各系数排成如下的nxn阶行列式：

系统稳定的充要条件：

主行列式n条及其对角线上各子行列式12（n-1）均具有正值。

33/88二、二、Hurwitz判据判据即：

由于这个行列式直接由系数排列而成，规律简单而明确，使用也较方便。

但对六阶以上的系统，由于行列式计算麻烦，较少用。

例7：

34/88所以该系统稳定。

35/88Routh判据和Hurwitz判据都是用特征根与系数的关系来判断稳定性的，他们之间有一致性。

又称RouthHurwitz判据（代数判据）。

但：

其对于带延迟环节等系统形成的超越方程无能为力局限性而Nyquist判据能判别带延迟环节系统的稳定性应用更广5.3Nyquist稳定性判据定性判据1932年H.Nyquist提出稳定判据，1940年后得到广泛应用。

利用开环系统的Nyquist图判断闭环系统的稳定性几何判据无需求闭环系统的特征根，而通过分析法或频率特性实验法得开环频率特性曲线分析闭环系统的稳定性。

这种方法在工程上获得了广泛的应用，因为：

（一）当系统某些环节的传递函数无法用分析法描述时，可通过实验来获得这些环节的频率特性曲线；整个系统的开环频率特性曲线也可利用实验获得，这样，就可分析系统闭环后的稳定性。

37/88

（二）Nyquist判据可解决代数判据不能解决的诸如包含延时环节的系统稳定性问题。

（三）Nyquist判据还能定量指出系统的稳定储备，即：

系统相对稳定性定量指标，以及进一步提高和改善系统动态性能（包括稳定性）的途径。

39/88闭环控制系统的一般形式：

其开环传函为：

的零点=的极点的极点=的极点由上式可知：

设：

是的复变函数.Nyquist判据需用到复变函数中的幅角原理，首先进行介绍

（1）若复变函数在及的邻域内处处可导，则称在处解析；若在处不解析，则称为的奇点；

（2）是S多项式的分式，若在复平面S上除了有限个奇点外，为单值连续函数，那么在复平面S上的解析点映射到复平面上的点为此解析点的像；一一.幅角原理（幅角原理（Cauchy定理）定理）（3）当一动点S在S上沿一封闭曲线按顺时针转一周，只要曲线不经过的奇点和零点，则在像平面上的像绕原点按顺时针转N周。

若Z和P分别为包含在内的的零点和极点的个数。

则：

N=Z-P幅角原理简要说明：

根据复数性质：

两个复数积的幅角=它们幅角的和假设封闭曲线内只含一个零点动点S按顺时针方向沿封闭曲线转一周，S点在其像平面上的像轨迹的情况可通过幅角变化来判断。

复数和在S平面上的向量分别由和指向S若动点S按顺时针沿转一周，只有向量的幅角变化是，即其余均是0.说明向量端点的轨迹按顺时针方向绕F平面原点转一周。

同理：

若在S平面上的封闭曲线内含有的一个极点，当动点S按顺时针沿转一周，则向量端点的轨迹按逆时针方向绕F平面原点转一周。

所以若在S平面上的封闭曲线内含有的P个极点和Z个零点，当动点S按顺时针沿转一周，向量端点的轨迹按顺时针方向绕F平面原点转的周数为N=Z-P.44/88二二.Nyquist稳定判据定判据1.在平面上的Nyquist稳定判据现在把动点S在S平面上的轨迹扩大到整个S平面的右半边：

让动点S沿S虚轴由，再以为半径顺时针转半个圈回到，这样画出的包含了整个S的右半平面，称此封闭路径为Nyquist路径。

若一个系统是稳定的，则其在整个S平面的右半边无极点，即F（S）在S右边无零点Z=0.此时，若F（S）在S的右边有P个极点（即：

在S右边有P个极点）则：

若动点S沿路径一圈，则其像轨迹必将在平面内逆时针绕原点P圈。

Nyquist稳定判据：

若系统在S平面的右半边有P个极点，当动点S沿Nyqwist路径顺时针转一圈时，其像轨迹在平面内逆时针绕原点转P圈，则系统稳定。

2.在平面上的Nyquist稳定性判据。

将,平面是将平面的虚轴向右移1个单位.48/88GH平面上的点就是平面上的原点.所以在平面上绕转N圈=在平面上包围原点转N圈。

分母的阶数n不小于分子的阶数以为半径在S平面右半边画半圆弧时，在GH平面上的像只是一个点，一个点对包围点来说不产生影响，所以动点S沿Nyqwist路径顺时针