第12讲 动态几何.docx

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第12讲动态几何

第十二讲：

动态几何综合（讲义）

一、知识点睛

动态几何问题，是在动态背景下，探究图形性质和图形间关系的问题．动态背景主要涉及图形运动（点、线、形）及图形变换（平移、旋转、对称），常考查面积、存在性问题等．

解决此类问题，通常需要分析运动过程、分段画图，进而将整个运动过程拆分为几段逐一解决．

二、精讲精练

1.

如图，四边形OABC为矩形，A（6，0），C（0，

），D（0，

），射线l过点D且与x轴平行，点P，Q分别是l和x轴正半轴上的动点，且满足∠PQO=60°．

（1）①点B的坐标是____________；②∠CAO=_______度；③当点Q与点A重合时，点P的坐标为_______________．

（2）设OA的中点为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使△AMN为等腰三角形？

若存在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

（3）设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC重叠部分的面积为S，试求S与x之间的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．

2.

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，连接DE，DF．动点P，Q分别从点A，B同时出发，运动速度均为1cm/s，点P沿A→F→D的方向运动到点D停止；点Q沿BC方向运动，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．在运动过程中，过点Q作BC的垂线交AB于点M，以P，M，Q为顶点作

□PMQN．设□PMQN与矩形FDEC重叠部分的面积为

y（cm2）（这里规定线段是面积为0的几何图形），点P的运动时间为x（s）．

（1）当点P运动到点F时，CQ=_______cm．

（2）在点P从点F运动到点D的过程中，某一时刻，点P恰好落在MQ上，求此时BQ的长度．

（3）当点P在线段FD上运动时，求y与x之间的函数关

系式．

3.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=

，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3．一动点E从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达点A后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从点P出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E，F同时出发，当两点相遇时停止运动．在点E，F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧，设运动的时间为t秒（t≥0）．

（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值．

（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请求出S与t之间的函数关系式及相应的自变量t的取值范围．

（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？

若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．

4.

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P在AB边上，且AP=2．点E，F同时从点P出发，分别沿PA，PB以每秒1个单位长度的速度向点A，B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点P运动，当点E运动到点P时，点E，F同时停止运动．在点E，F运动的过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E，F运动的时间为t秒（t>0），正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式．

【参考答案】

1.

（1）①

；②

；③

（2）存在，点P的横坐标为

．

（3）

2.

（1）5．

（2）

．（3）

3.

（1）t=1．

（2）

（3）存在，当t的值为2，4，0，

时，△AOH为等

腰三角形．

4.S与t之间的函数关系式为

学生做题前请先回答以下问题

问题1：

在第5题中，分析运动过程时，如何根据图形的运动找碰撞点？

问题2：

（上接第1题）在找全碰撞点之后，如何根据碰撞点对运动状态进行分段？

问题3：

两动点，一定点的等腰三角形存在性问题的处理思路是什么？

第6题在处理时是怎样思考的？

问题4：

想一想，将碰撞点及碰撞时刻标注在线段图上有什么用处？

动态几何综合

（一）

1.如图，∠C=90°，点A，B分别在∠C的两边上，AC=30，BC=20，连接AB．点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿BC方向运动，到点C停止．当点P与B，C两点不重合时，作PD丄BC交AB于点D，作DE丄AC于点E，F为射线CB上一点，且∠CEF=∠ABC．设点P运动的时间为x秒（

）．

（1）当点F落在CP上时，FP的长可以用含x的代数式表示为

（2）当点F在线段BC上时，设四边形DECP与四边形DEFB重叠部分的面积为y（平方单位），则y与x之间的函数关系式

2.如图，过A（8，0），

两点的直线与直线

交于点C，平行于y轴的直线l从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，到点C时停止；l分别交线段BC，OC，x轴于点D，E，P，以DE为边向左侧作等边三角形DEF，设△DEF与△BOC重叠部分的面积为S（平方单位），直线l运动的时间为t（秒）．

（1）点C的坐标为

（2）S与t之间的函数关系式为

（3）在直线l运动的过程中，是否存在点P，使得△POF为等腰三角形？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请简单说明理由．

学生做题前请先回答以下问题

问题1：

动态几何问题的处理框架是什么？

问题2：

对于动态几何综合问题如何分析运动过程？

问题3：

在分析几何特征，表达时，常见表达线段长的方式有哪些？

问题4：

存在性问题处理套路是什么？

问题5：

等腰三角形存在性（两定一动）问题的处理思路是什么？

问题6：

对于第3题，要求以C，O，M为顶点的三角形是等腰三角形时t的值，分析这个问题的切入点是什么？

动态几何综合

（二）

1.如图1，在Rt△ABC中，BC=6，AC=10，∠ABC=90°，O是BC的中点，P是CB延长线上一点，且BP=3．动点E从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC匀速运动，到达点C后，立即以

原速度沿CO返回；动点F从点P同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PC匀速运动，当两点相遇时同时停止．在点E，F运动的过程中，以EF为直角边，E为直角顶点作等腰直角三角形EFG，且△EFG和△ABC在射线CP的同侧．设运动的时间为t秒（t≧0）．

（1）如图2，当t=0时，等腰直角三角形EFG的直角边EG交AC于点M，则线段GM的长为

（2）在整个运动过程中，设等腰直角三角形EFG和△ABC重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式以及相应的自变量t的取值范围．

（3）在整个运动过程中，设等腰直角三角形EFG的直角边EG与AC的交点为M，当以C，O，M为顶点的三角形是等腰三角形时，t的值为（）

学生做题前请先回答以下问题

问题1：

在分析几何特征，表达时，常见表达线段长的方式有哪些？

问题2：

存在性问题处理套路是什么？

问题3：

等腰三角形存在性（两定一动）问题的处理思路是什么？

问题4：

对于第3题，利用两圆一线确定点M的位置后，需要注意什么？

动态几何综合（三）

1.如图1，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点B的坐标为（8，3），定点D的坐标为（12，0）．动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，P，Q两点同时出发，相遇时同时停止．在运动过程中，以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR．设运动的时间为t秒．

（1）当△PQR的边QR经过点B时，t的值

（2）设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S，则S与t之间的函数关系式

（3）如图2，设OA的中点为N，连接AC交PR于点M，则当△AMN为等腰三角形时，t的值

学生做题前请先回答以下问题

问题1：

对于动态几何综合问题如何分析运动过程？

问题2：

在试题2中，分析运动状态时，需要考虑哪些状态转折点？

对应的时刻是什么？

问题3：

想一想，将状态转折点及对应时刻标注在线段图上有什么用处？

问题4：

以试题2中的第二段为例，说说你是怎么画出符合题意的图形的．

问题5：

判断第3题属于什么类型的问题，其处理思路是什么？

问题6：

对于几何最值问题，在找不变特征时要向定点，定线段或定图形靠拢，分析时常用的理论依据有哪些？

动态几何综合（四）

1.如图，在平面直角坐标系中，直线

与x轴、y轴分别交于点A，B，C为OB的中点，四边形AOCD为矩形．

（1）设直线AB与CD的交点为N，则点N的坐标

（2）动点P从点C出发，沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；动点M从点A同时出发，沿线段AB以每秒

个单位长度的速度向终点B运动．过点P作

于点H，连接MP，MH．设点P运动的时间为t秒，则当△MPH与矩形AOCD重叠部分的面积为1时，t的值

（3）在

（2）的条件下，若点Q是点B关于点A的对称点，

则当BP+PH+HQ的值最小时，点P的坐标

学生做题前请先回答以下问题

问题1：

对于动态几何综合问题如何分析运动过程？

问题2：

对于本套试卷，分析运动过程中，需要特别注意哪一个要素？

问题3：

对于试题3，分析运动状态时，都需要考虑哪些状态转折点？

对应时刻是什么？

你是怎么操作的？

问题4：

想一想，将状态转折点及对应时刻标注在线段图上有什么用处？

动态几何综合（五）

1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D，E分别为边AB，BC的中点，连接DE．点P从点A出发，沿折线AD—DE—EB运动，到点B停止．点P在AD上以

cm/s的速度运动，在折线DE—EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上，且在点Q的左侧．设点P运动的时间为t（s）．

（1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为_______cm（用含t的代数式表示）

（2）当点N落在AB边上时，t的值

（3）.设正方形PQMN与△ABC重叠部分的面积为S，要求S与t之间的函数关系式，

（4）当正方形PQMN与△ABC重叠的部分为五边形时，设五边形的面积为S（cm²），则S与t之间的函数关系式为（）