数学分析(华东师大版)上第二章2-2.ppt

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返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一、惟一性2收敛数列的性质本节首先考察收敛数列这个新概念有哪七、一些例子六、极限的四则运算五、迫敛性（夹逼原理）四、保不等式性三、保号性二、有界性些优良性质？

然后学习怎样运用这些性质.返回返回返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一、惟一性定理定理2.2若若收敛收敛,则它只有一个极限则它只有一个极限.证证设设下下面面证证明明对对于于任任何何定数定数若若a，b都是都是an的极限，则对于任何正数的极限，则对于任何正数0,返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页当当nN时时

（1）,

（2）同时成同时成立立,从而有从而有返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二、有界性即存在即存在证证对于正数对于正数若令若令则对一切则对一切正整数正整数n,都有都有定理定理2.3若数列若数列返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页件件.注注数列数列是有界的是有界的,但却不收敛但却不收敛.这就说这就说明有界只是数列收敛的必要条件，而不是充分条明有界只是数列收敛的必要条件，而不是充分条返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页三、保号性定理定理2.4对对于于任任意意两两个个实实数数b,c,证证注注我们可取我们可取这也是为什么称该定理为保号性定理的原因这也是为什么称该定理为保号性定理的原因.,则存在则存在N,当当nN时时,返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例1证明证明证证对任意正数对任意正数,所以由所以由这就证明了这就证明了定理定理2.4,返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页四、保不等式性定理定理2.5均为收敛数列均为收敛数列,如果存在正如果存在正证证所以所以返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页是严格不等式是严格不等式.注注若将定理若将定理2.5中的条件中的条件改为改为这就是说这就是说,即使条件是严格不等式即使条件是严格不等式,结论却不一定结论却不一定也只能得到也只能得到例如例如,虽然虽然返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页五、迫敛性（夹逼原理）定理定理2.6设数列设数列都以都以a为极限为极限,证证对任意正数对任意正数所以分所以分这就证得这就证得满足满足:

存在存在则则返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例2求数列求数列的极限的极限.所以由迫敛性，求得所以由迫敛性，求得又因又因解解有有返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页六、四则运算法则定理定理2.7则则

（1）

（2）当当为常数为常数c时时,（3）也都是收敛数列也都是收敛数列,且有且有返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页所以所以的任意性的任意性,得到得到证明证明

（2）对于任意对于任意证明证明

（1）返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页的任意性的任意性,证得证得证明证明（3）由由

（2）,只只要要证证明明据保号性据保号性,于是于是返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页又因为又因为即即返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页七、一些例子例例3用四则运算法则计算用四则运算法则计算

（1）当当m=k时时,有有分别得出分别得出:

解解返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页

（2）当当mN时时,有有又因为又因为所以由极限的迫所以由极限的迫敛性敛性,证得证得返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例6解解所以由极限四则所以由极限四则运算法则运算法则,得得故得故得返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例7为为m个正数个正数,证明证明证证由由以及极限的迫敛性以及极限的迫敛性,可得可得返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定义定义11注注返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理2.8证证注注返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例8证证（必要性必要性）返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例9解解因此因此,返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页1.1.极限的保号性与保不等式性有什么不同？

极限的保号性与保不等式性有什么不同？

2.2.仿效例题仿效例题55的证法的证法,证明：

证明：

复习思考题