八年级下册数学《 一元一次不等式与一次函数》省优质课一等奖教案.docx

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八年级下册数学《一元一次不等式与一次函数》省优质课一等奖教案

一元一次不等式与一次函数

1.通过作函数的图象、观察函数的图象进一步理解函数的概念.

2.在具体问题中体会一次函数的变化规律与一元一次不等式解集的联系.

3.进一步培养学生作函数图象及利用图象分析问题、解决问题的能力.

学生利用函数图象,通过小组合作交流,明确一次函数与一元一次不等式的关系.自主探究后明白利用函数图象解不等式的具体方法.

使学生在独立思考的基础上积极地参与对数学问题的讨论,从交流中获益,培养学生的合作意识,进而培养学数学、用数学的意识.

【重点】　一元一次不等式与一次函数的联系.

【难点】　作函数图象,观察图象,明确函数与不等式的联系.

第

课时

1.了解一元一次不等式与一次函数的关系.

2.会根据题意列出函数关系式,画出函数图象,并利用不等关系进行比较.

1.通过一元一次不等式与一次函数的图象的结合,培养学生的数形结合意识.

2.通过观察图象培养学生利用数学知识解决实际问题的能力.

体验数、形是有效描述现实世界的重要手段,认识到数学是解决问题和进行交流的重要工具,了解到数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.

【重点】　了解一元一次不等式与一次函数之间的关系.

【难点】　根据题意列函数关系式,并能把函数关系式与一元一次不等式联系起来.

【教师准备】　多媒体课件.

【学生准备】　复习一次函数的图象和一元一次不等式的解法.

导入一:

【问题】　

（1）解一元一次不等式的步骤是什么?

（2）解下列不等式,并把解集在数轴上表示出来:

①2x-5≥3x+4;　②10-4（x-3）≤2（x-1）.

（3）什么是一次函数?

一次函数有什么性质?

怎样作一次函数的图象?

[设计意图]　通过复习已学知识,为引入这一节新课做好准备,同时让学生体会一元一次不等式与一次函数之间存在一定的联系.

导入二:

上一节我们类比一元一次方程的解法,根据不等式的基本性质,学习了一元一次不等式的解法,并利用一元一次不等式解决了一些实际问题.本节课我们来学习一元一次不等式的其他解法.

[设计意图]　由“旧”引“新”,以原有的知识为基础,利用初中生的好奇心理,激发学生探究新知的兴趣.

一、一元一次不等式与一次函数之间的关系

思路一

　　[过渡语]　我们利用一次函数的图象可求出相应的一元一次方程的解、一元一次不等式的解集.看下面的问题.

函数y=2x-5的图象如图所示,观察图象回答下列问题:

（1）x取何值时,2x-5=0?

（2）x取哪些值时,2x-5>0?

（3）x取哪些值时,2x-5<0?

（4）x取哪些值时,2x-5>1?

问题分析:

（1）当y=0时,2x-5=0,解得x=

.

所以当x=

时,2x-5=0.

（2）使2x-5>0的x的值,也就是函数值y大于0时所对应的x的值.从图象上看,当y>0时,在x轴上方的图象上的任一点所对应的x的值都满足条件.当y=0时,有2x-5=0,解得x=

当x>

时,图象位于x轴的上方,即y>0,因此当x>

时,2x-5>0.

（3）同理可知,当x<

时,2x-5<0.

（4）使2x-5>1的x的值,也就是函数值y大于1时所对应的x的值.过点（0,1）作一条直线平行于x轴,这条直线上方的图象上任一点对应的x的值都能使2x-5>1.这条直线与y=2x-5相交于一点B（3,1）,则当x>3时,2x-5>1.

[设计意图]　通过作函数图象、观察函数图象,进一步理解一次函数的有关知识,让学生从整体上感受利用一次函数图象可以帮助解决一元一次方程、一元一次不等式的问题.

思路二

　　[过渡语]　大家还记得一次函数吗?

请举一个简单的例子.

生:

如y=2x-5为一次函数.

师:

在一次函数y=2x-5中,当y=0时,有方程2x-5=0;当y>0时,有不等式2x-5>0;当y<0时,有不等式2x-5<0.由此可见,一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切联系,当函数值等于0时即为方程,当函数值大于或小于某个值时即为不等式.下面我们来探讨一下一元一次不等式与一次函数之间的关系.

函数y=2x-5的图象如图所示,观察图象回答下列问题:

（1）x取何值时,2x-5=0?

（2）x取哪些值时,2x-5>0?

（3）x取哪些值时,2x-5<0?

（4）x取哪些值时,2x-5>1?

问题分析:

（1）当y=0时,2x-5=0,解得x=

.

所以当x=

时,2x-5=0.

（2）使2x-5>0的x的值,也就是函数值y大于0时所对应的x的值.从图象上看,当y>0时,在x轴上方的图象上的任一点所对应的x的值都满足条件,当y=0时,有2x-5=0,解得x=

当x>

时,图象位于x轴的上方,即y>0.因此当x>

时,2x-5>0.

（3）同理可知,当x<

时,2x-5<0.

（4）使2x-5>1的x的值,也就是函数值y大于1时所对应的x的值.过点（0,1）作一条直线平行于x轴,这条直线上方的图象上的任一点所对应的x的值都能使2x-5>1.这条直线与y=2x-5相交于一点B（3,1）,则当x>3时,2x-5>1.

[设计意图]　通过作函数图象、观察函数图象,进一步理解一次函数的有关知识,让学生从整体上感受利用一次函数图象可以帮助解决一元一次方程、一元一次不等式的问题.

二、例题讲解

　　[过渡语]　刚刚我们探讨了一元一次不等式与一次函数的图象之间的关系,下面我们看两个例题,看同学们能不能解决.

（补充例题）如果y=-2x-5,那么当x取哪些值时,y>0?

解:

首先要画出函数y=-2x-5的图象,如图所示:

从图象上可知,图象在x轴上方时,图象上每一点所对应的y的值都大于0,而每一个y的值所对应的x的值都在A点的左侧,由-2x-5=0,得x=-2.5,所以当x<-2.5时,y>0.

（教材做一做）兄弟俩赛跑,哥哥先让弟弟跑9m,然后自己才开始跑,已知弟弟每秒跑3m,哥哥每秒跑4m,列出函数关系式,画出函数图象,观察图象回答下列问题:

（1）何时弟弟跑在哥哥前面?

（2）何时哥哥跑在弟弟前面?

（3）谁先跑过20m?

谁先跑过100m?

解:

设哥哥跑的时间为x秒,哥哥跑过的路程为y1m,弟弟跑过的路程为y2m,

根据题意,得y1=4x,y2=3x+9,

画出函数图象如图所示:

由图象可知:

（1）当0

（2）当x>9时,哥哥跑在弟弟前面.

（3）弟弟先跑过20m,哥哥先跑过100m.

[设计意图]　感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系.

本节课讨论了一元一次不等式与一次函数的关系,并且能根据一次函数的图象求解不等式.

1.一次函数y=2x-4的图象与x轴的交点坐标为（2,0）,则一元一次不等式2x-4≤0的解集为（　　）

A.x≤2B.x<2

C.x≥2D.x>2

解析:

根据一次函数的图象可以求出不等式2x-4≤0的解集为x≤2.故选A.

2.小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件,如果每支钢笔5元,每本笔记本2元,那么小明最多能买　　　　支钢笔. 

解析:

设可买x支钢笔,则笔记本可买（30-x）本,由题意得5x+2（30-x）≤100,解得x≤13

.又x取整数,所以x可取的最大值为13.故填13.

3.对于一次函数y=-3x+12,当x为何值时:

（1）y>0?

（2）y=0?

　（3）y<0?

解:

（1）令-3x+12>0,得x<4,

即当x<4时,一次函数y=-3x+12中的y>0.

（2）令-3x+12=0,得x=4,

即当x=4时,一次函数y=-3x+12中的y=0.

（3）令-3x+12<0,得x>4,

即当x>4时,一次函数y=-3x+12中的y<0.

4.一艘轮船以20km/h的速度从甲港驶往160km远的乙港,2h后,一艘快艇以40km/h的速度也从甲港驶往乙港.请你分别列出轮船和快艇行驶的路程与轮船行驶的时间之间的函数关系式,并画出函数图象,观察图象回答下列问题:

（1）何时轮船行驶在快艇的前面?

（2）何时快艇行驶在轮船的前面?

（3）哪一艘船先驶过60km?

哪一艘船先驶过100km?

解:

设轮船行驶的路程为y1km,快艇行驶的路程为y2km,轮船行驶的时间为xh,

则有y1=20x,y2=40（x-2）.画出函数图象如图所示:

由

得

即两函数图象的交点为A（4,80）.

观察图象可得:

（1）轮船行驶4h前,轮船行驶在快艇的前面.

（2）轮船行驶4h后,快艇行驶在轮船的前面.

（3）轮船先驶过60km,快艇先驶过100km.

5.（武汉中考）已知一次函数y=kx+3的图象经过点（1,4）.

（1）求这个一次函数的解析式;

（2）求关于x的不等式kx+3≤6的解集.

解:

（1）∵一次函数y=kx+3的图象经过点（1,4）,

∴4=k+3,∴k=1,

∴这个一次函数的解析式是y=x+3.

（2）由

（1）得关于x的不等式为x+3≤6,解得x≤3.

即关于x的不等式kx+3≤6的解集是x≤3.

6.已知y1=5+x,y2=-2x+2,当x取哪些值时,y1>y2?

解:

根据题意得不等式5+x>-2x+2,

解得x>-1.即当x>-1时,y1>y2.

7.声音在空气中的传播速度（简称音速）y（m/s）与气温x（℃）之间满足关系式:

y=

x+331.求音速超过349m/s时的气温满足什么条件.

解:

根据题意得不等式

x+331>349,

解得x>30.

即音速超过349m/s时的气温满足x>30.

8.某单位急需用车,但又不准备买车,他们准备和一个个体车主或一国营出租车公司签订月租车合同.设汽车每月行驶xkm,应付给个体车主的月费用为y1元,应付给国营出租车公司的月费用为y2元,y1,y2分别与x之间的函数关系图象（两条射线）如图所示,观察图象回答下列问题:

（1）每月行驶的路程在什么范围内时,租国营出租车公司的车合算?

（2）每月行驶的路程等于多少时,租两家车的费用相同?

（3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2300km,那么这个单位租哪家车合算?

解:

由图象可知:

（1）每月行驶的路程小于1500km时,租国营出租车公司的车合算.

（2）当每月行驶的路程为1500km时,租两家车的费用相同.

（3）如果每月行驶的路程为2300km,那么这个单位租个体车主的车合算.

第1课时

一、一元一次不等式与一次函数之间的关系

二、例题讲解

一、教材作业

【必做题】　

教材第50页随堂练习.

【选做题】　

教材第51页习题2.6的2,3,4题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.已知函数y=8x-11,要使y>0,则x应满足（　　）

A.x>

B.x<

C.x>0D.x<0

2.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示,当x<0时,y的取值范围是（　　）

A.y>0

B.y<0

C.-2

D.y<-2

3.已知y1=x-5,y2=2x+1.当y1>y2时,x的取值范围是（　　）

A.x>5B.x<5C.x<-6D.x>-6

4.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示,当x<1时,y的取值范围是（　　）

A.-2

C.y<-2D.y<-4

5.一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图所示,则下列结论:

①k<0;②a>0;③当x<3时,y1

A.0B.1C.2D.3

【能力提升】

6.若一次函数y=（m-1）x-m+4的图象与y轴的交点在x轴的上方,则m的取值范围是　　　　.7.当自变量x　　　　时,函数y=5x+4的值大于0;当x　　　　时,函数y=5x+4的值小于0. 

8.已知2x-y=0,且x-5>y,则x的取值范围是　　　　. 

9.已知关于x的不等式kx-2>0（k≠0）的解集是x<-3,则直线y=-kx+2与x轴的交点是　　　　. 

10.已知不等式-x+5>3x-3的解集是x<2,则直线y=-x+5与y=3x-3的交点坐标是　　　　. 

【拓展探究】

11.已知y1=x+3,y2=-x+2,求满足下列条件时x的取值范围.

（1）y1

（2）2y1-y2≤4.

12.在同一直角坐标系中画出一次函数y1=-x+1与y2=2x-2的图象,并根据图象回答下列问题:

（1）写出直线y1=-x+1与y2=2x-2的交点P的坐标;

（2）直接写出当x取哪些值时,y1>y2.

【答案与解析】

1.A（解析:

由题意得要使y>0,则有8x-11>0,解得x>

.故选A.）

2.D

3.C（解析:

由题意得x-5>2x+1,解得x<-6.故选C.）

4.C（解析:

先利用待定系数法求出一次函数的解析式,再根据一次函数与一元一次不等式的关系即可求得结果.故选C.）

5.B（解析:

∵函数y1=kx+b的图象经过第一、二、四象限,∴k<0,故①正确;∵y2=x+a的图象与y轴交于负半轴,∴a<0,故②错误;当x<3时,对于相应的x的值,y1的图象均在y2的图象上方,∴y1>y2,故③错误.故选B.）

6.m<4且m≠1（解析:

根据一次函数的图象的性质知,若一次函数y=（m-1）x-m+4的图象与y轴的交点在x轴的上方,则有-m+4>0且m-1≠0,解得m<4且m≠1.故填m<4且m≠1.）

7.>-

　<-

（解析:

解不等式5x+4>0和不等式5x+4<0即可.）

8.x<-5（解析:

由2x-y=0,得y=2x,把y=2x代入x-5>y求解即可.）

9.（-3,0）

10.（2,3）

11.解:

（1）∵y1=x+3,y2=-x+2,y1

.　

（2）∵y1=x+3,y2=-x+2,2y1-y2≤4,∴2（x+3）-（-x+2）≤4,解得x≤0.

12.解:

画出函数图象如图所示.由图可知:

（1）P（1,0）.　

（2）当x<1时,y1>y2.

本节课在教学过程中注意引导学生初步体会从整体中把握部分的思维方法,渗透了函数、方程、不等式思想和数形结合思想.

在小组学习过程中,没有给学生充分的独立思考的时间,交流时没有注意到每个学生都要发言.教师应参与小组讨论,适时指导,使小组合作学习更具实效性.

教学过程中要为学生提供展示自己的平台,教师要善于发现学生分析问题、解决问题的独到见解和策略的多样性以及思维的误区,及时给予激励性评价,组织小组合作学习,帮助学生形成积极主动的求知态度.

随堂练习（教材第50页）

提示:

当x<

时,y1>y2.

习题2.6（教材第51页）

1.提示:

当x>

时,y1

2.解:

该产品的销售量达到4t时,生产该产品才能赢利.

3.提示:

（1）乙摩托车的速度较快.　

（2）

h前,甲摩托车离B地的距离大于乙摩托车离B地的距离.

　某医院研究发现了一种新药,在试验药效时发现,如果成人按规定剂量服用,那么服药后2小时时血液中含药量最高,达每毫升6微克（1微克=10-3毫克）,接着逐步衰减,10小时时血液中含药量为每毫升3微克,每毫升血液中含药量y（微克）随着时间x（小时）的变化如图所示（成人按规定服药后）.

（1）分别求出当x≤2和x≥2时,y与x之间的函数关系式;

（2）根据图象观察,如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上在治疗疾病时是有效的,那么这个有效时间是多少?

解:

（1）当x≤2时,图象过（0,0）,（2,6）两点,

设y1=k1x,把（2,6）代入,得k1=3,

所以y1=3x.

当x≥2时,图象过（2,6）,（10,3）两点.

设y2=k2x+b,则有

解得k2=-

b=

.

所以y2=-

x+

.

（2）过点（0,4）作平行于x轴的一条直线,与y1,y2的图象交于两点,过这两点向x轴作垂线,与x轴交于两点,由

（1）可求得这两点为

所以有效时间为

-

=6（小时）.

　作出函数y1=2x-4与y2=-2x+8的图象,观察图象回答下列问题:

（1）x取哪些值时,2x-4>0?

（2）x取哪些值时,-2x+8>0?

（3）x取哪些值时,2x-4>0与-2x+8>0同时成立?

（4）求出函数y1=2x-4和y2=-2x+8的图象与x轴所围成的三角形的面积.

〔解析〕　

（1）使2x-4>0成立的x的值,就是函数y1=2x-4的图象在x轴上方的所有点的横坐标的集合;

（2）同理,使-2x+8>0成立的x的值,即为函数y2=-2x+8的图象在x轴上方的所有点的横坐标的集合;（3）要找使它们同时成立的x的值,即求这两个集合中的公共部分;（4）根据函数图象与x轴交点的坐标可求出三角形的底边长,由两函数图象的交点坐标可求出底边上的高,从而可求出三角形的面积.

解:

作出图象如图所示:

由图象可知:

（1）当x>2时,2x-4>0.

（2）当x<4时,-2x+8>0.

（3）当20与-2x+8>0同时成立.

（4）由2x-4=0,得x=2;

由-2x+8=0,得x=4.

所以AB=4-2=2.

由

得两函数图象交点为C（3,2）.

所以△ABC中AB边上的高为2.

所以S△ABC=

×2×2=2.即围成的三角形的面积为2.

第

课时

进一步体会一元一次不等式在现实生活中的应用.

通过用不等式的知识解决实际问题,发展学生解决问题的能力.

把数学知识与现实生活相联系,让学生体会数学与人类生活的密切联系以及对人类历史发展的作用,增强学生学习数学的兴趣和积极性,从而更好地服务于社会.

【重点】　利用不等式的有关知识解决现实生活中的实际问题.

【难点】　认真审题,找出题中的等量或不等关系,全面地考虑问题.

【教师准备】　多媒体课件.

【学生准备】　复习一元一次不等式与一次函数的关系.

导入一:

上节课我们初步感知了一元一次不等式与一次函数的关系,并利用其解决了一些简单问题,今天我们继续利用它们的关系来解决一些较为复杂的实际问题.首先请同学们完成下列问题:

（1）若y1=-2x-2,y2=3x+3,试确定当x取哪些值时,y1

你是怎样做的?

（2）某商品原价60元,现优惠25%,则现价是　　　　元. 

（3）某商品原价200元,现打七五折,则现价是　　　　元. 

[设计意图]　让学生在回顾旧知的基础上接触新知,有利于知识的自然过渡,减小难度.

导入二:

同学们,我们已经学习了不等式的解法及应用,但是它的应用远不止于我们前面学过的这些,它的应用很广泛.比如,随着国家的富裕,人民生活水平的提高,人们的消费观念也在逐渐转变,在放假期间很多人热衷于旅游,而旅行社看准了这个商机,会打着各式各样的优惠政策来诱惑你,那么究竟应该选哪一家呢?

下面我们一起来探究这里的奥妙.

[设计意图]　直接引入课题,开门见山,引起学生的注意,有利于后面的教学.

例题讲解

　　[过渡语]　同学们,下面我们继续利用一元一次不等式解决实际问题.

（教材例题）某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游,参加旅游的人数估计为10至25人,甲、乙两家旅行社的服务质量相同,且报价都是每人200元.经过协商,甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠;乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用,然后给予其余游客八折优惠.该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少?

师:

请大家先说一下,你计划选哪家旅行社?

理由是什么?

生1:

我选甲旅行社,因为每人都打七五折,比打八折要便宜.

生2:

我选乙旅行社,因为乙旅行社既打八折,还免交一个人的费用200元.

生3:

我不能肯定,一定要计算一下才能决定.

师:

下面我们就来计算一下哪家更优惠.

解:

设该单位参加这次旅游的人数是x人,选择甲旅行社时,所需费用为y1元,选择乙旅行社时,所需的费用为y2元,则y1=200×0.75x=150x;y2=200×0.8（x-1）=160x-160.

当y1=y2时,150x=160x-160,解得x=16;

当y1>y2时,150x>160x-160,解得x<16;

当y116.

因为参加旅游的人数为10至25人,所以当x=16时,甲、乙两家旅行社的收费相同;当17≤x≤25时,选择甲旅行社费用较少;当10≤x≤15时,选择乙旅行社费用较少.

师:

由此看来,选哪家旅行社不仅与旅行社的优惠政策有关,而且还和参加旅游的人数有关,所以在以后的生活中,大家一定不要想当然,而是要精打细算才能做到合理开支.

（补充例题）某书报亭开设两种租书方式:

一种是正常租书,每册收费1元;另一种是会员卡租书,办卡费每月12元,租书费每册0.4元.小军经常来该店租书,若每月租书数量为x册.

（1）写出正常租书方式每月应付金额y1（元）与租书数量x（册）之间的函数关系式;

（2）写出会员卡租书方式每月应付金额y2（元）与租书数量x（册）之间的函数关系式;

（3）小军采用哪种租书方式更合算?

解:

（1）∵正常租书时,每册收费1元,

∴每月应付金额与租书数量之间的函数关系式为y1=x.

（2）∵用会员卡租书时,租书费用为每册0.4元,每月还有办卡费12元,

∴每月应付金额与租书数量之间的函数关系式为y2=0.4x+12.

（3）当y1=y2时,x=12+0.4x,解得x=20;

当y1>y2时,x>12+0.4x,解得x>20;

当y1

∴当小军每月租书少于20册时,采用正常租书的方式更合算;当每月租书20册时,两种租书方式费用一样;当每月租书多于20册时,采用会员卡租书的方式更合算.

[设计意图]　让学生经历运用不等式解决实际问题的过程,关注学生在解决问题的过程中的方法、途径及规范格式,师生共同梳理利用一元一次不等式与一次函数解决决策型应用题的步骤,以起到示范作用.

[知识拓展]　利用一元一次不等式与一次函数解决决策型应用题的步骤:

一次函数刻画了问题中两个变量之间存在的一种相互依赖的关系,而一元一次不等式则描述了问题中两个变量满足某些特定条件时的状态.因此,可以从一次函数的角度解决一元一次不等式问题,也可以利用一元一次不等式解决一次函数的相关问题.

1.在一次函数y=-2x+8中,若y>0,则（　　）

A.x>4B.x<4C.x>0D.x<0

解析:

由题意知-2x+8>0,解得x<4.故选B.

2.如图所示的是一次函数y=kx+b的图象,则当y<2时,x的取值范围是（　　）

A.x<1B.x>1C.x<3D.x>3

解析:

由图象可知,当y<2时,x<3.故选C.

3.若一次函数y=3x+m-2的图象不经过第二象限,则m的取值范围是（　　）

A.m≤2B.m≤-2C.m>2D.m<2

解析:

由题意得其图象过第一、三象限或第一、三、四象限,则m-2≤0,即m≤2.故选A.

4.已知y1=3x+2,y2=-x-5,若y1>y2,则x的取值范围是　　　　. 

解析:

由题意得3x+2>-x-5,解得x>-

.故填x>-

.

5.已知一次函数y=（a+5）x+3的图象经过第一、二、三象限,则a的取值范围是　　　　. 

解析:

由题意得a+5>0,解得a>-5.故填a>-5.

6.一次函数