江苏专用高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第2课四种命题和充分必要条件教师用书.docx

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江苏专用高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第2课四种命题和充分必要条件教师用书

第2课四种命题和充分、必要条件

[最新考纲]

内容

要求

A

B

C

命题的四种形式

√

充分条件、必要条件、充分必要条件

√

1．四种命题及其相互关系

（1）四种命题间的相互关系

图21

（2）四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．

2．充分条件与必要条件

（1）如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．

（2）如果p⇔q，那么p与q互为充分必要条件．

（3）如果pD

q，且qD

p，则p是q的既不充分又不必要条件．

3．集合与充分必要条件

设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有：

（1）若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件．

（2）若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件．

（3）若A＝B，则p是q的充分必要条件．

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）“x2＋2x－3<0”是命题．（　　）

（2）命题“若p则q”的否命题是“若p，则非q”．（　　）

（3）当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．（　　）

（4）“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．（　　）

[解析]　

（1）错误．该语句不能判断真假，故该说法是错误的．

（2）错误．否命题既否定条件，又否定结论．

（3）正确．q是p的必要条件说明p⇒q，所以p是q的充分条件．

（4）正确．原命题与逆否命题是等价命题．

[答案]　

（1）×　

（2）×　（3）√　（4）√

2．（教材改编）命题“若α＝

，则tanα＝1”的逆否命题是________．

若tanα≠1，则α≠

　[“若p则q”的逆否命题是“若非q，则非p”，显然非q：

tanα≠1，非p：

α≠

，所以该命题的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠

”．]

3．（2016·镇江期中）实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，则“ac＜0”是“该方程有实数根”的________条件．（选填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分又不必要”）

充分不必要　[一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根，则判别式Δ＝b2－4ac≥0，即b2≥4ac.当ac＜0时，显然有b2≥4ac；但b2≥4ac未必推出ac＜0，故“ac＜0”是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根的充分不必要条件．]

4．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为________．

2　[原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a＞－6，则a＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．

因此4个命题中有2个假命题．]

5．（2017·南京三模）记不等式“x2＋x－6<0”的解集为集合A，函数y＝lg（x－a）的定义域为集合B.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为________．

（－∞，－3]　[由x2＋x－6<0得－3

由x－a>0得x>a，即B＝{x|x>a}．

∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，

∴A⊆B，

∴a≤－3.]

四种命题的关系及其真假判断

（1）命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是________．

（2）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是________．（填序号）

①真，假，真；②假，假，真；③真，真，假；④假，假，假．

（1）若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数　

（2）②　[

（1）“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”．

（2）由共轭复数的性质，原命题为真命题，因此其逆否命题也为真命题．

当z1＝1＋2i，z2＝2＋i时，显然|z1|＝|z2|，但z1与z2不共轭，所以逆命题为假命题，从而它的否命题也为假命题．]

[规律方法]　1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：

（1）对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；

（2）若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．

2．给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．

3．由于原命题与其逆否命题的真假性相同，所以有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假．

[变式训练1]　

（1）已知命题p：

正数a的平方不等于0，命题q：

若a不是正数，则它的平方等于0，则p是q的________．（填“逆命题”“否命题”“逆否命题”或“否定”）

（2）给出以下四个命题：

①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；

④若ab是正整数，则a，b都是正整数．

其中真命题是________．（写出所有真命题的序号）

（1）否命题　

（2）①③　[

（1）把命题p可改成“若a是正数，则它的平方不等于0”，显然q是p的否命题．

（2）①的逆命题为：

若x，y互为相反数，则x＋y＝0，显然是真命题；②的否命题为：

不全等的三角形的面积不相等，显然是假命题；

③若x2＋x＋q＝0有实根，则Δ＝1－4q≥0，即q≤

.故当q≤－1时，方程x2＋x＋q＝0有实根是真命题，其逆否命题也是真命题；

④是假命题，如a＝2，b＝

，则ab＝1.]

充分条件与必要条件的判断

（1）函数f（x）在x＝x0处导数存在．若p：

f′（x0）＝0；q：

x＝x0是f（x）的极值点，则p是q的________条件.【导学号：

62172006】

（2）（2017·南通、扬州、泰州、淮安三调）给出下列三个命题：

①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件；

②“α>β”是“cosα

③“a＝0”是函数“f（x）＝x3＋ax2（x∈R）为奇函数”的充要条件．其中真命题的序号为________．

（1）必要不充分　

（2）③　[

（1）当f′（x0）＝0时，x＝x0不一定是f（x）的极值点，

比如，y＝x3在x＝0时，f′（0）＝0，但在x＝0的左右两侧f′（x）的符号相同，因而x＝0不是y＝x3的极值点．

由极值的定义知，x＝x0是f（x）的极值点必有f′（x0）＝0.

综上知，p是q的必要条件，但不是充分条件．

（2）①∵y＝3x是单调递增函数，∴“a>b”是“3a>3b”的充要条件，故①错误；

②由于α，β的范围不明确，故当α>β时无法判断“cosα，cosβ”的大小关系．故②错误；

③当a＝0时，f（x）＝x3是奇函数；反之由f（x）为奇函数可知a＝0，故③正确．]

[规律方法]　充分条件、必要条件的三种判断方法

（1）定义法：

根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．

（2）集合法：

根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．

（3）等价转化法：

根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．

[变式训练2]　（2017·南昌调研）m＝－1是直线mx＋（2m－1）y＋1＝0和直线3x＋my＋9＝0垂直的________条件．

充分不必要　[由直线mx＋（2m－1）y＋1＝0与3x＋my＋9＝0垂直可知3m＋m（2m－1）＝0，∴m＝0或m＝－1，∴m＝－1是两直线垂直的充分不必要条件．]

充分条件、必要条件的应用

（典例迁移）

　已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围.【导学号：

62172007】

[解]　由x2－8x－20≤0得

－2≤x≤10，

∴P＝{x|－2≤x≤10}．

∵x∈P是x∈S的必要条件，

则S⊆P，

∴

∴0≤m≤3.

综上可知，当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件．

[迁移探究1]　本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．

[解]　由例题知P＝{x|－2≤x≤10}．

若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，

∴

∴

即这样的m不存在．

[迁移探究2]　本例条件不变，若非P是非S的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

[解]　由例题知P＝{x|－2≤x≤10}．

∵非P是非S的必要不充分条件，∴P是S的充分不必要条件，

∴P⇒S且SD

P，

∴[－2,10][1－m,1＋m]，

∴

或

∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞）．

[规律方法]　充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：

（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解．

（2）要注意区间端点值的检验．

[变式训练3]　

（1）（2017·徐州模拟）已知命题p：

a≤x≤a＋1，命题q：

x2－4x<0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．

（2）方程ax2＋2x＋1＝0（a∈R，a为常数）的解集只有一个负实根的充要条件是________．

（1）（0,3）　

（2）a≤0或a＝1　[

（1）令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝{x|0

∵p是q的充分不必要条件，∴MN，

∴

解得0

（2）当a＝0时，原方程为2x＋1＝0，

∴原方程有一个负实根x＝－

.

当a≠0时，ax2＋2x＋1＝0只有一个负实根，

∴方程有一个正根和一个负根或方程有两个相等的负根，当方程有一正一负根时，则x1x2＜0，

∴

＜0，且Δ＝4－4a＞0，解得a＜0.

当方程有两个相等的负根时，Δ＝4－4a＝0，a＝1，此时方程的根为－1，符合题意，

综上，方程的解集只有一个负实根的充要条件是a≤0或a＝1.]

[思想与方法]

1．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．

2．充分条件、必要条件的几种判断方法

（1）定义法：

直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假．

（2）等价法：

利用A⇒B与非B⇒非A；B⇒A与非A⇒非B；A⇔B与非B⇔非A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．

（3）利用集合间的包含关系判断：

设A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}，若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p是q的充要条件．

[易错与防范]

1．当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提．

2．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式．

3．判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分不必要条件是q”等语言的含义．

课时分层训练

（二）

A组　基础达标

（建议用时：

30分钟）

一、填空题

1．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是________．

若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0　[根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．]

2．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.则“m∥β”是“α∥β”的________条件．

必要不充分　[m⊂α，m∥βD

α∥β，但m⊂α，α∥β⇒m∥β，∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．]

3．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的________条件．

充分必要　[因为x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根，为x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充分必要条件．]

4．已知a，b，c都是实数，则在命题“若a＞b，则ac2＞bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________.

【导学号：

62172008】

2　[由a＞bD

ac2＞bc2，但ac2＞bc2⇒a＞b.

所以原命题是假命题，它的逆命题是真命题．

从而否命题是真命题，逆否命题是假命题．]

5．“m＜

”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的________条件.

【导学号：

62172009】

充分不必要　[x2＋x＋m＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，

即m≤

，因为m＜

⇒m≤

，反之不成立．

故“m＜

”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的充分不必要条件．]

6．给出下列命题：

①“若a2

②“全等三角形面积相等”的逆命题；

③“若a>1，则ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R”的逆否命题；

④“若

x（x≠0）为有理数，则x为无理数”的逆否命题．

其中为真命题的是________．（填序号）

③④　[对于①，否命题为“若a2≥b2，则a≥b”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于③，当a>1时，Δ＝－12a<0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确，故命题③④为真命题．]

7．（2017·金陵中学期中）设a，b∈R，则“a＋b>4”是“a>2且b>2”的________条件．（填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”）

必要不充分　[当a>2且b>2时，a＋b>4.

但当a＝1，b＝6时，有a＋b＝7>4，

故“a＋b>4”是“a>2且b>2”的必要不充分条件．]

8．“sinα＝cosα”是cos2α＝0的________条件．

充分不必要　[∵cos2α＝cos2α－sin2α，

∴若sinα＝cosα，则cos2α＝0，反之不一定，如当cosα＝－sinα时也成立．]

9．命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是________.

【导学号：

62172010】

若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0　[“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”．]

10．若x＜m－1或x＞m＋1是x2－2x－3＞0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．

[0,2]　[由已知易得{x|x2－2x－3＞0}{x|x＜m－1或x＞m＋1}，

又{x|x2－2x－3＞0}＝{x|x＜－1或x＞3}，

∴

或

∴0≤m≤2.]

二、解答题

11．已知函数f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b）”．

（1）写出否命题，判断其真假，并证明你的结论．

（2）写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．

[解]　

（1）否命题：

已知函数f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f（a）＋f（b）

该命题是真命题，证明如下：

因为a＋b<0，所以a<－b，b<－a.

又因为f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数．

所以f（a）

因此f（a）＋f（b）

所以否命题为真命题．

（2）逆否命题：

已知函数f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，a，b∈R，若f（a）＋f（b）

该命题是真命题，证明如下：

因为a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a，

因为f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，

所以f（a）≥f（－b），f（b）≥f（－a），

所以f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b），

故原命题为真命题，所以逆否命题为真命题．

12．已知集合A＝

，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围.【导学号：

62172011】

[解]　y＝x2－

x＋1＝

2＋

，

∵x∈

，∴

≤y≤2，

∴A＝

.

由x＋m2≥1，得x≥1－m2，

∴B＝{x|x≥1－m2}．

∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，

∴A⊆B，∴1－m2≤

，

解得m≥

或m≤－

，

故实数m的取值范围是

∪

.

B组　能力提升

（建议用时：

15分钟）

1．（2017·南通第一次学情检测）对于函数y＝f（x），x∈R，“y＝|F（x）|的图象关于y轴对称”是“y＝f（x）是奇函数”的________条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充分必要”，“既不充分又不必要”）

必要不充分　[“y＝f（x）是奇函数”，则y＝|f（x）|的图象关于y轴对称；反之若f（x）＝x2，则y＝|x2|的图象关于y轴对称，但y＝f（x）是偶函数．]

2．设集合A＝{x|x2＋2x－3＜0}，集合B＝{x||x＋a|＜1}，设命题p：

x∈A，命题q：

x∈B，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．

[0,2]　[因为p是q成立的必要不充分条件，所以集合B是集合A的真子集．

又集合A＝（－3,1），B＝（－a－1，－a＋1），

所以

或

解得0≤a≤2，即实数a的取值范围是0≤a≤2.]

3．求证：

关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充分必要条件是a＋b＋c＝0.

[证明]　必要性：

若方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，

则x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，

∴a＋b＋c＝0.

充分性：

若a＋b＋c＝0，则b＝－a－c，

∴ax2＋bx＋c＝0可化为ax2－（a＋c）x＋c＝0，

∴（ax－c）（x－1）＝0，

∴当x＝1时，ax2＋bx＋c＝0，

∴x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．

综上，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充分必要条件是a＋b＋c＝0.

4．（2017·南通第一次学情检测）已知c>0，设p：

函数y＝cx在R上递减；q：

函数f（x）＝x2－c2的最小值不大于－

.如果p，q均为真命题，求实数c的取值范围．

[解]　因为c>0，p：

函数y＝cx在R上递减，

所以p为真时，0

，

所以c≤－

或c≥

，

因为c>0，所以c≥

.

因为p，q均为真命题，所以

解得

≤c<1，

所以，实数c的取值范围为

≤c<1.