十分钟搞定LCS.ppt

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十分钟搞定LCS2/主要内容oLCS的定义o暴力求解LCSo分析LCS的性质n导出LCS的递推公式o实现算法涉及的数据结构o降低LCS空间复杂度的方法oLCS的多解性oLCS的应用3/LCS的定义o最长公共子序列，即LongestCommonSubsequence，LCS。

o一个序列S任意删除若干个字符得到新序列T，则T叫做S的子序列；o两个序列X和Y的公共子序列中，长度最长的那个，定义为X和Y的最长公共子序列。

n字符串13455与245576的最长公共子序列为455n字符串acdfg与adfc的最长公共子序列为adfo注意区别最长公共子串（LongestCommonSubstring）n最长公共字串要求连续4/LCS的意义o求两个序列中最长的公共子序列算法，广泛的应用在图形相似处理、媒体流的相似比较、计算生物学方面。

生物学家常常利用该算法进行基因序列比对，由此推测序列的结构、功能和演化过程。

oLCS可以描述两段文字之间的“相似度”，即它们的雷同程度，从而能够用来辨别抄袭。

另一方面，对一段文字进行修改之后，计算改动前后文字的最长公共子序列，将除此子序列外的部分提取出来，这种方法判断修改的部分，往往十分准确。

简而言之，百度知道、百度百科都用得上。

5/暴力求解：

穷举法o假定字符串X，Y的长度分别为m，n；oX的一个子序列即下标序列1,2,m的严格递增子序列，因此，X共有2m个不同子序列；同理，Y有2n个不同子序列，从而穷举搜索法需要指数时间O（2m.2n）；o对X的每一个子序列，检查它是否也是Y的子序列，从而确定它是否为X和Y的公共子序列，并且在检查过程中选出最长的公共子序列；o显然，不可取。

6/LCS的记号o字符串X，长度为m，从1开始数；o字符串Y，长度为n，从1开始数；oXi=x1，xi即X序列的前i个字符（1im）（Xi不妨读作“字符串X的i前缀”）oYj=y1，yj即Y序列的前j个字符（1jn）（字符串Y的j前缀）；oLCS（X,Y）为字符串X和Y的最长公共子序列，即为Z=z1，zk。

n注：

不严格的表述。

事实上，X和Y的可能存在多个子串，长度相同并且最大，因此，LCS（X,Y）严格的说，是个字符串集合。

即：

ZLCS（X,Y）.7/LCS解法的探索：

xm=yno若xm=yn（最后一个字符相同），则：

Xm与Yn的最长公共子序列Zk的最后一个字符必定为xm（=yn）。

nzk=xm=ynnLCS（Xm,Yn）=LCS（Xm-1,Yn-1）+xm8/结尾字符相等，则LCS（Xm,Yn）=LCS（Xm-1,Yn-1）+xmo记LCS（Xm,Yn）=W+xm，则W是Xm-1的子序列；同理，W是Yn-1的子序列；因此，W是Xm-1和Yn-1的公共子序列。

n反证：

若W不是Xm-1和Yn-1的最长公共子序列，不妨记LCS（Xm-1,Yn-1）=W，且|W|W|；那么，将W换成W，得到更长的LCS（Xm,Yn）=Wxm，与题设矛盾。

9/举例：

xm=yn1234567XBDCABAYABCBDABu对于上面的字符串X和Y：

ux3=y3=C，则：

LCS（BDC,ABC）=LCS（BD,AB）+Cux5=y4=B，则：

LCS（BDCAB,ABCB）=LCS（BDCA,ABC）+B10/LCS解法的探索：

xmyno若xmyn，则：

要么LCS（Xm,Yn）=LCS（Xm-1,Yn），要么LCS（Xm,Yn）=LCS（Xm,Yn-1）。

o证明：

令Zk=LCS（Xm,Yn）；由于xmyn则zkxm与zkyn至少有一个必然成立，不妨假定zkxm（zkyn的分析与之类似）。

n因为zkxm，则最长公共子序列Zk是Xm-1和Yn得到的，即：

Zk=LCS（Xm-1,Yn）n同理，若zkyn，则Zk=LCS（Xm,Yn-1）o即，若xmyn，则：

nLCS（Xm,Yn）=maxLCS（Xm-1,Yn）,LCS（Xm,Yn-1）11/举例：

xmyn1234567XBDCABAYABCBDABu对于字符串X和Y：

ux2y2，则：

LCS（BD,AB）=maxLCS（BD,A）,LCS（B,AB）ux4y5，则：

LCS（BDCA,ABCBD）=maxLCS（BDCA,ABCB）,LCS（BDC,ABCBD）12/LCS分析总结o显然，属于动态规划问题。

13/算法中的数据结构：

长度数组o使用二维数组Cm,noci,j记录序列Xi和Yj的最长公共子序列的长度。

n当i=0或j=0时，空序列是Xi和Yj的最长公共子序列，故ci,j=0。

14/算法中的数据结构：

方向变量o使用二维数据Bm,n，其中，bi,j标记ci,j的值是由哪一个子问题的解达到的。

即ci,j是由ci-1,j-1+1或者ci-1,j或者ci,j-1的哪一个得到的。

取值范围为Left，Top，LeftTop三种情况。

15/实例oX=oY=16/计算LCS长度17/根据b提供的方向，构造最长公共子序列18/进一步思考的问题o方向数组b是完全可以省略的：

n数组元素ci,j的值仅由ci-1,j-1，ci-1,j和ci,j-1三个值之一确定，因此，在计算中，可以临时判断ci,j的值是由ci-1,j-1，ci-1,j和ci,j-1中哪一个数值元素所确定，代价是

（1）时间。

o若只计算LCS的长度，则空间复杂度为min（m,n）。

n在计算ci,j时，只用到数组c的第i行和第i-1行。

因此，只要用2行的数组空间就可以计算出最长公共子序列的长度。

19/最大公共子序列的多解性：

求所有的LCSo当xmyn时：

若LCS（Xm-1,Yn）=LCS（Xm,Yn-1），会导致多解：

有多个最长公共子序列，并且它们的长度相等。

oB的取值范围从1,2,3扩展到1,2,3,4o广度优先遍历20/LCS的应用：

最长递增子序列LISoLongestIncreasingSubsequenceo给定一个长度为N的数组，找出一个最长的单调递增子序列。

o例如：

给定数组5，6，7，1，2，8，则其最长的单调递增子序列为5，6，7，8，长度为4。

n分析：

其实此LIS问题可以转换成最长公子序列问题，为什么呢？

21/使用LCS解LIS问题o原数组为A5，6，7，1，2，8o排序后：

A1，2，5，6，7，8o因为，原数组A的子序列顺序保持不变，而且排序后A本身就是递增的，这样，就保证了两序列的最长公共子序列的递增特性。

如此，若想求数组A的最长递增子序列，其实就是求数组A与它的排序数组A的最长公共子序列。

n此外，本题也可以直接使用动态规划来求解