函数.ppt

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第第88章章函数函数离离散散数数学学中国地质大学本科生课程中国地质大学本科生课程本章说明本章说明本章说明本章说明q本章的主要内容本章的主要内容函数的定义函数的定义函数的性质函数的性质函数的逆函数的逆函数的合成函数的合成q本章与后续各章的关系本章与后续各章的关系是代数系统的基础是代数系统的基础8.18.1函数的定义与性质函数的定义与性质8.28.2函数的复合与反函数函数的复合与反函数8.38.3一个电话系统的描述实例一个电话系统的描述实例本章小结本章小结习题习题作业作业本章内容本章内容本章内容本章内容8.18.18.18.1函数的定义与性质函数的定义与性质函数的定义与性质函数的定义与性质定义定义8.18.1设设FF为二元关系，若为二元关系，若xdomdomFF，都存在都存在唯一的唯一的yranranF使使xFFy成立，则称成立，则称FF为为函数函数（function）（或称作或称作映映射射（mapping）。

对于函数对于函数FF，如果有如果有xFFy，则记作则记作yF（F（x），并称并称y为为FF在在x的的值值。

举例举例判断下列关系是否为函数判断下列关系是否为函数FF11x,FF22x,是函数是函数不是函数不是函数说说明明q函数是特殊的二元关系。

函数是特殊的二元关系。

q函数的定义域为函数的定义域为domdomFF，而不是它的真子集。

而不是它的真子集。

q一个一个xx只能对应唯一的只能对应唯一的yy。

定义定义8.28.2设设F,GF,G为函数，则为函数，则FFGGFFGGGGFF由定义可知，两个函数由定义可知，两个函数FF和和GG相等相等,一定满足下面两个条件：

一定满足下面两个条件：

（11）domdomFFdomdomGG（22）xdomdomFFdomdomGG，都有都有F（F（x）G（G（x）例如例如函数函数F（F（x）（x221）/

（1）/（x+1）+1），G（G（x）x11不相等不相等,因因为为domdomFFx|xRRx-1-1domdomGGRR显然，显然，domdomFFdomdomGG，所以两个函数不相等。

所以两个函数不相等。

函数相等函数相等函数相等函数相等定义定义8.38.3设设A,BA,B为集合，如果为集合，如果f为函数，为函数，domdomfAA，ranranfBB，则称则称f为为从从AA到到BB的函数的函数，记作，记作f：

ABAB。

例如：

例如：

f：

NNNN，f（x）2x2x是从是从NN到到NN的函数，的函数，g：

NNNN，g（x）22也是从也是从NN到到NN的函数。

的函数。

定义定义8.48.4所有从所有从AA到到BB的函数的集合记作的函数的集合记作BBAA，读作读作“BB上上AA”，符号化表示为符号化表示为BBAAf|f：

ABAB。

从从从从AAAA到到到到BBBB的函数的函数的函数的函数例例8.28.2设设AA1,2,31,2,3，BBa,ba,b，求求BBAA。

解答解答BAf0,f1,f2,f3,f4,f5,f6,f7。

其中其中f0,f1,f2,f3,f4,f5,f6,f7,例例例例8.28.28.28.2说说明明q若若|A|A|m，|B|B|n，且且m,n00，则则|BBAA|nm。

q当当AA或或BB至少有一个集合是空集时：

至少有一个集合是空集时：

AA且且BB，则，则BBAA。

AA且且BB，则，则BBAABB。

AA且且BB，则则BBAAAA。

定义定义8.58.5设函数设函数f：

ABAB，AA11AA，BB11BB。

（11）令令f（A（A11）f（x）|）|xAA11，称称f（A（A11）为为AA11在在f下的像下的像（image）。

特别地，当特别地，当AA11AA时，称时，称f（A）（A）为函数的像为函数的像。

（22）令令f11（B（B11）x|xAAf（x）B）B11，称称f11（B（B11）为为BB11在在f下的下的完完全原像全原像（preimage）。

说说明明函数的像和完全原像函数的像和完全原像函数的像和完全原像函数的像和完全原像q注意区别函数的值和像两个不同的概念。

注意区别函数的值和像两个不同的概念。

函数值函数值f（x）B）B，而函数的像而函数的像f（A（A11）BB。

讨论讨论讨论讨论q设设BB11BB，显然显然BB11在在f下的原像下的原像f-1-1（B（B11）是是AA的子集。

的子集。

q设设AA11AA，那么那么f（AA11）BB。

f（AA11）的完全原像就是的完全原像就是f-1-1（f（AA11）。

一般来说，一般来说，f-1-1（f（AA11）AA11，但是但是AA11f-1-1（f（AA11）。

q例如函数例如函数f:

1,2,30,1:

1,2,30,1，满足满足f

（1）

（1）f

（2）

（2）00，f（3）（3）11令令AA1111，那么那么f-1-1（f（AA11）f-1-1（f

（1）1）f-1-1（0）（0）1,21,2这时，这时，AA11是是f-1-1（f（AA11）的真子集。

的真子集。

例例8.38.3设设f:

NN:

NN，且且令令AA0,10,1，BB22，求求f（A）（A）和和f11（B）（B）。

解答解答f（A）f（0,1）f（0）,f

（1）0,2f1（B）f1

（2）1,4（因为因为f

（1）2,f（4）2）例例例例8.38.38.38.3定义定义8.68.6设设f:

AB，（11）若若ranfB，则称则称f:

AB是是满射满射（surjection）的的。

（22）若若yranf都存在都存在唯一的唯一的xA使得使得f（x）y，则称则称f:

AB是是单射单射（injection）的的。

（33）若若f既是满射又是单射的既是满射又是单射的，则称则称f:

AB是是双射双射（bijection）的的（一一映像一一映像（one-to-onemapping）。

说说明明满射、入射、双射满射、入射、双射满射、入射、双射满射、入射、双射q如果如果f:

A:

ABB是满射的，则对于任意的是满射的，则对于任意的yBB，都存在都存在xAA，使得使得f（x）y。

q如果如果f:

A:

ABB是单射的，则对于是单射的，则对于x11、x22AA且且x11x22，一定一定有有f（x11）f（x22）。

换句话说，如果对于换句话说，如果对于x11、x22AA有有f（x11）f（x22），则一定有则一定有x11x22。

不同类型的对应关系的示例不同类型的对应关系的示例不同类型的对应关系的示例不同类型的对应关系的示例abc1234abc1234abc1234dabc1234dabc123d单射单射不是函数不是函数双射双射函数函数满射满射例例8.48.4判断下面函数是否为单射、满射、双射的，为什么判断下面函数是否为单射、满射、双射的，为什么?

（1）f：

RR，f（x）=-x2+2x-1

（2）f：

Z+R，f（x）=lnx，Z+为正整数集为正整数集（3）f：

RZ，f（x）=x（4）f：

RR，f（x）=2x+1（5）f：

R+R+，f（x）=（x2+1）/x，其中其中R+为正实数集。

为正实数集。

例例例例8.48.48.48.4

（1）f在在x=1取得极大值取得极大值0。

既不是单射也不是满射的既不是单射也不是满射的。

（2）f是单调上升的，是单射的，但不满射是单调上升的，是单射的，但不满射。

ranf=ln1,ln2,。

（3）f是满射的，是满射的，但不是单射的，例如但不是单射的，例如f（1.5）=f（1.2）=1。

（4）f是满射、单射、双射的，因为它是单调函数并且是满射、单射、双射的，因为它是单调函数并且ranf=R。

（5）f有极小值有极小值f

（1）=2。

该函数既不是单射的，也不是满射的该函数既不是单射的，也不是满射的。

分析分析实数集合上函数性质的判断方法实数集合上函数性质的判断方法例例例例8.58.58.58.5例例8.58.5对于以下各题给定的对于以下各题给定的A,B和和f，判断是否构成函数判断是否构成函数f:

AB。

如果是，说明如果是，说明f:

AB:

AB是否为单射、满射和双射的，并根据是否为单射、满射和双射的，并根据要求进行计算。

要求进行计算。

（1）

（1）A1,2,3,4,51,2,3,4,5，B6,7,8,9,106,7,8,9,10，f,能构成能构成f:

AB，f不是单射的，因为不是单射的，因为f（3）（3）f（5）（5）9,9,f不是满射的，因为不是满射的，因为77ranfranf。

（1）

（1）A1,2,3,4,51,2,3,4,5，B6,7,8,9,106,7,8,9,10，f,不能构成不能构成f:

AB，因为因为1,7f且且1,9f。

例例例例8.58.58.58.5（3）（3）A1,2,3,4,51,2,3,4,5，B6,7,8,9,106,7,8,9,10，f,不能构成不能构成f:

AB，因为因为domdomf1,2,3,41,2,3,4A。

（4）（4）ABRR，f（x）xx能构成能构成f:

AB，且且f是双射的是双射的。

（5）（5）ABRR+，f（x）x/（xx/（x22+1）+1）（xRxR+）能构成能构成f:

AB，但但f既不是单射的也不是满射的。

既不是单射的也不是满射的。

因为该函数在因为该函数在x1取得极大值取得极大值f

（1）1/2，函数不是单调函数不是单调的，且的，且ranfRR+。

例例例例8.58.58.58.5（6）（6）ABRRR，f（）令令L|x,yRRyx+1+1，计算计算f（L）。

能构成能构成f:

AB，且且f是双射的是双射的。

f（L）|+1）|xRR|+1,-1|xRRR-1R-1（7）（7）ANN，BN，f（）|x|x22-y-y22|计算计算f（N0）,（N0）,f-1-1（0）（0）。

能构成能构成f:

AB，但但f既不是单射也不是满射的。

既不是单射也不是满射的。

因为因为f（）（）f（）（）00，且且22ranranf。

f（N0）（N0）n22-0-022|nNNn22|nNNf-1-1（0）（0）|nNN例例例例8.68.68.68.6例例8.68.6对于给定的集合对于给定的集合AA和和BB构造构造双射双射函数函数f:

AB:

AB。

（11）AAPP（1,2,3）（1,2,3）,B,B0,10,11,2,31,2,3（22）AA0,10,1,B,B1/4,1/21/4,1/2（33）AAZ,BZ,BNN（44）AA/2,3/2,3/2/2,B,B1,11,1例例例例8.68.68.68.6的解答的解答的解答的解答

（1）AP（1,2,3）,B0,11,2,3A,1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3。

Bf0,f1,f7,其中其中f0,f1,f2,f3,f4,f5,f6,f7,。

令令f:

AB,f（）f0,f

（1）f1,f

（2）f2,f（3）f3,f（1,2）f4,f（1,3）f5,f（2,3）f6,f（1,2,3）f7例例例例8.68.68.68.6的解答的解答的解答的解答

（2）A0,10,1,B1/4,1/21/4,1/2令令f:

AB,f（x）（x+1）/4。

（3）AZ,BN将将Z中元素以下列顺序排列并与中元素以下列顺序排列并与NN中元素对应：

中元素对应：

Z：

0112233N：

0123456则这种对应所表示的函数是：

则这种对应所表示的函数是：

（4）A=/2,3/2,B=1,1令令f:

AB，f（x）sinx。

常用函数常用函数常用函数常用函数常常常常函数和恒等函数函数和恒等函数函