高中数学必修一北师大版赣豫陕新学案讲义第一章集合章末复习Word版含答案.docx

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高中数学必修一北师大版赣豫陕新学案讲义第一章集合章末复习Word版含答案

章末复习

学习目标

　1.系统和深化对集合基础知识的理解与掌握.2.重点掌握好集合间的关系与集合的基本运算．

1．集合元素的三个特性：

确定性，互异性，无序性．

2．元素与集合有且只有两种关系：

∈，∉.

3．已经学过的集合表示方法有列举法，描述法，Venn图，常用数集字母代号．

4．集合间的关系与集合的运算

符号

定义

Venn图

子集

A⊆B

x∈A⇒x∈B

真子集

AB

A⊆B且存在x0∈B但x0∉A

并集

A∪B

{x|x∈A或x∈B}

交集

A∩B

{x|x∈A且x∈B}

补集

∁UA（A⊆U）

{x|x∈U且x∉A}

5.常用结论

（1）∅⊆A；

（2）A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝A⇔A⊇B.

（3）A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝A⇔A⊆B.

（4）A∪（∁UA）＝U；A∩（∁UA）＝∅；∁U（∁UA）＝A.

1．若A＝

，则x<0.（　√　）

2．任何集合至少有两个子集．（　×　）

3．若

有且只有一个元素，则必有Δ＝12－4a＝0.（　×　）

4．设A，B为全集的子集，则A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.（　√　）

类型一　集合的概念及表示法

例1　下列表示同一集合的是（　　）

A．M＝{（2,1），（3,2）}，N＝{（1,2）}

B．M＝{2,1}，N＝{1,2}

C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝x2＋1，x∈N}

D．M＝{（x，y）|y＝x2－1，x∈R}，N＝{y|y＝x2－1，x∈R}

考点　集合相等的概念

题点　判断集合的相等关系

答案　B

解析　A选项中M，N两集合的元素个数不同，故不可能相同；

B选项中M，N均为含有1,2两个元素的集合，由集合中元素的无序性可得M＝N；

C选项中M，N均为数集，显然有MN；

D选项中M为点集，即抛物线y＝x2－1上所有点的集合，而N为数集，即抛物线y＝x2－1上点的纵坐标，故选B.

反思与感悟　要解决集合的概念问题，必须先弄清集合中元素的性质，明确是数集，还是点集等．

跟踪训练1　设集合A＝{（x，y）|x－y＝0}，B＝{（x，y）|2x－3y＋4＝0}，则A∩B＝________.

考点　交集的概念及运算

题点　无限集合的交集运算

答案　{（4,4）}

解析　由

得

∴A∩B＝{（4,4）}．

类型二　集合间的基本关系

例2　若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S⊆P，求由a的可能取值组成的集合．

考点　子集及其运算

题点　根据子集关系求参数的范围

解　由题意得，P＝{－3,2}．

当a＝0时，S＝∅，满足S⊆P；

当a≠0时，方程ax＋1＝0的解为x＝－

，

为满足S⊆P，可使－

＝－3或－

＝2，

即a＝

或a＝－

.

故所求集合为

.

反思与感悟　

（1）在分类时要遵循“不重不漏”的原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．

（2）对于两集合A，B，当A⊆B时，不要忽略A＝∅的情况．

跟踪训练2　下列说法中不正确的是________．（只需填写序号）

①若集合A＝∅，则∅⊆A；

②若集合A＝{x|x2－1＝0}，B＝{－1,1}，则A＝B；

③已知集合A＝{x|12.

考点　集合的包含关系

题点　集合包含关系的判定

答案　③

解析　∅是任何集合的子集，故①正确；

∵x2－1＝0，∴x＝±1，∴A＝{－1,1}，

∴A＝B，故②正确；

若A⊆B，则a≥2，故③错误．

类型三　集合的交、并、补运算

命题角度1　用符号语言表示的集合运算

例3　设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2

考点　交并补集的综合问题

题点　无限集合的交并补运算

解　把全集R和集合A，B在数轴上表示如下：

由图知，A∪B＝{x|2

∴∁R（A∪B）＝{x|x≤2或x≥10}，

∵∁RA＝{x|x<3或x≥7}．

∴（∁RA）∩B＝{x|2

反思与感悟　求解用不等式表示的数集间的集合运算时，一般要借助于数轴求解，此法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的画法及取到与否．

跟踪训练3　已知集合U＝{x|0≤x≤6，x∈Z}，A＝{1,3,6}，B＝{1,4,5}，则A∩（∁UB）等于（　　）

A．{1}B．{3,6}

C．{4,5}D．{1,3,4,5,6}

考点　交并补集的综合问题

题点　有限集合的交并补运算

答案　B

解析　∵U＝{0,1,2,3,4,5,6}，B＝{1,4,5}，

∴∁UB＝{0,2,3,6}，

又∵A＝{1,3,6}，∴A∩（∁UB）＝{3,6}，故选B.

命题角度2　用图形语言表示的集合运算

例4　设全集U＝R，A＝{x|0

考点　Venn图表达的集合关系及运用

题点　Venn图表达的集合关系

答案　{x|1≤x<2}

解析　图中阴影部分表示的集合为A∩（∁UB），因为∁UB＝{x|x≥1}，画出数轴，如图所示，所以A∩（∁UB）＝{x|1≤x<2}．

反思与感悟　解决这一类问题一般用数形结合思想，借助于Venn图和数轴，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来．

跟踪训练4　学校举办了排球赛，某班45名同学中有12名同学参赛，后来又举办了田径赛，这个班有20名同学参赛，已知两项都参赛的有6名同学，两项比赛中，这个班共有多少名同学没有参加过比赛？

考点　交并补集的综合问题

题点　用并交补运算表示Venn图指定区域

解　设A＝{x|x为参加排球赛的同学}，B＝{x|x为参加田径赛的同学}，则A∩B＝{x|x为参加两项比赛的同学}．画出Venn图（如图），

则没有参加过比赛的同学有45－（12＋20－6）＝19（名）．

答　这个班共有19名同学没有参加过比赛．

类型四　关于集合的新定义题

例5　设A为非空实数集，若对任意的x，y∈A，都有x＋y∈A，x－y∈A，且xy∈A，则称A为封闭集．

①集合A＝{－2，－1,0,1,2}为封闭集；

②集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}为封闭集；

③若集合A1，A2为封闭集，则A1∪A2为封闭集；

④若A为封闭集，则一定有0∈A.

其中正确结论的序号是________．

考点　集合各类问题的综合

题点　新定义题

答案　②④

解析　①集合A＝{－2，－1,0,1,2}中，－2－2＝－4不在集合A中，所以不是封闭集；②设x，y∈A，则x＝2k1，y＝2k2，k1，k2∈Z，故x＋y＝2（k1＋k2）∈A，x－y＝2（k1－k2）∈A，xy＝4k1k2∈A，故②正确；③反例是：

集合A1＝{x|x＝2k，k∈Z}，A2＝{x|x＝3k，k∈Z}为封闭集，但A1∪A2不是封闭集，故③不正确；④若A为封闭集，则取x＝y，得x－y＝0∈A.故填②④.

反思与感悟　新定义题是近几年高考中集合题的热点题型，解答这类问题的关键在于阅读理解，也就是要在准确把握新信息的基础上，利用已有的知识来解决问题．

跟踪训练5　设数集M＝

，N＝

，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果b－a叫作集合{x|a≤x≤b}（b>a）的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是（　　）

A.

B.

C.

D.

考点　集合各类问题的综合

题点　新定义题

答案　C

解析　方法一　由已知可得

解得0≤m≤

，

≤n≤1.

取字母m的最小值0，字母n的最大值1，

可得M＝

，N＝

，

所以M∩N＝

∩

＝

，

此时得集合M∩N的“长度”为

－

＝

.

方法二　集合M的“长度”为

，集合N的“长度”为

.

由于M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，

而{x|0≤x≤1}的“长度”为1，由此可得集合M∩N的“长度”的最小值是

－1＝

.

1．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有（　　）

A．2个B．4个

C．6个D．8个

考点　子集个数

题点　求集合的子集个数

答案　B

2．下列关系中正确的个数为（　　）

①

∈R；②0∈N＋；③{－5}⊆Z.

A．0B．1C．2D．3

考点　常用的数集及表示

题点　常用的数集及表示

答案　C

解析　①③正确．

3．设全集U＝R，集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|0≤x<5}，则集合（∁UA）∩B等于（　　）

A．{x|0

C．{x|0≤x<2}D．{x|0≤x≤2}

考点　并交补集综合问题

题点　无限集合的并交补运算

答案　C

解析　先求出∁UA＝{x|x<2}，再利用交集的定义求得（∁UA）∩B＝{x|0≤x<2}．

4．设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，b，c}，N＝{b，d，e}，那么（∁IM）∩（∁IN）等于（　　）

A．∅B．{d}

C．{b，e}D．{a，c}

考点　交并补集的综合问题

题点　有限集合的交并补运算

答案　A

5．已知集合U＝R，集合A＝

，B＝

，则（∁UA）∩B＝________.

考点　交并补集的综合问题

题点　无限集合的交并补运算

答案　

解析　由图知（∁UA）∩B＝

.

1．要注意区分两大关系：

一是元素与集合的从属关系，二是集合与集合的包含关系．

2．在利用集合中元素相等列方程求未知数的值时，要注意利用集合中元素的互异性这一性质进行检验，忽视集合中元素的性质是导致错误的常见原因之一.

一、选择题

1．若集合M＝{x|（x＋4）（x＋1）＝0}，N＝{x|（x－4）·（x－1）＝0}，则M∩N等于（　　）

A．{1,4}B．{－1，－4}

C．{0}D．∅

考点　交集的概念及运算

题点　有限集合的交集运算

答案　D

解析　因为M＝{x|（x＋4）（x＋1）＝0}＝{－4，－1}，N＝{x|（x－4）（x－1）＝0}＝{1,4}，所以M∩N＝∅，故选D.

2．已知集合A＝{x|y＝ln（x＋3）}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是（　　）

A．A＝BB．A∩B＝∅

C．A⊆BD．B⊆A

考点　集合的包含关系

题点　集合包含关系的判定

答案　D

解析　A＝{x|x>－3}，B＝{x|x≥2}，结合数轴（图略）可得：

B⊆A.

3．已知全集U＝R，A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥3}，则集合A∩（∁UB）等于（　　）

A．{1}B．{1,2}

C．{1,2,3}D．{0,1,2}

考点　交并补集的综合问题

题点　无限集合的交并补运算

答案　B

解析　∵∁UB＝{x∈R|x<3}，

∴A∩（∁UB）＝{1,2}．

4．已知集合A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，若A∩B＝{1,3}，（∁UA）∩B＝{5}，则集合B等于（　　）

A．{1,3}B．{3,5}

C．{1,5}D．{1,3,5}

考点　Venn图表达的集合关系及运用

题点　Venn图的应用

答案　D

解析　画出满足题意的Venn图，由图可知B＝{1,3,5}．

5．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{a，a2}，若M∩N＝N，则a的值是（　　）

A．－1B．0C．1D．1或－1

考点　集合的交集、并集性质及应用

题点　利用集合的交集、并集性质求参数的值

答案　A

解析　由M∩N＝N得N⊆M.

当a＝0时，与集合中元素的互异性矛盾；

当a＝1时，也与集合中元素的互异性矛盾；

当a＝－1时，N＝{－1,1}，符合题意．

6．设全集U＝R，已知集合A＝{x|x<3或x≥7}，B＝{x|x

A．a＞3B．a≥3

C．a≥7D．a＞7

考点　交并补集的综合问题

题点　与交并补集运算有关的参数问题

答案　A

解析　因为A＝{x|x<3或x≥7}，所以∁UA＝{x|3≤x<7}，又（∁UA）∩B≠∅，则a＞3.

7．设集合I＝

，A⊆I，若把满足M∪A＝I的集合M叫做集合A的配集，则A＝

的配集有（　　）