第七节抛 物 线.docx

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第七节抛物线

第七节抛物线

知识点预习

1.抛物线的概念

2.抛物线的标准方程与几何性质

标准方程

图形

顶点

对称轴

焦点

离心率

准线方程

范围

开口方向

预习练习题

1、判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.（　　）

（2）方程y＝ax2（a≠0）表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是（

，0），准线方程是x＝－

.（　　）

（3）抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.（　　）

（4）AB为抛物线y2＝2px（p>0）的过焦点F（

，0）的弦，若A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2＝

，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.（　　）

（5）过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay（a>0）的通径长为2a.（　　）

2、已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线经过点（－1,1），则该抛物线焦点坐标为（　　）

A.（－1,0）B.（1,0）C.（0，－1）D.（0,1）

3、已知抛物线C：

y2＝x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，|AF|＝

x0，则x0等于（　　）

A.1B.2C.4D.8

4、已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）.若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|等于（　　）

A.2

B.2

C.4D.2

5、若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（　　）

A．

　　　　　　　B．

C．

D．0

6、以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P（1，m）到焦点的距离为3，则抛物线的方程是（　　）

A．y＝4x2B．y＝8x2C．y2＝4xD．y2＝8x

7、抛物线y＝ax2的准线方程是y＝1，则a的值为（　　）

A．

B．－

C．4D．－4

8、斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，则线段AB的长为________．

9、动圆过点（1,0），且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．

10、已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P（－2，－4），则该抛物线的标准方程为_______.

11、已知点A（－2,3）在抛物线C：

y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为________.

例题选讲

例1、已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A（3,2），求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时点P的坐标.

例2、已知双曲线C1：

－

＝1（a>0，b>0）的离心率为2.若抛物线C2：

x2＝2py（p>0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为（　　）

A.x2＝

yB.x2＝

yC.x2＝8yD.x2＝16y

例3、过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点.若|AF|＝3，则△AOB的面积为________.

例4、已知抛物线C：

y2＝8x与点M（－2,2），过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点.若

·

＝0，则k＝________.

例5、已知抛物线C：

y＝mx2（m>0），焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.

（1）求抛物线C的焦点坐标；

（2）若抛物线C上有一点R（xR,2）到焦点F的距离为3，求此时m的值；

（3）是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？

若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

、

例6、已知抛物线C：

y2＝2px（p>0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形.

（1）求C的方程；

（2）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，

①证明直线AE过定点，并求出定点坐标；

②△ABE的面积是否存在最小值？

若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

第七节课堂练习

一、选择题

1、已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线经过点（－1,1），则该抛物线焦点坐标为（　　）

A．（－1,0）　　　　　　　　B．（1,0）

C．（0，－1）D．（0,1）

2、以双曲线

－y2＝1的左焦点为焦点，顶点在原点的抛物线方程是（　　）

A．y2＝4xB．y2＝－4x

C．y2＝－4

xD．y2＝－8x

3、已知抛物线y2＝4x，圆F：

（x－1）2＋y2＝1，过点F作直线l，自上而下顺次与上述两曲线交于点A，B，C，D（如图所示），则下列关于|AB|·|CD|的值的说法中，正确的是（　　）

A．等于1

B．等于4

C．最小值是1

D．最大值是4

4、若点A的坐标为（3,2），F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为（　　）

A．（0,0）　　　　　　　　　　B．

C．（1，

）D．（2,2）

5、已知直线l1：

4x－3y＋6＝0和直线l2：

x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（　　）

A．

B．2

C．

D．3

6、设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆（x－5）2＋y2＝r2（r>0）相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（　　）

A．（1,3）　　　　　　　　　　B．（1,4）

C．（2,3）D．（2,4）

二、填空题

1、设抛物线x2＝12y的焦点为F，经过点P（2,1）的直线l与抛物线相交于A，B两点，又知点P恰为AB的中点，则|AF|＋|BF|＝________.

2、设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B（3,2），则|PB|＋|PF|的最小值为________.

3、若抛物线y2＝2px（p＞0）的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________.

4、已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：

（x＋1）2＋（y－5）2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是________．

5、已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________．

三、解答题

1、已知抛物线y2＝2px（p>0）的焦点为F，A（x1，y1），B（x2，y2）是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：

①y1y2＝－p2，x1x2＝

；②

＋

为定值；③以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.

2、已知抛物线C：

y2＝2px（p>0）的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝

|PQ|.

（1）求C的方程；

（2）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程.

3、在直角坐标系xOy中，曲线C：

y＝

与直线l：

y＝kx＋a（a>0）交于M，N两点．

（1）当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

（2）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？

说明理由．

第七节课后作业

1.已知抛物线y2＝2px（p>0）的准线与曲线x2＋y2－4x－5＝0相切，则p的值为（　　）

A.2B.1C.

D.

2.已知抛物线y2＝2px（p>0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（　　）

A.x＝1B.x＝－1C.x＝2D.x＝－2

3.已知抛物线y2＝2px（p>0）的焦点弦AB的两端点坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则

的值一定等于（　　）

A.－4B.4C.p2D.－p2

4.（2015·浙江）如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（　　）

A.

　　　B.

C.

　　　D.

5.（2014·课标全国Ⅱ）设F为抛物线C：

y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|等于（　　）

A.

B.6C.12D.7

6.已知抛物线x2＝2py（p>0）的焦点为F，其准线与双曲线

－

＝1相交于A、B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.

7.如图，过抛物线y2＝2px（p>0）的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为________.

8.已知一条过点P（2,1）的直线与抛物线y2＝2x交于A，B两点，且P是弦AB的中点，则直线AB的方程为__________.

9.如图，已知抛物线y2＝2px（p>0）有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA与OB的长分别为1和8，求抛物线的方程.

10.（2015·福建）已知点F为抛物线E：

y2＝2px（p＞0）的焦点，点A（2，m）在抛物线E上，且|AF|＝3.

（1）求抛物线E的方程；

（2）已知点G（－1,0），延长AF交抛物线E于点B，证明：

以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切.

11.（2015·四川）设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆（x－5）2＋y2＝r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（　　）

A.（1,3）B.（1,4）C.（2,3）D.（2,4）

12.已知抛物线y2＝x，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，

·

＝2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（　　）

A.2B.3C.

D.

13.抛物线C：

x2＝8y与直线y＝2x－2相交于A，B两点，点P是抛物线C上异于A，B的一点，若直线PA，PB分别与直线y＝2相交于点Q，R，O为坐标原点，则

·

＝________.

14.如图，已知抛物线C：

x2＝4y，过点M（0,2）任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D（O为坐标原点）.

（1）证明：

动点D在定直线上；

（2）作C的任意一条切线l（不含x轴），与直线y＝2相交于点N1，与

（1）中的定直线相交于点N2，证明：

|MN2|2－|MN1|2为定值，并求此定值.

15.已知抛物线C的顶点为O（0,0），焦点为F（0,1）.

（1）求抛物线C的方程；

（2）过点F作直线交抛物线C于A，B两点.若直线AO，BO分别交直线l：

y＝x－2于M，N两点，求|MN|的最小值.