拔高讲义第二章函数与基本初等函数I之第3强化课函数基本性质综合应用.docx

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拔高讲义第二章函数与基本初等函数I之第3强化课函数基本性质综合应用

复习导读　1.高考常将函数的单调性、奇偶性及周期性相结合命题，以选择题或填空题的形式考查，难度稍大，为中高档题.2.抽象函数的定义域、奇偶性、单调性一直是同学们的难点，近几年考查的也较少，常以选择题或填空题的形式考查.

考点一　函数基本性质的综合应用

[考查角度一]　函数的单调性与奇偶性结合

【例1－1】

（1）设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，＋∞）时f（x）是增函数，则f（－2），f（π），f（－3）的大小关系是（　　）

A.f（π）＞f（－3）＞f（－2）B.f（π）＞f（－2）＞f（－3）

C.f（π）＜f（－3）＜f（－2）D.f（π）＜f（－2）＜f（－3）

（2）已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且在区间[0，＋∞）上是增函数，若f（m）≥f（－2），则实数m的取值范围是________.

解析　

（1）因为π＞3＞2，且当x∈[0，＋∞）时f（x）是增函数，所以f（π）＞f（3）＞f

（2）.

又函数f（x）为R上的偶函数，

所以f（－3）＝f（3），f（－2）＝f

（2），

故f（π）＞f（－3）＞f（－2）.

（2）函数f（x）是R上的偶函数，且在[0，＋∞）上是增函数，所以f（x）在（－∞，0]上是减函数.

当m＜0时，由f（m）≥f（－2），知m≤－2；

当m≥0时，由f（m）≥f（－2），f（－2）＝f

（2），

可得f（m）≥f

（2），知m≥2.

故实数m的取值范围是（－∞，－2]∪[2，＋∞）.

答案　

（1）A　

（2）（－∞，－2]∪[2，＋∞）

探究提高　

（1）比较不同区间内的自变量对应的函数值的大小.对于偶函数，如果两个自变量的取值在关于原点对称的两个不同的单调区间上，即正负不统一，应利用图象的对称性将两个值化归到同一个单调区间，然后再根据单调性判断.

（2）对于求取值范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式（组）的问题.需要注意的是：

在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号“f”时，需转化为含符号“f”的形式，如若已知0＝f

（1），f（x－1）＜0，则f（x－1）＜f

（1）.

【训练1－1】已知f（x）是定义在R上的偶函数，在区间[0，＋∞）上为增函数，且f＝0，则不等式f＞0的解集为（　　）

A.B.（2，＋∞）

C.∪（2，＋∞）D.∪（2，＋∞）

解析　∵f（x）在R上为偶函数，且f＝0，

∴f＞0等价于f＞f，又f（x）在[0，＋∞）上为增函数，

∴＞，即logx＞或logx＜－，解得0＜x＜或x＞2，故选C.

答案　C

[考查角度二]　函数的奇偶性与周期性结合

【例1－2】（2016·广州模拟）定义在R上的函数f（x）满足f（－x）＝－f（x），f（x）＝f（x＋4），且当x∈（－1，0）时，f（x）＝2x＋，则f（log220）＝（　　）

A.1B.C.－1D.－

解析　由于x∈R，且f（－x）＝－f（x），所以函数为奇函数，由于f（x）＝f（x＋4），所以函数的周期为4.log216＜log220＜log232，即4＜log220＜5，0＜log220－4＜1，

∴0＜log2＜1，∴f（log220）＝f（log220－4）＝f

＝－f＝－f＝－＝－＝－1，故选C.

答案　C

探究提高　此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.

【训练1－2】（2015·广西玉林、贵港联考）设f（x）是R上的奇函数，且f（x＋2）＝－f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝2x，则f（2015）＝（　　）

A.－1B.－2C.1D.2

解析　∵f（x＋2）＝－f（x），∴f（x＋4）＝f[（x＋2）＋2]＝－f（x＋2）＝f（x），故f（x）的周期为4，∴f（2015）＝f（504×4－1）＝f（－1），又f（x）为奇函数.

∴f（－1）＝－f

（1）＝－2×1＝－2，故选B.

答案　B

[考查角度三]　函数的奇偶性、周期性、单调性结合

【例1－3】（2015·江西师大附中模拟）已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，∀x∈R，f（x－1）＝f（x＋1）成立，当x∈（0，1）且x1≠x2时，有＜0.给出下列命题：

①f

（1）＝0；

②f（x）在[－2，2]上有5个零点；

③点（2014，0）是函数y＝f（x）图象的一个对称中心；

④直线x＝2014是函数y＝f（x）图象的一条对称轴.

则正确命题的序号是________.

解析　令f（x－1）＝f（x＋1）中x＝0，得f（－1）＝f

（1），又f（－1）＝－f

（1），∴2f

（1）＝0，∴f

（1）＝0，故①正确；

由f（x－1）＝f（x＋1），得f（x）＝f（x＋2），∴f（x）是周期为2的周期函数，∴f

（2）＝f（0）＝0，又当x∈（0，1）且x1≠x2时，有＜0，∴函数在区间（0，1）上单调递减，可作函数的简图如图：

由图知②③也正确，④不正确，所以正确命题的序号为①②③.

答案　①②③

探究提高　函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律.因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题.

【训练1－3】已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x－4）＝－f（x），且在区间[0，2]上是增函数，则（　　）

A.f（－25）＜f（11）＜f（80）B.f（80）＜f（11）＜f（－25）

C.f（11）＜f（80）＜f（－25）D.f（－25）＜f（80）＜f（11）

解析　∵f（x）满足f（x－4）＝－f（x），

∴f（x－8）＝f（x），∴函数f（x）是以8为周期的周期函数，则f（－25）＝f（－1），f（80）＝f（0），f（11）＝f（3）.由f（x）是定义在R上的奇函数，

且满足f（x－4）＝－f（x），得f（11）＝f（3）＝－f（－1）＝f

（1）.

∵f（x）在区间[0，2]上是增函数，f（x）在R上是奇函数，

∴f（x）在区间[－2，2]上是增函数，∴f（－1）＜f（0）＜f

（1），

即f（－25）＜f（80）＜f（11）.

答案　D

考点二　抽象函数问题探究

[创新探究一]　抽象函数的定义域

【例2－1】已知函数f（2x）的定义域是[－1，1]，则函数f（log2x）的定义域为________.

解析　因为y＝f（2x）的定义域是[－1，1]，即－1≤x≤1，所以≤2x≤2，又y＝2x与y＝log2x的值域相同.所以≤log2x≤2，解得≤x≤4.故y＝f（log2x）的定义域是[，4].

答案　[，4]

探究提高　求复合函数y＝f[g（x）]的定义域的关键在于对复合函数定义域的理解.若已知y＝f[g（x）]的定义域，求f（x）的定义域的实质就是求g（x）的值域；若已知y＝f（x）的定义域求y＝f[g（x）]的定义域的实质就是让g（x）的值域与y＝f（x）的定义域相同，转化为解不等式.

【训练2－1】已知函数f（x）的定义域为（－1，0），则函数f（2x＋1）的定义域为（　　）

A.（－1，1）B.

C.（－1，0）D.

解析　因f（x）的定义域是（－1，0），

所以－1＜2x＋1＜0，解得－1＜x＜－，

故函数f（2x＋1）的定义域为.

答案　B

[创新探究二]　抽象函数的函数值

【例2－2】已知函数f（x）满足：

f

（1）＝，4f（x）f（y）＝f（x＋y）＋f（x－y）（x，y∈R），则f（2018）＝________.

解析　令x＝1，y＝0，则4f

（1）f（0）＝f（1＋0）＋f（1－0）＝2f

（1），所以f（0）＝.令x＝y＝1，则f

（2）＝4f2

（1）－f（0）＝4×－＝－.

用x＋1替换x，令y＝1，则4f（x＋1）f

（1）＝f（x＋1＋1）＋f（x＋1－1）＝f（x＋2）＋f（x），

整理，得f（x＋1）＝f（x＋2）＋f（x），①

同理可得f（x＋2）＝f（x＋3）＋f（x＋1）.②

由①＋②得，f（x＋3）＝－f（x），

所以f（x＋6）＝f[（x＋3）＋3]＝－f（x＋3）＝f（x），

即f（x）是以6为周期的周期函数，

于是f（2018）＝f（336×6＋2）＝f

（2）＝－.

答案　－

探究提高　赋值法是抽象函数求函数值的重要方法，通过观察与分析抽象函数问题中已知与未知的关系寻找有用的取值，挖掘出函数的性质，特别是借助函数的奇偶性和周期性来转化解答.

【训练2－2】已知定义在R上的单调函数f（x）满足：

存在实数x0，使得对于任意实数x1，x2，总有f（x0x1＋x0x2）＝f（x0）＋f（x1）＋f（x2）恒成立.

求：

（1）f

（1）＋f（0）；

（2）x0的值.

解　

（1）因为对于任意实数x1，x2，总有f（x0x1＋x0x2）＝f（x0）＋f（x1）＋f（x2）恒成立，令x1＝1，x2＝0，得f（x0）＝f（x0）＋f（0）＋f

（1），所以f（0）＋f

（1）＝0.

（2）令x1＝0，x2＝0，得f（0）＝f（x0）＋2f（0），所以f（x0）＝－f（0）.所以f（x0）＝f

（1）.又f（x）是R上的单调函数，所以x0＝1.

[创新探究三]　抽象函数的单调性与不等式

【例2－3】设函数f（x）是定义在（0，＋∞）上的增函数，且满足f（xy）＝f（x）＋f（y）.若f（3）＝1，且f（a）＞f（a－1）＋2，求实数a的取值范围.

解　因为f（xy）＝f（x）＋f（y），且f（3）＝1，

所以2＝2f（3）＝f（3）＋f（3）＝f（9）.

又f（a）＞f（a－1）＋2，所以f（a）＞f（a－1）＋f（9）.再由f（xy）＝f（x）＋f（y），可知f（a）＞f[9（a－1）].

因为f（x）是定义在（0，＋∞）上的增函数，从而有

解得1＜a＜.

故所求实数a的取值范围是.

探究提高　解答此类抽象不等式问题，不仅要注意函数单调性的应用，还要注意定义域的限制，以保证转化的等价性.如本题中许多同学容易漏掉而直接利用单调性得出a＞9（a－1）.

【训练2－3】函数f（x）的定义域为D＝{x|x≠0，x∈R}，满足对∀x1，x2∈D，有f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2）.

（1）求f

（1）的值；

（2）判断f（x）的奇偶性并证明你的结论；

（3）若f（4）＝1，f（x－1）＜2且f（x）在（0，＋∞）上是增函数，求x的取值范围.

解　

（1）∵∀x1，x2∈D，有f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2），

∴令x1＝x2＝1，得f

（1）＝2f

（1），∴f

（1）＝0.

（2）f（x）在D上为偶函数，证明如下：

令x1＝x2＝－1，有f

（1）＝f（－1）＋f（－1），

∴f（－1）＝f

（1）＝0，令x1＝－1，x2＝x，有f（－x）＝f（－1）＋f（x），∴f（－x）＝f（x）.

∴f（x）在D上为偶函数.

（3）依题意，由f（4×4）＝f（4）＋f（4）＝2，

由

（2）知，f（x）是偶函数，

∴f（x－1）＜2，即为f（|x－1|）＜f（16）.

又f（x）在（0，＋∞）上是增函数，

∴0＜|x－1|＜16，解得－15＜x＜17且x≠1，

∴x的取值范围是（－15，1）∪（1，17）.

（建议用时：

60分钟）

一、选择题

1.（2015·豫东、豫北十所名校联考）下列函数既是奇函数，又在区间[－1，1]上单调递减的是（　　）

A.f（x）＝sinxB.f（x）＝ln

C.f（x）＝－|x＋1|D.f（x）＝（ex－e－x）

解析　对于A，y＝sinx是奇函数，但它在[－1，1]上为增函数；对于B，由（2－x）（2＋x）＞0，得－2＜x＜2，所以f（x）＝ln的定义域是（－2，2），关于原点对称，因为f（－x）＝ln＝－ln＝－f（x），所以f（x）＝ln是奇函数.又t＝＝－1＋在区间[－1，1]上单调递减，故由复合函数的单调性可知函数f（x）＝ln在区间[－1，1]上单调递减；对于C，f（x）＝－|x＋1|为非奇非偶函数；对于D，f（x）＝（ex－e－x）是奇函数，但它在[－1，1]上为增函数，选B.

答案　B

2.（2015·洛阳统考）若函数y＝f（2x＋1）是偶函数，则函数y＝f（2x）的图象的对称轴方程是（　　）

A.x＝－1B.x＝－C.x＝D.x＝1

解析　∵y＝f（2x＋1）是偶函数，∴其图象关于y轴，

即关于x＝0对称，又f（2x＋1）＝f，

∴y＝f（2x）的图象可由y＝f（2x＋1）的图象向右平移个单位得到，∴y＝f（2x）的图象的对称轴方程是x＝.

答案　C

3.（2016·长沙月考）已知f（x）是定义域为（－1，1）的奇函数，而且f（x）是减函数，如果f（m－2）＋f（2m－3）＞0，那么实数m的取值范围是（　　）

A.B.

C.（1，3）D.

解析　∵f（x）是定义域为（－1，1）的奇函数，

∴－1＜x＜1，f（－x）＝－f（x）.

∴f（m－2）＋f（2m－3）＞0可转化为

f（m－2）＞－f（2m－3），f（m－2）＞f（－2m＋3），

∵f（x）是减函数，∴m－2＜－2m＋3，

∵∴1＜m＜.故选A.

答案　A

4.定义在R上的函数f（x），对∀x1，x2∈R都有f（x1＋x2）＝f（x1）＋f（x2）＋1，则下列命题正确的是（　　）

A.f（x）是偶函数B.f（x）是奇函数

C.f（x）＋1是偶函数D.f（x）＋1是奇函数

解析　取x1＝x2＝0，得f（0＋0）＝f（0）＋f（0）＋1，所以f（0）＝－1.取x1＝x，x2＝－x，得f[x＋（－x）]＝f（x）＋f（－x）＋1，即f（0）＝f（x）＋f（－x）＋1，所以f（－x）＋1＝－[f（x）＋1]，所以函数f（x）＋1是奇函数，故选D.

答案　D

5.（2016·重庆一中月考）若定义在实数集R上的偶函数f（x）满足f（x）＞0，f（x＋2）＝对任意x∈R恒成立，则f（2015）＝（　　）

A.4B.3C.2D.1

解析　因为f（x）＞0，f（x＋2）＝，

所以f（x＋4）＝f（（x＋2）＋2）＝＝＝f（x），

即函数f（x）的周期是4.所以f（2015）＝f（504×4－1）＝f（－1）.

因为函数f（x）为偶函数，所以f（2015）＝f（－1）＝f

（1）.

当x＝－1时，f（－1＋2）＝，得f

（1）＝.

又f（x）＞0，得f

（1）＝1，所以f（2015）＝f

（1）＝1.

答案　D

6.（2015·长春外国语学校期中）已知定义在R上的函数f（x）满足f（－x）＋f（x）＝0，且f（x＋1）＝f（1－x），若f

（1）＝5，则f（2015）＝（　　）

A.5B.－5C.0D.3

解析　∵定义在R上的函数f（x）满足f（－x）＋f（x）＝0，

∴f（－x）＝－f（x），∵f（x＋1）＝f（1－x），

∴f（x＋2）＝f[（x＋1）＋1]＝f[1－（x＋1）]＝f（－x）＝－f（x），

即f（x＋2）＝－f（x），∴f（x＋4）＝－f（x＋2）＝－[－f（x）]＝f（x），

即f（x＋4）＝f（x），∴函数的周期为4，

∴f（2015）＝f（4×504－1）＝f（－1）＝－f

（1），

∵f

（1）＝5，∴f（2015）＝－5.故选B.

答案　B

二、填空题

7.设函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝x＋1，则f＝________.

解析　f＝f＝f＝＋1＝.

答案　

8.（2015·长春质检）已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增，且f

（1）＝0，则不等式f（x－2）≥0的解集是________.

解析　由已知可得x－2≥1或x－2≤－1，解得x≥3或x≤1，

∴所求解集是（－∞，1]∪[3，＋∞）.

答案　（－∞，1]∪[3，＋∞）

9.（2016·云南适应性考试）若函数f（x）＝2x＋sinx对任意的m∈[－2，2]，有f（mx－3）＋f（x）＜0恒成立，则x的取值范围是________.

解析　易知f（x）是R上的奇函数，由f′（x）＝2＋cosx＞0，知f（x）为增函数，

∵f（mx－3）＋f（x）＜0可变形为f（mx－3）＜f（－x），

∴mx－3＜－x，∴mx－3＋x＜0.

设g（m）＝x·m－3＋x，由题意知当m∈[－2，2]时，g（m）＜0恒成立，则当x≥0时，g

（2）＜0，即2x－3＋x＜0，则0≤x＜1；当x＜0时，g（－2）＜0，即－2x－3＋x＜0，则－3＜x＜0.∴所求的x的取值范围是（－3，1）.

答案　（－3，1）

三、解答题

10.已知函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x＋y）＋f（x－y）＝2f（x）·f（y），且f（0）≠0，求证：

f（x）是偶函数.

证明　已知对任意x，y∈R，都有f（x＋y）＋f（x－y）＝2f（x）·f（y），不妨取x＝0，

y＝0，则有2f（0）＝2[f（0）]2，因为f（0）≠0，所以f（0）＝1.

取x＝0，得f（0＋y）＋f（0－y）＝f（y）＋f（－y）＝2f（0）·f（y）＝2f（y）.

所以f（y）＝f（－y）.又y∈R，所以函数f（x）是偶函数.

11.设函数f（x）在R上满足f（2－x）＝f（2＋x），f（7－x）＝f（7＋x），且在闭区间[0，7]上只有f

（1）＝f（3）＝0.

（1）试判断函数y＝f（x）的奇偶性；

（2）试求方程f（x）＝0在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论.

解　

（1）∵f

（1）＝0，且f（x）在[0，7]上只有f

（1）＝f（3）＝0，

又∵f（2－x）＝f（2＋x），令x＝－3，f（－1）＝f（5）≠0，

∴f（－1）≠f

（1），且f（－1）≠－f

（1）.∴f（x）既不是奇函数，也不是偶函数.

（2）f（10＋x）＝f[2＋（8＋x）]＝f[2－（8＋x）]＝f（－6－x）＝f[7－（13＋x）]＝f[7＋13＋x]

＝f（20＋x），∴f（x）以10为周期.

又f（x）的图象关于x＝7对称知，f（x）＝0在（0，10）上有两个根，

则f（x）＝0在（0，2005]上有201×2＝402个根；

在[－2005，0]上有200×2＝400个根；因此f（x）＝0在闭区间上共有802个根.

12.（2016·合肥模拟）已知定义域为R的奇函数f（x）满足f（x＋1）＝f（x－1），且当x∈（0，1）时，f（x）＝.

（1）求f（x）在区间[－1，1]上的解析式；

（2）若存在x∈（0，1），满足f（x）＞m，求实数m的取值范围.

解　

（1）当x∈（－1，0）时，－x∈（0，1）.由f（x）为R上的奇函数，

得f（－x）＝－f（x）＝＝，即f（x）＝，x∈（－1，0）.

又由f（x）为R上的奇函数，得f（0）＝0，

∵f（x＋1）＝f（x－1），∴当x＝0时，f

（1）＝f（－1）.

又∵f（－1）＝－f

（1），∴f（－1）＝0，f

（1）＝0，

故f（x）在区间[－1，1]上的解析式为f（x）＝

（2）∵f（x）＝＝＝1－.

又x∈（0，1），∴2x∈（1，2），∴1－∈.

若存在x∈（0，1），满足f（x）＞m，则m＜，故实数m的取值范围是.