小学三年级奥数第23讲 盈亏问题含答案分析.docx

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小学三年级奥数第23讲盈亏问题含答案分析

第23讲盈亏问题

一、专题简析：

把一定数量的物品，平均分给一定数量的人，每人少分，则物品有余（盈）；每人多分，则物品不足（亏）。

已知所盈和所亏的数量，求物品数量和人数的应用题叫盈亏问题。

盈亏问题的基本解法是：

份数=（盈＋亏）÷两次分配数的差，物品数可由其中一种分法的份和盈亏数求出。

解答盈亏问题的关键是要求出总差额和两次分配的数量差，然后利用基本公式求出分配者人数，进而求出物品的数量。

二、精讲精练

例1：

小明的妈妈买回一篮梨，分给全家。

如果每人分5个，就多出10个；如果每人分6个，就少2个。

小明全家有多少人？

这篮梨有多少个？

练习一

1、幼儿园阿姨把一袋糖分给小朋友们，如果每人分10粒糖，则多了8粒糖；如果每人分11粒糖，则少了16粒糖。

一共有多少个小朋友？

这袋糖有多少粒？

2、有一根绳子绕树4圈，余2米；如果绕树5圈，则差6米。

树周长是多少米？

绳子长多少米？

例2：

幼儿园买来一些玩具，如果每班分8个玩具，则多出2个玩具；如果每班分10个玩具，则少12个玩具。

幼儿园有几个班？

这批玩具有多少个？

练习二

1、小明带了一些钱去买苹果，如果买3千克，则多出2元；如果买6千克，则少了4元。

苹果每千克多少元？

小明带了多少钱？

2、一个小组去山坡植树，如果每人栽4棵，还剩12棵；如果每人栽8棵，则缺4棵。

这个小组有几人？

一共有多少棵树苗？

例3：

老师买来一些练习本分给优秀少先队员，如果每人分5本，则多了14本；如果每人分7本，则多了2本。

优秀少先队员有几人？

买来多少本练习本？

练习三

1、把一袋糖分给小朋友们，如果每人分4粒，则多了12粒；如果每人分6粒，则多了2粒。

有小朋友几人？

有多少粒糖？

2、妈妈买来一些苹果分给全家人，如果每人分6个，则多了12个；如果每人分7个，则多了6个。

全家有几人？

妈妈共买回多少个苹果？

例4：

学校派一些学生去搬一批树苗，如果每人搬6棵，则差4棵；如果每人搬8棵，则差18棵。

学生有几人？

这批树苗有多少棵？

练习四

1、自然课上，老师发给学生一些树叶。

如果每人分5片叶子，则差3片叶子；如果每人分7片叶子，则差25片树叶。

学生有几人？

一共有树叶多少片？

2、数学兴趣小组的同学做数学题，如果每人做6道，则少4道；如果每人做8道，则少16道。

有几个学生？

多少道数学题？

例5：

三

（1）班学生去公园划船，如果每条船坐4人，则少一条船；如果每条船坐6人，则多出4条船。

公园里有多少条船？

三

（1）班有多少学生？

练习五

1、学校给新生分配宿舍，如果每间住8人，则少2间房；如果每间住10人，则多出2间房。

共有几间房？

新生有多少人？

2、同学们去划船，如果每条船坐5人，则少2条船；如果每船坐7人，则多出2条船。

共有几条船？

有多少个同学？

三、课后作业

1、一些同学去划船，如果每条船坐5人，则多出3个位置；如果每条船坐4人，则有3个人没有位置。

一共有多少条船？

一共有多少个同学？

2、一组学生去搬书，如果每人搬2本，还剩下12本；如果每人搬3本，还剩下6本。

这组学生有几人？

这批书有几本？

3、某学校有一些学生住校，每间宿舍住8人，则差床位24张；如果每间宿舍住10人，则空出床位2张。

学校共有几间宿舍？

住宿学生有几人？

4、学校排练节目，如果每行排8人，则有一行少2人；如果每行排9人，则有一行少7人。

一共要排几行？

一共有多少人？

5、小明从家到学校，如果每分钟走40米，则要迟到2分钟；如果每分钟走50米，则早到4分钟。

小明家到学校有多远？

第二十三讲盈亏问题（答案）

专题简析：

把一定数量的物品，平均分给一定数量的人，每人少分，则物品有余（盈）；每人多分，则物品不足（亏）。

已知所盈和所亏的数量，求物品数量和人数的应用题叫盈亏问题。

盈亏问题的基本解法是：

份数=（盈＋亏）÷两次分配数的差，物品数可由其中一种分法的份和盈亏数求出。

解答盈亏问题的关键是要求出总差额和两次分配的数量差，然后利用基本公式求出分配者人数，进而求出物品的数量。

例题1小明的妈妈买回一篮梨，分给全家。

如果每人分5个，就多出10个；如果每人分6个，就少2个。

小明全家有多少人？

这篮梨有多少个？

思路导航：

根据题目中的条件，我们可知：

第一种分法：

每人分5个，多10个；

第二种分法：

每人分6个，少2个。

这说明全家人数为：

10＋2=12人，也就是说：

不足的个数＋多余的个数=全家的人数

这篮梨的个数是：

5×12＋10=70个

练习一

1，幼儿园阿姨把一袋糖分给小朋友们，如果每人分10粒糖，则多了8粒糖；如果每人分11粒糖，则少了16粒糖。

一共有多少个小朋友？

这袋糖有多少答案

解:

（8+16）÷（11-10）

＝24÷1

＝24（人）

答:

一共有24个小朋友.

解析

根据题意知,每人多分粒,则可把原来多出的8粒分完,还能分16粒,就是每人多分1粒,可多分粒,据此可求出小朋友的人数.粒？

2，有一根绳子绕树4圈，余2米；如果绕树5圈，则差6米。

树周长是多少米？

绳子长多少米？

答案

解：

树的周长:

（2+6）÷（5－4）=8（米）

绳子的长度:

8×4+2=34（米）

答:

树周长是8米，绳子长34米.

故答案为：

8米；34米

解析

两次绕树的数量差为：

2+6=8（米），第二次比第一次多绕5-4=1（圈）；所以可以求出一圈的长度（树的周长），列式为:

8÷1=8（米），那么绳子长为：

8×4+2=34（米）；据此解答.

盈亏问题的解答思路是:

通过比较已知条件，找出两个相关的差数，一是总差额，二是每份的差额，将这两个差相除，就可求出总份数，然后再求物品数；基本关系式为:

总差额÷每份的差额=总份数.

3，一些同学去划船，如果每条船坐5人，则多出3个位置；如果每条船坐4人，则有3个人没有位置。

一共有多少条船？

一共有多少个同学？

答案

解：

设一共有x条船  

 5x－3=4x+3

 5x-4x=3+3

         x=6

5×6－3=27（人）

答：

一共有6条船，共有27个同学.

故答案为：

6条；27个.

解析

本题可列方程求解，设一共有x条船，因为学生人数不变，根椐每只船坐5人，则多出3个位置与每只船坐4人，有3个人没有位置列出等式求解.

含有未知数的等式就叫做方程；解方程：

求方程的解的过程；方程的解：

求出的未知数的值，使得方程中等号两边相等的未知数的值叫做方程的解.

例题2幼儿园买来一些玩具，如果每班分8个玩具，则多出2个玩具；如果每班分10个玩具，则少12个玩具。

幼儿园有几个班？

这批玩具有多少个？

思路导航：

根据题目中的条件，我们可知：

第一种分法：

每班分8个，多2个；

第二种分法：

每班分10个，少12个。

从上面的条件中，我们可看出：

第二种分法比第一种分法每班多分10－8=2个，所以，所需的玩具总个数从多2个变成了少12个，也就是说在多2个的基础上再加12个，才能保证每班分10个；第二种分法所需的玩具个数比第一种多12＋2=14个，那是因为每班多分了2个。

根据这一对应关系，即可求出班级的个数为：

14÷2=7个，玩具的总个数为8×7＋2=58个。

练习二

1，小明带了一些钱去买苹果，如果买3千克，则多出2元；如果买6千克，则少了4元。

苹果每千克多少元？

小明带了多少钱？

答案

解：

设苹果每千克x元，那么

       3x+2=6x-4

            3x=6

              x=2

     3x+2=8

答：

苹果每千克2元，小玲带了8元钱.

故答案为：

2；8.

本题考查了列方程解决求两个未知数的应用问题，方程的意义和方程的解的意义，用方程表示数量关系，列方程解决实际问题等知识点，是对方程的灵活运用，根据题意列出方程是解答此类题目的关键，最后正确计算出结果就可以了.

解析

本题是一道应用题，根据题意可以发现题目中有两个未知数，并且存在一定的等式关系，经过思考我们可以用方程来表示其中的等式关系进而求得题目的答案.

2，一个小组去山坡植树，如果每人栽4棵，还剩12棵；如果每人栽8棵，则缺4棵。

这个小组有几人？

一共有多少棵树苗？

答案

解：

这个小组的人数为：

（12+4）÷（8-4），

=16÷4，

=4（人）；

一共有树苗：

4×4+12，

=16+12，

=28（棵）；

答：

这个小组有4人，一共有28棵树苗．

故答案为：

4人；28棵

解析

如果每人栽4棵，还剩下12棵树苗，如果每人栽8棵，就少了4棵树苗．前后树苗棵数差为12+4=16（棵），每人栽的棵数差为8-4=4（棵），每人少栽4棵，就差16棵，所以人数为16÷4=4（人）；求一共有多少棵树苗，可以有两种方法．

3，一组学生去搬书，如果每人搬2本，还剩下12本；如果每人搬3本，还剩下6本。

这组学生有几人？

这批书有几本？

答案

学生有6人，书有24本

例题3老师买来一些练习本分给优秀少先队员，如果每人分5本，则多了14本；如果每人分7本，则多了2本。

优秀少先队员有几人？

买来多少本练习本？

思路导航：

根据题目中的条件，我们可知：

第一种分法：

每人5本，多了14本；

第二种分法：

每人7本，多了2本。

从上面可知第二种分法比第一种分法每人多分了7－5=2本，这样就从原来的多14本变为多2本，两种分配方法的结果相差了14－2=12本，每人多分了2本，多少人会多分了12本呢？

根据这一对应关系，可求出优秀少先队员的人数为12÷2=6人，练习本的本数为：

5×6＋14=44本。

练习三

1，把一袋糖分给小朋友们，如果每人分4粒，则多了12粒；如果每人分6粒，则多了2粒。

有小朋友几人？

有多少粒糖？

答案

设有x个小朋友，

4x+12=6x+2

  2x=10

  x=5（列方程【解题方法-解题方法】）

4×5+12=32（粒）

答：

有5个小朋友，32粒糖.

解析

本题考查的是列方程解决实际问题的应用，解答本题的关键是理解无论怎样分，糖的数量和小朋友的数量都是不变的，根据这一等量关系列方程即可，计算过程中注意等号要对齐.

1、本题是列方程解决实际问题的应用，解答本题的关键是找到等量关系；

2、设有x个小朋友，每人分4粒，则多了12粒，糖的数量列式为4x+12；如果每人分6粒，则多了2粒，糖的数量列式为6x+2；

3、根据糖的总量不变列方程解答即可.

2，妈妈买来一些苹果分给全家人，如果每人分6个，则多了12个；如果每人分7个，则多了6个。

全家有几人？

妈妈共买回多少个苹果？

答案

解：

　（12－6）÷（7－6）

＝6÷1

＝6（人）

　7×6＋6

＝42＋6

＝48（个）

答：

全家有6人，妈妈共买回48个苹果．

故答案为：

6人；48个．

通过比较已知条件，找出两个相关的差数，一是总差额，二是每份的差额，将这两个差相除，就可以求出总份数，然后再求物品数；基本关系式为：

总差额÷每份的差额＝总份数．

解析

＂如果每人分6个，则多12个；如果每人分7个，则多了6个”，每人多分了（7－6）＝1个，则相差（12－6）＝6个，所以6÷1＝6个小朋友；然后再根据每人分7个，则多6个，来求出妈妈买回的苹果个数．

3，某学校有一些学生住校，每间宿舍住8人，则空出床位24张；如果每间宿舍住10人，则空出床位2张。

学校共有几间宿舍？

住宿学生有几人？

答案

解：

设学校共有X间宿舍.

　　8x＋24＝10x+2

2x=22

x=11

10×11+2=112（人）

答：

学校共有11间宿舍，住宿学生有112人.

故答案为：

11；112.

解析

假设有X间宿舍，根据两种分配方式列出方程，然后根据求得的宿舍间数再求住宿学生人数.

根据题意设出未知数，然后根据人数相等列出方程解答.                                                                                                                        

例题4学校派一些学生去搬一批树苗，如果每人搬6棵，则差4棵；如果每人搬8棵，则差18棵。

学生有几人？

这批树苗有多少棵？

思路导航：

根据题意，我们可知搬树苗的两种方案：

第一种方案：

每人搬6棵，差4棵；

第二种方案：

每人搬8棵，差18棵。

比较两种方案，每人多搬了8－6=2棵树苗，所需的树苗就从差4棵变为差18棵，结果相差了18－4=14棵，每人多搬了2棵，多少人会多搬了14棵呢？

根据这一对应关系，可以求出学生人数为：

14÷2=7人，树苗的棵数为：

6×7－4=38棵。

练习四

1，自然课上，老师发给学生一些树叶。

如果每人分5片叶子，则差3片叶子；如果每人分7片叶子，则差25片树叶。

学生有几人？

一共有树叶多少片？

答案

解：

（25-3）÷（7-5）=11（人）

11×5-3=52（片）

答：

学生有11人，一共有52片树叶.故答案为：

11人；52片

解析

根据题意，找出盈亏关系后，可用盈亏关系式进行解答.

2，数学兴趣小组的同学做数学题，如果每人做6道，则少4道；如果每人做8道，则少16道。

有几个学生？

多少道数学题？

答案

解：

同学数：

（16－4）÷（8－6）＝6（个），题目数：

6×6－4＝32（道）或8×6－16＝32（道）

故答案为：

6个32道

解析

比较两次做题中各个量之间的数量关系，利用解决盈亏问题的一般方法进行计算.

求出两次做的题目的差的总额和每个人做题的差是解决问题的关键.

3，学校排练节目，如果每行排8人，则有一行少2人；如果每行排9人，则有一行少7人。

一共要排几行？

一共有多少人？

答案

根据题意可列式子为：

（7-2）（9-8）=5（行）

58-2=38（人）

答：

一共要排5行，一共有38人.

例题5三

（1）班学生去公园划船，如果每条船坐4人，则少一条船；如果每条船坐6人，则多出4条船。

公园里有多少条船？

三

（1）班有多少学生？

为了帮助理解，我们可以将题目中的条件进行转化。

将条件“如果每条船坐4人，则少一条船”转化为：

“如果每条船坐4人，则多出4人”；再将条件“如果每条船坐6人，则多出4条船”转化为：

“如果每条船坐6人，则差6×4=24人”。

这样两种分配方法就相差了24＋4=28人，这是因为每条船多坐了6－4=2人。

根据这一关系，可求出船的条数：

28÷2=14条，学生人数：

4×（14＋1）=60人。

练习五

1，学校给新生分配宿舍，如果每间住8人，则少2间房；如果每间住10人，则多出2间房。

共有几间房？

新生有多少人？

答案

解：

设一共有x间房分给新生.

6x＋6×2＝8（x－2）

6x＋12＝8x－16

2x＝28

x＝14

新生人数：

6×14＋12＝96（人）.故答案为：

14间；96人

本题的关键是抓住新生人数一定，住6人间和住8人间的人数相等，建立方程.

解析

根据题意可设一共有x间房分给新生.根据新生人数一定，住6人间和住8人间的人数相等，建立方程，先解出房间数，再求出新生人数.

2，同学们去划船，如果每条船坐5人，则少2条船；如果每船坐7人，则多出2条船。

共有几条船？

有多少个同学？

答案

解：

设租了x条船，根据题意得

5x+2×5=7x-2×7

5x+10=7x-14

5x+10-5x=7x-14-5x

10=2x-14

2x-14=10

2x-14+14=10+14

2x=24

2x÷2=24÷2

x=12（条）

12×5+2×5=60+10=70（人）

所以共有12条船．有70个同学.

故答案为：

12；70.

解析

因去的同学一定，根据题意知：

船数×5+2×5=船数×7-2×7，据此等量关系可列方程解答.

本题的关键是根据人数一定先求船数，再求学生数．

3，小明从家到学校，如果每分钟走40米，则要迟到2分钟；如果每分钟走50米，则早到4分钟。

小明家到学校有多远？

答案

解：

可假设小明走两次，时间相同，但速度不同，那么每分钟走50米就要比每分钟走40米多走了50×4+40×2=280米。

相差的路程除以相差的速度就可以求出时间，再用时间乘速度可以求出路程。

故答案为：

40×2+50×4=280米

280÷（50―40）=28分

（28—4）×50=1200米

答：

小明家到学校有1200米。

行程问题的基本公式：

路程=速度×时间。

路程差=速度差×时间。

运用好这些公式，在题中找到相应的条件。

题中要先求出路程差，而且这里是用加法，因为每分钟走40米要迟到2两分钟，每分钟走50早到两分钟。

解析

这是行程问题，路程=速度×时间。

还有速度差的问题，路程差的问题。

而题目并没有告诉行程的时间，这里就可以假设小明从家到学校的时间一定。