高中数学解三角形知识点汇总情况及典型例题1.docx
《高中数学解三角形知识点汇总情况及典型例题1.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学解三角形知识点汇总情况及典型例题1.docx（21页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
高中数学解三角形知识点汇总情况及典型例题1
解三角形的必备知识和典型例题及详解
一、知识必备：
1•直角三角形中各元素间的关系：
在△ABC中，C=90°,AB=c,AC=b,BC=a。
（1）三边之间的关系：
a2+b2=c2。
（勾股定理）
（2）锐角之间的关系：
A+B=90°;
（3）边角之间的关系：
（锐角三角函数定义）
aba
sinA=cosB=—,cosA=sinB=—,tanA=—。
ccb
2•斜三角形中各兀素间的关系：
在AABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。
（1）三角形内角和：
A+B+C=n。
（2）正弦定理：
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等口
abc十
2R（R为外接圆半径）
sinAsinBsinC
（3）余弦定理：
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积
的两倍口
a2=b2+c2—2bccosA;b2=c2+a2—2cacosB;c2=a2+b2—2abcosC°
3•三角形的面积公式：
111一亠
（1）S=aha=bhb=chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的咼）；
222
c111
（2）S=_absinC=一bcsinA=一acsinB；
222
4•解三角形：
由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）
文档
求其他未知元素的问题叫做解三角形•广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等•主要类型：
（1）两类正弦定理解三角形的问题：
第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角
第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角
（2）两类余弦定理解三角形的问题：
第1、已知三边求三角•
第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角
5•三角形中的三角变换
三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
（1）角的变换
—tanC。
因为在△ABC中，A+B+C=n,所以sin（A+B）=sinC;cos（A+B）=—cosC;tan（A+B）=.ABCAB.C
sincos—,cossin；
2222
（2）判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式
6.求解三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：
分析题意，弄清已知和所求；
（2）建模：
将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；
（3）求解：
正确运用正、余弦定理求解；
（4）检验：
检验上述所求是否符合实际意义。
二、典例解析
题型1:
正、余弦定理
到1cm）o
解：
（1）根据三角形内角和定理,
a42.9cm，解三角形;
例1•
（1）在ABC中，已知A32.00,B81.80
因为00vBv1800，所以B640，或B1160.
casnC空啤30（cm）.sinAsin400
②当B1160时,
（2）
点评：
应用正弦定理时
（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形;
对于解三角形中的复杂运算可使用计算器题型2:
三角形面积
例2•在ABC中，sinAcosA
2,AC2,AB3，求tanA的值和ABC的面积。
解法一：
先解三角方程，求出角A
的值。
2
sinAcosAj2cos（A45）-—,
2
1
cos（A45）-.
又0A180,A45o60o,A105.°
oo1\/3L
tanAtan（4560）一字2J3,
173
42
sinAsin105sing560）sin45co$60cos45sin60——-—.
11/2洽n
SabcACABsinA23近46）。
2244
解法二：
由sinAcosA计算它的对偶关系式sinAcosA的值。
v2—
sinAcosA——①
2
21
（sinAcosA）2
2
1
2sinAcosA—
2
Q0oA180o,sinA0,cosA0.
1
另解（sin2A—）
2
23
（sinAcosA）12sinAcosA—,
*'6_
sinAcosA—②
2
$2J6
①+②得sinA。
4
①-②得cosA<6。
4
u而丄asinAJ2J64c匚
从而tanAll2~3。
cosA4v2v6
以下解法略去。
点评：
本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题。
两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？
题型3:
三角形中的三角恒等变换问题
例3•在△ABC中，a、b、c分别是/A、/B、/C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2
的值。
bsinB
c2=ac—bc，求/A的大小及c
分析：
因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求/A,需找/A与三边的关系，故可用余弦定理。
的值。
由b2=ac可变形为b^=a，再用正弦定理可求bsinB
c
解法一：
•••a、b、c成等比数列，•••b2=ac。
又a2—c2=ac-bc,「.b2+c2—a2=bc。
在△ABC中，由正弦定理得
bsinA
sinB=
a
vb2=ac,
•••ZA=60°。
/A=60°,
2
bsinBbsin60
=sin60
ac
解法二：
在△ABC中,
11
由面积公式得一bcsinA=—acsinB。
22
'/b2=ac,ZA=60°，-bcsinA=b2sinB。
••bsinB=sinA亠。
c2
评述：
解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。
题型4:
正、余弦定理判断三角形形状
1.414，
2.449）
解:
在△ABC中，/DAC=30°ZADC=60°-zDAC=30,
ABAC
在AABC中，sinBCAsinABC
所以CD=AC=0.1又ZBCD=180°-60°-60°60°,
故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA,
ACsin603、2v6
因此,
BD=
0.33km。
20
即AB=sin1520
故B,D的距离约为0.33km。
点评：
解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低,对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关。
三、思维总结
1•解斜三角形的常规思维方法是：
（1）已知两角和一边（如A、B、C）,由A+B+C=n求C,由正弦定理求a、b;
（2）已知两边和夹角（如a、b、c）,应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的
角，然后利用A+B+C=n,求另一角；
（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A）,应用正弦定理求B,由A+B+C=n求C,再
由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况；
（4）已知三边a、b、c,应余弦定理求A、B,再由A+B+C=n,求角C。
2•三角学中的射影定理：
在△abc中，bacosCccosA，…
3.两内角与其正弦值：
在△abc中，ABsinAsinB，…
4•解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。
三、课后跟踪训练
1.（2010上海文数18.）若厶ABC的三个内角满足
，则△ABC
sinC2、3sinB，则a=（
sinA:
sinB:
sinC5:
11:
13
【答案】A【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。
由正弦定理得
c2ibc2、.3b,
所以cosA=
.222
b+c-a
3bc2■3bc.3
2bc
2bc
2bc
2，所以A=300
2R2R
【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。
3.
，贝bosB=
（2010湖北理数）3.在ABC中，a=15,b=10,A=60
bL2cd_1
3333
故B为锐角，所以cosB
.1Sin2B
兰，故D正确.
3
【答案】D
4.（2010广东理数）11.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=.3,A+C=2B,
贝UsinC=L
一1胚1
解：
由A+C=2B及A+B+C=180°知,=60°由正弦定理知，o，即sinA—.由
sinAsin602
ab知，AB60o，则A30°,
C180oAB180°30°60°90°,sinCsin90°1
AC
5（2009湖南卷文）在锐角ABC中，BC1,B2A,则的值等于,AC的取值范
c°sA
围为
解析
设A,
B
2.由正弦定理得
AC
BC
AC
4
AC
2.
sin2
sin'
2c°s
1
c°s
由锐角
ABC得0°
2
90°
0°
45°：
又0°
180°3
90°
30°
60°,
故30°
45°
_2
c°s
_3
22
AC2c°s（2,,3）.
22
6.（2009全国卷i理）在ABC中，内角a、B、c的对边长分别为a、b、c，已知ac2b,
且sinAc°sC3c°sAsinC,求b
分析：
：
此题事实上比较简单，但考生反应不知从何入手•对已知条件
（1）a2c22b左侧是二次
的右侧是一次的，学生总感觉用余弦定理不好处理，而对已知条件
（2）
sinAcosC3cosAsinC,过多的关注两角和与差的正弦公式，甚至有的学生还想用现在已经
不再考的积化和差，导致找不到突破口而失分
解法：
在abc中则QsinAcosC3cosAsinC,由正弦定理及余弦定理
2.22.222abc」ca有:
ag3
SP,
2bc
2ab
75
sinA,sinB
5
10
10
（I）求AB的值;
（II）若ab21，求a、b、c的值。
解得b4或b0（舍）.
点评：
在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解,
同时结合三角变换公式的逆用。
45710
解（A、B为锐角，sinAy，sinB石
2~25丁310
…cosA/sinA5asBXsinB10
由正弦定理得
AB
sinADB
AD
sinB
•'•AB=ADgsinADB10sin60
sinBsin45
2
•••0A
B
5
A
B
4
（ii）由（I）
知C
3
?
sinC
2
4
2
a
b
c
由
得
sinAsinB
sinC
.5a10b
2c,
即a
-2b,c
5b
又ab.21
•••\2bb21•••b1
a\2,c.5
9.（2010陕西文数17）（本小题满分12分）
由余弦定理得
ADC=120°,ADB=60
在AABD中，AD=10,B=45°,ADB=60
10.（2010辽宁文数17）（本小题满分12分）
在ABC中，a、b、c分别为内角AB、C的对边,
且2asinA（2bc）sinB（2cb）sinC
（I）求A的大小；
（n）若sinBsinC1，试判断ABC的形状•
2
解：
（I）由已知，根据正弦定理得2a（2bc）b（2cb）c
2.22.
即abcbc
222
由余弦定理得abc2bccosA
1
故cosA丄,A120
2
222
4）由（i）得sinAsinBsinCsinBsinC.
1
又sinBsinC1，得sinBsinC—
2
因为0B90,0C90,
故BC所以ABC是等腰的钝角三角形。
11.（2010辽宁理数）（17）（本小题满分12分）
在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且
2asinA（2ac）sinB（2cb）sinC.
（I）求A的大小；
（n）求sinBsinC的最大值.
2解：
（i）由已知，根据正弦定理得2a（2bc）b（2cb）c
222
即abcbc
222
由余弦定理得abc2bccosA
1
故cosA-,A=120°……6分
2
（n）由（i）得：
sinBsinCsinBsin（60B）
31
cosB—sinB
22
sin（60B）
故当B=30。
时，sinB+sinC取得最大值1。
补充:
海伦公式:
有一个三角形，边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得:
s-^p（p-a）（p-b）（p-c）
而公式里的p为半周长（周长的一半）
a-t-b+c
基本关系转化:
倒数关系：
山：
」、八以一I；，-I；書谜门:
.”儿
商的关系：
sinrr
COSOf
tann—
cat（T=—
cos：
a
平方关系：
sin2a^cos3a-
1.；1+仙％二sec2a；1+cot2a-esc2a
和差角公式
Bn（□+#}=sinacosp-kcasnrsin^
二sinacos0・cci^e5irip
cosi広+0}二costfcos^-^inasinp=cosircos^+sinasin
1-tanatanptana-tan
COttfCOt^-1
Hcot^-cottf
sin（a+^+y）=sinacos^cosy+cosasincos^+cos和差化积
丘片.at+0a-fi
sinff-ksnip=2sin—j—cos?
L-“”盘+0■口一0
sinff-snip=2cossin
”_a+0ar—
cosn十co^p—2cos―cos―^2-
cosa—cos=—251112
+0■a—0sun—-—2
sin（«+^）ana+tanp二—
cosacose
口诀：
正加正，正在前，余加余，余并肩正减正，余在前，余减余，负正弦
积化和差
cosasin
inacosj!
=^[sin（a+^）+sui（a—/S）]
二二二in0=y[sin（
cosrrccs/T=—|cosIn--+卩—匚osl.ti一卩）]
sixiasui^=[co8（a+fi）-costa
倍角公式
sin2a二2sinncos*r
cos2a=cosza-sin2zr-2cos2a-1-1-2sinZff
2tan«
tan2cr二-―-—j—
1一tanza
三倍角
三倍角公式推导
sin（3a）宀3sina-4sin^3a
=sin（a+2a）
=sin2acosa+cos2asina
=2sina（1-sin^2a）+（1-2sin^2a）sina
=3sina-4sin^3a
cos3at4cosA3a-3cosa
=cos（2a+a）
=cos2acosa-sin2asina
=（2cosA2a-1）cosa-2（1-cosA2a）cosa
=4cosA3a-3cosa
sin3at4sinasin（60°a）sin（60°-a）
=3sina-4sinA3a
=4sina（3/4-sinA2a）
=4sina[（V3/2）-sina][（V3/2）+sina]
=4sina（sin60°sina）（sin60°sina）
=4sina*2sin[（60+a）/2]cos[（60°-a）/2]*2sin[（60°-a）/2]cos[（60°a）/2]
=4sinasin（60°+a）sin（60°-a）
cos3at4cosacos（60°-a）cos（60°a）
=4cos^3a-3cosa
=4cosa（cos^2a-3/4）
=4cosa[cosA2a-（V3/2）A2]
=4cosa（cosa-cos30°）（cosa+cos30°）
=4cosa*2cos[（a+30°）/2]cos[（a-30°）/2]*{-2sin[（a+30°）/2]sin[（a-30°）/2]}
=-4cosasin（a+30°）sin（a-30°）
=-4cosasin[90。
-（60°a）]sin[-90°+（60°+a）]
=-4cosacos（60°-a）[-cos（60°+a）]
=4cosacos（60°-a）cos（60°+a）
tan3atanatan（60°-a）tan（60°+a）
上述两式相比可得
tan3a=tanatan（60°-a）tan（60°+a）
三倍角
sin3a=3sina-4sin人3a=4sinasin（n/3+a）sin（n/3-a）
cos3a=4cosA3a-3cosa=4cosaCOS（n/3+a）COS（n/3-a）
tan3a=tan（a）*（-3+tan（a）人2）/（-1+3*tan（a）人2）=tana•tan（n/3+a）•tan（n/3-a）
半角公式
asina1-cosa11-cosa
tm2=
14-cosarsintr
sina1-cosa
1+cosar
V1-cosft
（正负由■所在的象限决定）
万能公式
sina二
2t3n?
1+tan22
cosa二
1-Un25
1+tan?
j
tana=
2tan
1-tan2j
升级会员 