经济意义：
投入要素X1和X2与其边际产品的乘积之和等于k倍的产出量。
（2）克拉克定理:
Xff「x2f2=f（x,,x2）
经济意义：
总产出可按投入要素的边际产品完全分配。
（3）现实意义：
每种投入按其边际产出将全部产品耗尽按这种理论分析，则最大化长期利润等于0（长期每种生
产要素都可以调整）。
4.证明利润函数是价格的凸函数。
令价格分别为p,p,p时的产出为y,y,y,其中
P=tp（Vt）p
:
（p）=py=[tp（Vt）p]y=tpy（Vt）py
py£py（因为y是价格p下的利润最大化产出，其他产出的利润都小于py）
同理，py-py，代入（*）得到：
:
（pptpy（Vt）py=t（p）（1-1）（p）
5.给出要素需求函数、条件要素需求函数、成本函数及利润函数形式化描述，并解释经济意义。
说明其性质，并证
明其中的凹凸性性质。
（1）要素需求函数：
利润最大化问题的解（最优要素投入）
（2）条件要素需求函数：
成本最小化问题的解（最优要素投入）
（3）成本函数：
实现一定产量的最小化成本
（4）利润函数：
在一定技术约束下的最大化利润
二、计算题
1产商的生产函数f（Xi，Xi）=Xi13X213，求其
（1）要素需求函数和条件要素需求函数；
（2）成本函数和利润函数。
（1）先求条件要素需求函数
求解成本最小化问题：
minWN+w2x2s.t.y=x：
/3x2/3
建立拉格朗日函数：
L=w1x^w2x2+入（y-x1/3x2）
三个一阶条件：
L
1.-2/31/3
i
—2/3
i/3
=Wi-「XiX2=
0=
Wi=
—A
Xi
X2
（1）
Xi
3
3
L
1r-2/31/3
i
—2/3
i/3
二W2X2X!
二
0二
w2=
—扎
X2
Xi
（2）
X2
3
3
L
/31/3
1/3
i/3
3
（i）
W2
X2
=y-片x2=0=y=
Xi
X2二
y
二x2x2
c7v
（2）
w2
Xi
c（w「w2,y）二w1x1w2x2
（3）求要素需求函数
求解利润最大化问题
13-12
27pX2=wz=X2二这两个式子就是要素需求函数。
（4）求利润函数
将两个要素需求函数带入利润函数兀（P,y）=px；/3x；/3—w1X^-w2x2
P
3
PP
3
P
P3w；
1/32/3
w23w
2/31/3
1w227w1w2
27wjw2
3
3
33
P
P
P_P
9ww2
27w1w2
27w1w227w1w2
2、产商的生产函数
1313
f（X!
X!
X1x2
，
（1）用二种方法求
其供给函数
（2）假定生产要素2固定为k，再重新求其供给函数。
（1）用三种方法求其供给函数
方法一：
根据霍特林定理，对利润函数求关于产品价格的导数。
p3"
二（p,w「W2），则供给函数y=—
27w1w2dp
方法二：
将要素需求函数代入生产函数
3
P
27w1w|
3
—P-
X1厂，X2二
7Wjw
方法三：
MC=p
第三部分不确定性选择
，、叙述题
1.给出简单彩票、复合彩票、货币彩票及彩票空间的独立性公理的形式化描述，并解释经济意义。
（1）彩票：
（P；A,C）由备选结果集和相应概率描述。
（2）货币彩票：
W=（J,.；人，…Xn）。
基于货币收益X的所有货币彩票的集合为货币彩票空间L，WLo
（3）复合彩票：
lj为第j个简单彩票：
lj=（p1，…,p*/，…,Xn）,j=1,…，k,
k
送aj=1时，则复合彩票表示为L=俨仆…，口k；h,…，lk）,
j-1
（4）独立性公理。
对于任意匚丄2丄3L,：
「（0,1）,当且仅当：
经济意义：
不确定条件下选择时，各项结果不存在组合问题，即选择是独立的。
2•写出并证明绝对和相对风险系数不变的效用函数。
「…四，令U（x）=y，则「…叫
u（x）y
3•简要分析保险需求理论的基本框架。
保费率为-：
，投保人预交保险费为-q，灾害后获得的赔偿金额为q。
片=m-二q；X2=m-L-二qq=m-L（1-二）q
公平保费率：
厂满足：
（[-p）mp（m-L）二（[-p）（m-二q）p（m-二q-Lq）
解方程有：
=p，就是说保费率与投保的灾害发生率一致，它就是公平的。
现实中，保险公司需要以保费收入冲抵运营成本，所以一般」p。
4•简要分析资产组合理论的基本框架
初始财富W0，效用函数u（）;
两类资产：
安全资产和风险资产。
风险资产的收益率为
▼｛「仆叨，r10，—0，相应的概率为f,V｝。
两种资
产的投资比例分别为a和bo
投资于风险资产的最优比例b*可以通过求解：
max二u（W0brj（V）u（Wdbr2）得到。
1、计算题
1•假定个人具有效用函数u（x）二x,
（1）计算当财富水平W=5时的绝对和相对风险规避系数。
（2）计算彩票
（16412,12）的确定性等价和风险溢价（3）计算彩票（36,16;12,12）的确定性等价和风险溢价。
将这一结果与
（2）比较，并解释。
对同一个人，不同财富水平的彩票有不同确定性等价可能有相同的风险溢价。
解:
1e）x
2
2
（3）c（w）二25，E（w）二26，R（w）二E（w）-c（w）二1
对同一个人，不同财富水平的彩票有不同确定性等价可能有相同的风险溢价。
2•—决策者的效用函数为u（x）二一x，初始财富160000,5%损失70000，5%损失120000,问其愿意支付的最大保
险金额多大？
如果保险公司不承担损失中的7620,其愿意
支付的最大保险金额又多大？
解答：
用确定性等值
5%160000^700005%160000二12000090%160000
=160000F
R=11775
（2）
5%160000=700005%160000=12000090%•160000二
5%160000-7620-R5%160000-7620-R90%160000-R
R二11004
第四部分：
局部、一般均衡和福利经济学
1•设某垄断厂商的成本函数为c（q）=50•20q，市场的需求函数为p=100-4q，求其进行完全价格歧视和没有进行完全价格歧视两种情况下的利润、产量和价格。
（1）非价格歧视时：
R=pq=（100-4q）q,MRT00-8q
MR二MC=100-8q=20，得到：
q=10,p=60
—1060-（502010）=350
（2）完全价格歧视时：
企业的利润=全部的消费者剩余■企业的总成本
q
兀=J。
（100_4x）dx_（50+20q）
=80-4q=0二q=20,p=100-420=20
dq
20
兀=（0（100-4q）dq-（50+20显20）=1200-450=750
2.—个卖方垄断者为两个空间上分离的市场服务，在这两个市场上，可以采取两种价格，不必担心市场之间的竞争和返销。
卖方垄断者的需求和生产成本函数为：
2
Pi=100-2q，P2=120-3q2，c=80（qq?
）-Gq?
）,
请确定口，p2,q,q2的值。
解答：
由于两个市场分离，因此两个市场的价格、需求量独立
&ndji
max二=yp2q^c，0，0
3•考虑具有下列结构的行业。
50个以竞争方式行动的厂商，具有相同的成本函数c（y）=y2/2，—个具有零边际成本的垄断者。
产品的需求曲线由下式给出D=1000-50p。
（1）什么是垄断者的利润最大化产量？
（2）什么是垄断者的利润最大化价格？
（3）在此价格下，该竞争部门供给多少？
解答：
竞争厂商的供给：
p二MC二y
竞争厂商的总供给：
yc二50y二50P
由市场均衡：
D（p）=S（p），1000-50p=50pym
垄断者的产量：
ym=1000-100P
R=ymp=（1000-100p）p,MR=1000-200p=MC=0解得：
p=5,ym二500,yc二250。
5.考虑一种两个人、两种商品、纯交换的竞争经济。
消费者的效用函数为：
Ui二qiiqi2+12qii+3qi2，U^口2心2+8q2i+9q?
2o消费者1的初始拥有量为8单位Q和30单位Q2;消费者2每种商品各拥有10单位。
决定这两个消费者的超额需求函数和这种经济的均衡价格比率。
第1个消费者效用最大化：
6212Pi
Si3P2
U1U1
八qi212八Pi；八qi13八p2；
qi1；qi2
第2个消费者效用最大化:
p
P2
亠q228“；亠q“9=p2；=
q2iq22q2i9结合qiiq2i=i8,qi2q22二40求解，可以得到：
卫=2
P2
6.考虑一个经济，有两家企业，两个消费者。
企业1有消费者1完全所有。
他通过生产函数g=2x，用石油生产枪支。
企业2有消费者2完全所有，他通过生产函数b=3x,用石油生产黄油。
每个消费者拥有10单位石油。
消费者1的效用函数是u（g,b）二g0.4b0.6，消费者2的效用函数是
u（g,b）=100.51ng0.51nb。
（1）找到枪支、黄油和石油
的市场出清价格。
（2）每个消费者消费枪支和黄油各多少？
（3）每个企业各使用多少石油？
（1）解答：
首先根据企业利润最大化求解价格比率
企业1：
—Pgg-PxX二Pg2X-PxX
故：
价格比率为Px：
Pg：
Pb=1：
1：
］6:
3:
2
（2）消费者1效用最大化：
u（g,b）=g04b0-6
aa
:
u0.60.6u0.40.4
二0.4gb-Pg=0；0.6gb-pb=0
两式相除得到：
2bPi=3b_=9
3gPb2gi4
消费者1效用最大化：
u（g,b）=100.5lng0.51nbu1:
u1
—=0.5—-Pg=0；0.5「Pb=0
gg;bb
两式相除得到：
b=&==3
gPb2g22
（3）市场出清和预算约束：
X）20；3Xb=bd；2Xg二g「g?
PbbPggi=10Px；Pbb2Pgg^10Px
9
2bj3g^60,big^8,b^=18
4
7.考虑一种两个人、两种商品、有纸币纯交换的竞争经济。
消费者的效用函数为5=q11q120.5，U2=q21q220.5。
消费者1的初始拥有量初始拥有量为30单位Q、5单位Q2和43单位货币；消费者2初始拥有量分别为20、10和2。
每个消费者都想持有等于起初始商品拥有量价值的五分之一的货币存量。
决定Q1和Q2的均衡货币价格。
表明如果消费者1、2的货币存量分别增加到129和6,则均衡价格应为原先的三倍。
（也可以不按照超额需求的框架求解）
（1）第一个消费者效用最大化
得到：
2Q1/p/q1-0.5P2q11
（2）第二个消费者效用最大化
得到：
q22=0.5-P1q21
P2
p1
qi2q22二0・5（qi1q21）
P2
（3）
P=3
P25
则总的
市场出清
q“q2厂3020=50;q12q22=510=15,解得:
（4）确定货币价格
1
匚[PiGiq2i）P2G2722）]=432=455
3”
p250p215二225,故p2=5,p1=35
如果消费者1、2的货币存量分别增加到129和6,货币存量135是原来的3倍，故均衡价格也是原来的3倍。
8.有一种经济，除了有一个生产者，其在产出市场上是个卖方垄断者，在其产出的唯一投入市场上是个买方垄断者。
此外满足帕雷托最优的全部条件。
其生产函数是q=0.5x,
对其产出的需求函数是p=100-4q，对其投入的供给函数是22x。
求其最大化生产者利润的值。
求如果满足对应的帕雷托条件，这些变量应该达到的值。
（1）垄断时：
C=xr=2q（2+4q）=4q+8q,MC=4+16qR=（100-4q）q=100q-4q2,MR=1008q
MR二MC=416q二100-8q，解得：
2
q=4，p=84，二=484-（44842p192
p=100-4q=416q=q=4.8,p二80.8
二-4.880.8（44.884.82^184.32
9.假定生产相同商品的两个产商的成本函数为
22
Ci=2qi20qi-2口皿,C2=3q?
60q2,根据每个厂商都
使其个体的MC与固定市场价格240相等的假定，确定厂商的产出水平。
根据每个厂商使他的社会MC等于市场价
格的假定，确定他们的产出水平。
确定将致使厂商实现帕雷托最优配置，但是他们的利润不变的税收和补贴。
配置上的这种改变所保证的社会受益的规模是什么？
（1）单独决策时（p=MC）：
MG=4q120-2q2=240；MC2=6q260=240
q2二30，q厂70，二〔=9800，二2=2700
（2）社会决策时（社会福利最大化）
22
兀=240©+q2）—2q1-20q^2q1q^3q2-60q2
dJid
240-4q〔-202q2二0；2402q〔-6q2-60=0
qq
q^84，q^58，714112,348
（3）征税和补贴
MC厂4q20-2q2t=240，将q^84，q2二58代入得到：
t二0
MC2=6q260-240，将q疔58代入得到：
s=168
总量税：
L厂14112-9800=4312;L^16858（348-2700）=7392社会收益：
S二141123489800-2700二1960
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