高三一轮取球问题.docx
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高三一轮取球问题
高三一轮：
取球问题
取球问题
一、基础知识：
在很多随机变量的题目中，常以“取球”作为故事背景，通过对“取球”提出不同的要求，来考察不同的模型，常见的模型及处理方式如下：
1、独立重复试验模型：
关键词“可放回的抽取”，即下一次的取球试验与上一次的相同。
2、超几何分布模型：
关键词“不放回的抽取”（一次性抽取、逐一不放回抽取）
3、与条件概率相关：
此类问题通常包含一个抽球的规则，并一次次的抽取，要注意前一次的结果对后一步抽球的影响
4、古典概型：
要注意虽然题目中会说明“相同的”小球，但是为了能使用古典概型（保证基本事件为等可能事件），通常要将“相同的”小球视为“不同的”元素，在利用排列组合知识进行分子分母的计数。
5、数字问题：
在小球上标注数字，所涉及的问题与数字相关（奇，偶，最大，最小等），在解决此类问题时，要将数字模型转化为“怎样取球”的问题，从而转化为前几个类型进行求解。
例4：
袋中装有若干个质地均匀大小相同的红球和白球，白球数量是红球数量的两倍，每次从袋中摸出一个球，然后放回，若累计3次摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直到第5次摸球后结束
（1）求摸球四次就停止的事件发生的概率
（2）记摸到红球的次数为
，求随机变量
的分布列及其期望
例5：
学校游园活动有这样一个游戏项目：
甲箱子里装有3个白球，2个黑球；乙箱子里面装有1个白球，2个黑球；这些球除了颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖（每次游戏后将球放回原箱）
（1）求在一次游戏中①摸出3个白球的概率②获奖的概率
（2）求在三次游戏中获奖次数
的分布列与期望
三、历年好题精选
1、（2014，福建）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：
每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：
①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望．
2、（2014，重庆）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．
（1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；
（2）
表示所取3张卡片上的数字的中位数，求
的分布列与数学期望．
（注：
若三个数
满足
，则称
为这三个数的中位数）
习题答案：
1、解析：
（1）①设顾客所获的奖励额为
（2）
可取的值为
的分布列为
20
60
0.5
0.5
所以顾客所获的奖励额的期望为
．
（2）每个顾客平均奖励额为
元，可知期望有可能达到
的只有方案
或
，分别分析以下两种方案：
方案一：
，则
的取值为
方案二：
，则
的取值为
由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.
2、解析：
（1）设事件
为“3张卡片数字完全相同”
（2）
可取的值为
的分布列为：
1
2
3
3、解析：
（1）设事件
为“一个2号球，一个3号球”
（2）
可取的值为
的分布列为：
3
4
5
6
4、解析：
（1）设事件
为“3个小球上的数字分别是1,2,3”
（2）设事件
为“3个小球上的数字恰有2个相同”
（3）
可取的值为
的分布列为：
2
3
4
5
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