高三一轮取球问题.docx
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高三一轮取球问题
高三一轮:
取球问题
取球问题
一、基础知识:
在很多随机变量的题目中,常以“取球”作为故事背景,通过对“取球”提出不同的要求,来考察不同的模型,常见的模型及处理方式如下:
1、独立重复试验模型:
关键词“可放回的抽取”,即下一次的取球试验与上一次的相同。
2、超几何分布模型:
关键词“不放回的抽取”(一次性抽取、逐一不放回抽取)
3、与条件概率相关:
此类问题通常包含一个抽球的规则,并一次次的抽取,要注意前一次的结果对后一步抽球的影响
4、古典概型:
要注意虽然题目中会说明“相同的”小球,但是为了能使用古典概型(保证基本事件为等可能事件),通常要将“相同的”小球视为“不同的”元素,在利用排列组合知识进行分子分母的计数。
5、数字问题:
在小球上标注数字,所涉及的问题与数字相关(奇,偶,最大,最小等),在解决此类问题时,要将数字模型转化为“怎样取球”的问题,从而转化为前几个类型进行求解。
例4:
袋中装有若干个质地均匀大小相同的红球和白球,白球数量是红球数量的两倍,每次从袋中摸出一个球,然后放回,若累计3次摸到红球则停止摸球,否则继续摸球直到第5次摸球后结束
(1)求摸球四次就停止的事件发生的概率
(2)记摸到红球的次数为
,求随机变量
的分布列及其期望
例5:
学校游园活动有这样一个游戏项目:
甲箱子里装有3个白球,2个黑球;乙箱子里面装有1个白球,2个黑球;这些球除了颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖(每次游戏后将球放回原箱)
(1)求在一次游戏中①摸出3个白球的概率②获奖的概率
(2)求在三次游戏中获奖次数
的分布列与期望
三、历年好题精选
1、(2014,福建)为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励,规定:
每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元,求:
①顾客所获的奖励额为60元的概率;②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望.
2、(2014,重庆)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片.
(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;
(2)
表示所取3张卡片上的数字的中位数,求
的分布列与数学期望.
(注:
若三个数
满足
,则称
为这三个数的中位数)
习题答案:
1、解析:
(1)①设顾客所获的奖励额为
(2)
可取的值为
的分布列为
20
60
0.5
0.5
所以顾客所获的奖励额的期望为
.
(2)每个顾客平均奖励额为
元,可知期望有可能达到
的只有方案
或
,分别分析以下两种方案:
方案一:
,则
的取值为
方案二:
,则
的取值为
由于两种方案的奖励额的期望都符合要求,但方案2奖励额的方差比方案1的小,所以应该选择方案2.
2、解析:
(1)设事件
为“3张卡片数字完全相同”
(2)
可取的值为
的分布列为:
1
2
3
3、解析:
(1)设事件
为“一个2号球,一个3号球”
(2)
可取的值为
的分布列为:
3
4
5
6
4、解析:
(1)设事件
为“3个小球上的数字分别是1,2,3”
(2)设事件
为“3个小球上的数字恰有2个相同”
(3)
可取的值为
的分布列为:
2
3
4
5