东北农业大学版离散数学网上作业题及答案汇总.docx
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东北农业大学版离散数学网上作业题及答案汇总
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离散数学复习题
复习题一
、证明
1对任意两个集合A和B，证明A-B一A'Bi=A
答.证明.A-B!
.IA-B=A"1B「.A-B=A”.B■」B=AE=A
2、构造下面命题推理的证明
如果今天是星期三，那么我有一次英语或数学测验；如果数学老师有事，那么没有数学测验；今天是星期三且数学老师有事，所以我有一次英语测验。
答：
符号化为：
P—QR,SrR,PS=Q
证明:
（1）PSp
⑵
P
T
（1）I
⑶
S
T
（1）I
⑷
P>
QRp
Q
RT
（2）（4）l
⑹
S>
—Rp
⑺
-R,
T（3）（6）l
（8）
Q
T（5X7）1
二、计算
1
（1）画一个有一条欧拉回路和一条汉密顿回路的图。
（2）画一个有一条欧拉回路但没有汉密顿回路的图
（3）
画一个没有欧拉回路但有一条汉密顿回路的图答：
三种图如下：
2、
设Px,y为x整除y,Qx为x：
：
：
2,个体域为12，求公式:
-XyPx,y>Qx的真值。
-XyPx,y>Q^-xPx,1>QxPx,2>Qx
答:
P1,1>Q1P1,2>Q1P2,1>Q2P2,2>Q2
=T>TT>TF>FT>F
：
=TT\iTFTTT
3、一棵树有门2个结点度数为2,门3个结点度数为3,…,m个结点度数为k，问它有几个度数为1的结点。
答：
设它有ni个度数为1的结点，则：
1*
n+2*n2+3*n3+…+k*nk=2*（m+n2+%+•••+nk-1）
得:
口=门3+2*n+…+（k-2）*nk+2
4、设集合A」1,2,3,4【A上的关系R」订，1,1,2,2,1,2,3,3,4I求出它的自反闭包，对称闭包和
传递闭包。
答:
r（R）=「1,1.,1,2,2,1,2,3,3,4,2,2,3,3,4,4?
s（R）二「1,1.,1,2,2,1,2,3,3,4,3,2,4,3：
?
t（R）二<1,i,1,2,2,1,2,3,3,4,1,3,2,2,2,4,1,4】
三、设A=1,2,3,5,6,9,15,27,36,451上的整除关系R=订1@怙耳•A,®整除a?
1
R是否为A上的偏序关系？
若是，
则：
1、画出R的哈斯图；
答：
R是A上的偏序关系。
R的哈斯图：
36
2、求5,9的最小上界lubS,9:
和最大下界gib9,9二答：
〈2,9的最小上界lub〈2,9；=36,最大下界glbf2,9〕=1。
四、用推导法求公式P>Q>R的主析取范式和主合取范式。
P>Q>--PQR二P-QR
PR-QR]「ii：
PQ-QR]iiP-P-QR
答：
PQRi（P_QR][P_QRii
PQRP_QRP-Q-R]iPQR-P-QRji
五、设实数集R2上的关系—a,b,ca「*a,b，c,dR2,ad=bc』,
证明：
r是R2上的等价关系。
答：
证明：
-]x,y•R2有xyx,所以.x,y,x,yP
因此t是自反的
-：
a,b,c,d/P有a+d=b+c,即c+b=d+a,所以彳c,d）,（a,b）〉EP
因此t是对称的
-a,b,c,d.,c,d,ef：
.：
•e匸有ad二bc,cf=de,
即c—d=a—b=e—f,得af=be,所以•a,b,e,f':
三P
因此「是传递的。
综上：
「是R2上的等价关系。
六、设R和R•分别是实数集和正实数集，+和x分别是普通加法和乘法，定义函数f：
R>R为
f（r）=2r，证明f是从（R,）到（R,）的同构映射。
答：
证明：
-x,y•R,且x=y,有2x=2y,所以f是入射
-z-R：
r・R使2r二z,即r=log2z,所以f是满射
因此f是双射。
-x,厂R,有fy=2x^2x2^fxfy，所以f是从（R,）至到（R,）的同构映射。
七、设R是实数集合，R=R-{0}，在R*R上定义二元运算•为：
a,bc,d二ac,bcd，试证
明:
R*R/是一个群。
：
:
：
R*R/是否阿贝尔群？
答：
证明：
_a,b,c,dRR,有a,b,c,dR,且a=O,c=O,贝V：
acR且ac=O,bcdR
*因此，运算是封
所以a,bl〔c,d=ac,bcdRR
闭的
-a,b,c,d,e,fR*R
iia,b]tGd]]i「e,f=ac,bcd]\e,f=ace,bcedef
a,b「[ic,d][e,f二a,b][ce,def=ace,bcedef
所以a,b•c,d『[e,fi=：
〔a,b]：
igde,f因此,运算是可结合的
-a,bR*R,有a,b1,0=1,0a,b=ab,且1,0R*R因此1,0是幺元
*flb^flb、fib、*
W（a,b声rxR,有（a,b一,一一|=一，一一广（a,b）=（1,0）且.一，一一卢rxr
2a丿£a丿laa丿
因此P（a,b有逆元,逆元为丄,-■一；
2a丿
综上：
:
:
R*R/是一个群。
:
:
:
R*R/不是阿贝尔群。
复习题二
一、设L={123412}上的整除关系
二1©,a^-|ai,a^L,ai整除a?
'
完成下列各小题。
1、证明r是L上的偏序关系。
答：
证明-a•L,因为a整除a,所以］a,a；^匕因此「是自反的。
设有（a1,a2）,（a2,aj旨P,即a整除a2，a2整除aj，则印=a2,因此P是反对称的设有（a1,a2）,（a2,a3）旨P,即a一整除a2,a2整除a3,则a一整除a3,即〈^代庐卩,因此P是传递的。
综上，「是L上的偏序关系。
2、画出偏序集：
:
:
L,t-的哈斯图。
答：
偏序集：
:
:
L,t•的哈斯图如右图所示。
3、在L上定义两个二元运算和：
对任意a,b：
=L,ab=glb（a,b）,ab=lub（a,b）。
请填空（在
横线上填是或不是）：
①代数系统：
:
：
L,,,•是格。
②代数系统：
:
：
L,,,•是有界格。
③代数系统：
:
:
L,,.是有补格。
④代数系统：
:
：
L,,.不是分配格。
二、求布尔函数的析取范式和合取范式
设E（xi,x2,x3）=（x（x2）（x2x3）（x2x3）是布尔代数:
:
{0,1},,丿上的一个布尔表达式。
试写出E（x）,X2,x3）的析取范式和合取范式（用推导法或列函数表的方法均可）
答：
方法1推导法
析取范式为：
E（M,X2,X3）=（XiX2）（x?
X3）（X2X3）
=（（XiX2）（X3X3））（（X2X3）（XiXi））（（X2X3）（XiXi）
（x1x2x3）（xix2x3）
=（X!
X2X3）（xiX2X3）（x-iX2X3）（xiX2X3）（x-ix2x3）
合取范式为:
E（为，x2,x3）=（%x2X3）（x-!
x2X3）（x-!
x2x3）
方法2列函数表法
布尔表达式对应的函数表为:
f
<0,0,0>
0
<0,0,1>
1
<0,1,0>
0
<0,1,1>
1
<1,0,0>
0
<1,0,1>
1
<1,1,0>
1
<1,1,1>
1
析取范式为：
E（xi,x2,x3^（X!
X2X3）（XjX2X3）（xiX2X3）（xiX2X3）（xix2X3）合取范式为:
E（Xi，X2，X3）X2X3）aX2X3）（XjX2X3）
三、画出满足下列要求的图
1有一条欧拉回路和一条汉密尔顿回路。
2有一条欧拉回路但没有汉密尔顿回路。
3没有欧拉回路但有汉密尔顿回路。
4既没有欧拉回路也没有汉密尔顿回路。
四、证明在完全二叉树中，边的总数等于2（n-1），这里n是叶子数。
又因为在
答：
证明设分枝点数为i。
因为在完全m叉树中，有（m-1）i=n-1，所以，当m=2时有i=n-1
完全二叉树中，每个分枝点射出两条边，所以边的总数是2i，即边的总数是2（n-1）。
五、计算
求带权2、3、5、7、11、
答：
解23571113
5571113
1071113
171113
1724
41
六、证明
在一个连通平面图中，若它有n个结点，m条边，且每个面由k条边围成。
试证
k（n-2）m
k-2
答：
在一个连通平面图中，若它有n个结点，m条边，且每个面由k条边围成。
试证
k（n-2）
k一2
证明
deg（rj二k设此平面图有r个面。
.二deg（n）=kr
又”.
deg（rj=k
-kr=2m，从而有r
爭。
将其代入欧拉公式
n-mr=2得n-m细=2k
整理得口2）
k—2
三V，建立V到时，f是同构映射。
=n，f是：
：
V*,;
一个同构映射。
七、证明
设V是有限字母表，给定代数系统:
:
:
V*j，其中是串的连接运算。
对于任一串
N的映射f,f（〉）=|〉|。
证明f是：
:
:
V*,7到：
:
:
N,•.的一个满同态，且当|V1=1
答：
证明对于V中任意两字符串：
•和：
，因为|：
|=|〉|•|：
|，所以
f（：
'：
：
）*I|■HfC-）f（：
）
n.nr
f（）=0，对于任一正整数n・N，取a・V，则|aa|"a|=：
n，所以，f（aalHa）
到：
:
:
N,：
：
；■*的一个满同态。
n
当|V|=［时，设V={a}，f（aa|）（a）=n，f（■）=0，f是双射，因此，f是-
给定有限状态机Ms=（Q,S,R,f,h,A），它的状态图如附图所示。
1、求状态A的011010的后继以及可接受状态序列。
答：
因为A—0》E—1》C—」》A—。
、£—■>C—》D
所以状态A的011010的后继状态是D，可接受状态序列是AECAECD。
2、求Ms对于激励010110的响应。
答：
Ms对于激励010110的响应是ecdcae。
3、构造一台与Ms相似的转换赋值机Mt，画出Mt的状态图。
答：
与Ms相似的转换赋值机Mt=（Q,S,R,f,g,qj，其中：
Q二{A,B,C,D,E},S二{0,1},
R二{a,b,c,d,e},qi二A
Mt的状态图为:
f（代0）二E,f（A,1）=Bf（B,0）二D,f（B,1）=Bf（C,0）二D,f（C,1）=Af（D,0）二E,f（D,1）=Cf（E,0）二B,f（E,1）=Cg:
g（A,0）=e,g（代1）二bg（B,0）二d,g（B,1）二bg（C,0）二d,g（C,1）=ag（D,0）二e,g（D,1）二cg（E,0）二b,g（E,1）=c
九、证明
考察一个（8,4）码C,它的校验位a5,a6,a?
as满足下列方程
a5=a〔+a2+a4
a6=ai+a3+a4
a7=ai+a2+a3
a8=a2+a3+a4
其中ai，a2，a3，a4为信息位。
求出这个码的一致校验矩阵。
证明
minW（x）=4。
X0
答：
证明一致校验矩阵为:
“1011000、
10110100H=
11100010
（01110001J
矩阵H中无零列向量，且任意两个、三个列向量之和不等于零向量。
而第一、二、六、八列向量之和为零
向量，所以，
mmw（x）=4
x=0
复习题三
一、设集合s—a,b,c：
完成下列各小题。
1求S的幕集P（S）。
答：
P（S）二{•一，{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}
2证明：
:
：
P（S）,二〉是偏序集。
答：
-AP（S），因为AA,因此关系是自反的。
对任意A,BP（S），若有A匚B,B5A,则A=B,因此关系匚是反对称的。
对任意A,B,C・P（S），若有AB,BC,则AC,因此关系冬是传递的综上，：
:
:
P（S）,•是偏序集。
3画出偏序集：
:
:
P（S）「-的哈斯图。
答：
偏序集：
:
:
P（S）,5的哈斯图如图1。
{a.b,c}
4在P（S）上定义两个二元运算入和对任意ABEP（S），A，%B=AcB,A\rB=AuB。
请填空
（在横线上填是或不是并回答为什么）：
1代数系统：
:
:
P（S）,■是格，因为P（S）中任意两个元素都有最小上界和最大下界。
。
2代数系统:
：
:
P（S）,二，是有界格，因为疳P（S），.有全上界，为{a,b,c}；有全下界，为
-。
。
3代数系统：
:
:
P（S）,二，是—有补格，因为疳P（S）,•是有界格且疳P（S）,•中每一元素都有补元
素。
。
4代数系统：
:
:
P（S）「-是分配格，因为对于任意A,B,8P（S），有
A_（BC）=（A一B）_•（A一C）
A（B-C）=（AB）'（A_.C）
成立。
⑤代数系统:
:
:
P（S）,-,_.,〜■是布尔代数，因为疳P（S）,.是有补分配格，即疳P（S）,.是布尔格，.Pk）,',-,〜.是由布尔格P（S）,.诱导的代数系统。
二、计算
设E（X1,X2,X3）=（XiX2）（X2X3）（X2X3）是布尔代数:
{0,1},，丿上的一个布尔表达式。
试写出〔（为兀必）的析取范式和合取范式（用列函数表的方法）
答：
解
布尔表达式对应的函数表为:
f
<0,0,0>
0
<0,0,1>
1
<0,1,0>
0
<0,1,1>
1
<1,0,0>
0
<1,0,1>
1
<1,1,0>
1
<1,1,1>
1
析取范式为:
E（X4,X2,X3）=（%x2x3）（xx2x3）（x1x2x3）（x1x2X3）（x1x2x3）合取范式为:
E（x「％,X3）=（XjX2X3）（Xjx2X3）（Nx2x3）
三、回答问题
完全图Kn是否是欧拉图？
是否是哈密尔顿图？
为什么？
答：
解因为欧拉图和哈密尔顿图分别要求有欧拉回路和哈密尔顿回路，所以要求n_3。
该图为欧拉图，所以当
完全图Kn的每个结点的度数为n-1，而当一个图的所有结点度数均为偶数时,n-1为偶数，即n（n_3）为奇数时Kn是欧拉图。
Kn的任意两个结点的度数和为2（n-1），当n—3时，有2（n-1）_n，此时Kn是哈密尔顿图。
四、画图
对于下图，利用克鲁斯克尔算法求一棵最小生成树。
答：
最小生成树为
五、计算
。
问该树有
一棵树有两个结点度数为2,1个结点度数为3,3个结点度数为4，其余结点度数为1几个度数为1的结点。
答：
解该树有n个度数为1的结点。
则有
n22343=2（n213-1）
解之，得n=9
答：
该树有9个度数为1的结点。
六、证明
图G=（V,E）是无向简单图，其中|V|=n,|E|=m，证明：
m一»。
2
n（n-1）
2
证明因为G是简单图，所以图G中没有环和平行边，任意两结点间最多有一条边，故m乞C；
答：
证明因为G是简单图，所以图G中没有环和平行边，任意两结点间最多有一条边，故
n（n-1）
2
七、证明
已知
G=（VnWPF）,Vn十,B,C},V二{a,b,c},P:
（1）「>a；「BC
⑵匚>aBC（3）CB>BC（4）aB>ab（5）bB>bb（6）bC>bc（7）cC>cc
求证
n-1
答：
证明
二an（BC）n
匚anBnCn
=anbBn°Cn
（用生成式
（1））
（用生成式
（2））
（用生成式（3））
=anbnCn
（用生成式（5））
=anbncCn」（用生成式（6））
nnn
=abc（用生成式（7））
八、设计
3数（即设计模3计数器）。
设计一台有限状态机M，它的输出是已经输入符号数的模
答：
解M=（Q,S,R,f,g,A）
其中Q={代B,C},S{a},R{0,1
f（代a）二B,f（B,a）=C,f（C,a）二ag（A,a）=1,g（B,a）=2,g（C,a）=0状态图为：
九、计算
给定码C={00000,10001,01100,10101}，求码C中任两个码字的海明距和dmin（C）。
答：
解H（00000,10001）=2,H（00000,01100）=2,H（00000,10101）=3,
H（10001,01100）=4,H（10001,10101）=1,H（01100,10101）=3
dmin（C）=1
复习题四
一、填空
1、设A和B为有限集，|A|=m，|B|=n，则有个从A到B的关系，有个从A到B
的函数，其中当m_n时有匸—w、个入射，当m=n时，有个双射。
2、集合A={n?
|n-N}是（是/不是）可数的。
二、计算
1用推导法求下列公式的主合取范式和主析取范式：
（（-PQ）>R）
答：
-PQ》R=PQR=P-QR
二PR|[QR二PQ_QR|I[P■P_QR11
：
=PQRiiP_QRriP_QR11
=PQRP—QRP—Q—R_PQR_P-QR
2设A={1,2,3,4},A上二元关系R={：
：
：
1,2.,：
：
：
2,2.,：
：
：
2,4•,：
：
：
3,4}，求其自反闭包、对称闭包、传递闭包。
答：
自反闭包r（R）={：
：
：
1,2,：
：
：
2,2,：
：
：
2,4,：
：
：
3,4,：
：
：
1,1,：
：
：
3,3,：
：
：
4,4}
对称闭包s（R）={:
:
:
1,2,：
：
2,2,：
：
2,4,：
：
3,4,：
：
：
2,1,：
：
：
4,2,：
：
4,3}
传递闭包r（R）={：
：
：
1,2,：
：
：
2,2,：
：
：
2,4,：
：
：
3,4,：
：
：
1,4}
三、证明
1、设A,B,C是三个集合，证明：
（A*B）-C=（A-C）、B答:
（A-B）_C=（A-B）[JC=（A-C）-B=（A_C）-B
2证明等价式：
（x）（A（x）>B（x））：
=（-x）A（x）>（Tx）B（x）答：
（x）（A（x）>B（x））=（x）（—A（x）B（x））=（x）—A（x）（x）B（x）
二一（-x）A（x）（x）B（x）=（-x）A（x）>（x）B（x）
四、将下列命题推理符号化并给出形式证明：
已知张三或李四的彩票中奖了；如果张三的彩票中奖了，那么你是知道的；如果李四的彩票中奖了，那么王五的彩票也中奖了；现在你不知道张三的彩票中奖。
所以李四和王五的彩票都中奖了。
答：
P:
张三的彩票中奖了。
Q:
李四的彩票中奖了。
R：
你知道张三的彩票中奖。
S:
王五的彩票中奖了。
PQ,P—R,Q—S,—R=QS
证明：
（1）「RP
⑵P>R
P
⑶-P
T
（1）
（2）I
⑷PQ
P
⑸Q
T（3"4）l
⑹Q>S
P
⑺S
T（5）（6）I
（8）QS
T（5）（7）I
五、设复数集合C={abi|a,^R,a=0}，定义C上二元关系R:
:
:
:
abi,cd^R当且仅当ac0，证明：
R为等价关系。
答：
证明：
对于_a•bi,c•di,e•fi•C，有a,c,e=0
因为aa.0,所以:
:
:
a•bi,a•bi沁R，故R是自反的。
若:
:
:
abi,c•di三R,则ac0且ce-0,即aCce0,得ae0,所以：
:
：
cdi,ab^^R，故r是对称的。
若:
:
:
abi,c•di孵R,:
:
:
c•di,e•fiMR则ac0,即ca.0,所以：
:
：
a•bi,e•fi》三R，故R是传递的。
综上：
R为等价关系。
六、证明：
若A|_|B和C_D，贝VAB_CD。
答：
证明：
因为ALIB和C_D，所以可作双射f:
A>B,g:
C>D。
定义h:
AB-；CD，对于-：
：
：
a,b.AB,有c=f（a）,d=g（b）,：
：
：
c,d.CD
对-：
：
：
a1,b1,：
：
：
a2,b2.AB,：
：
：
a1,b1：
=：
.a2,b2.,
设c仁f（a1）,c2二f（a2）,d仁g（b1）,d2二g（b2）,
当a1=a2时，由于f:
A>B是双射，所以c仁f（a1）=f（a2）二c2，得：
:
:
c1,d1.=：
：
c2,d2•；当
bl=b2时，由于g：
C>D是双射，所以di二g（c1）=g（c2）=d2，得：
:
:
c1,d1=：
c2,d2-。
故h:
AB—CD是入射。
对-：
：
：
c,d••CD，因为f:
A>B,g:
C>D均为双射，所以a・A,bB使得c二f（a）,d=g（b），:
:
:
a,b••AB。
故h:
AB—；CD是满射。
综上，故h:
AB-；CD是双射。
有ABLCD。
七、设集合G={2m3n|m,1}，是普通乘法，证明：
：
:
:
G,•是一个群。
答：
对-a,b•G
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