1高数下册重要知识点.docx
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1高数下册重要知识点
高等数学下册知识点
第六章空间解析几何与向量代数
（一）向量及其线性运算
1、单位向量，零向量，向量平行；
2,线性运算：
加减法,数乘；
3.向童的坐标分解式；
4,利用坐标做向量的运算：
设3=3宝岡凡），b=（bx,by,b2）,
则a±b=（ax±bs,ay±byJaz±bz）>Aa=（2az,Aay,/aJ;（重点）
5、向量的模、方向角、投影：
1）向量的模：
r=+r；
2）两点间的距离公式：
IabI=J（X]—菴）i+（y?
—y）+（z?
—
3）方向角：
非零向量与三个坐标轴的正向的夹角"冒
—xy_z
4）方向余弦：
cos“=Hcos/?
=同，cos/二同（重点）
cos'a+cos2p+cos'y-1
5）投影：
p门拓=|a|co沖，并中伊为向量9与汀的夹角.
（二）数量积，向量积（重点）
1,数量积：
a-b=|aIbcos0
I）a-a=a_2）a±b<^>a-b=O
a-b-axbz+ayby+azbz
2,向量积：
c=axb
大小：
absin（9，方向：
a,b,c符合右手规则
2）a//b。
axb=0
a.
axb
byb2
运算律：
反交换律bxa=-axb
（三）曲面及其方程
K旋转曲面：
yoz面上曲线C:
f（y『z）=O,（非重点）
（重点）绕y轴旋转一周：
f（y,±Vx2+z°）=。
（重点）绕z轴旋转一周：
「（土Jx'+y\z）=O
（四）空间曲线及其方程
X=x（t）
2,参数方程：
fy=y（t），如螺旋线：
$y=asint
n=bt
Z=z（t）
空间曲线在坐标面上的投影
fF（x,y,z）=0
、c,消去z,得到曲线在面xoy上的投影*
[G（x,y,z）=0
（五）平面及其方程（重点）
1,
点法式方程：
A（x-+B（y-y0）+C（z-%）=。
法向量：
n=（AB,C）,过点（byo*。
）
2,—般式方程：
Ax+By+Cz+D=O
xyz
截距式方程：
^+b+c=
3.
两平面的夹角：
n=（A，%C[）,n2=（B2?
C2）,
cosO=ft
Ja'+R+c：
」A+b；+c；
n,±n3<=>aa+B]B：
+CiC?
二o
AB]G□go如如q
4,点今）到平面Ax+By+Cz+D=0的距离:
Ja\庁+c，
d=|Ax0+By0+Cz0+D|
（六）空间直线及其方程（重点）
7\x++C\z+D]=0
2、对称式（点向式）方程：
°靜=气匝=气血方向向量：
S=（mjLP）,过点（
3、参数式方程:
y=y^+nt
Z=Zg+pt
|m1ni2+n1n2+p1p2
4,两直线的夹角：
％=（吗,珥，日），&=（11顼1卜％）,
COS69=.
/11T/T1，
Jii】「+11j+p「・yjm；+n；+p；
L丄L。
11^1112+nxn2+Pip,=。
5,直线与平面的夹角：
直线与它在平面上的投影的夹角,
sin（p—
|Ani+Bn+Cp|
Ja21+B，+C、/十In?
+p?
L〃n=Am+Bn+Cp=O
ABCl丄口。
—_mnp
第七章多元函数徹分法及其应用
（_）基關念
L多元函数：
z=f（x,y）的定义域（重点）
2，极限：
r四1f（x,y）二A
（嵩y）—（吨.无）
3、连续：
「Innf（、y）二ffX，%）
（Xv）t（的，咒）
4、偏导数定义
5、计算偏导数以及二阶偏导数（重点）
6、方向导数：
（重点：
记住公式）
（二）性质
1,函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：
（重点）
由方程F（x,y,z）=。
确定z=z（x,y）,求竺当等,
味dy
方法：
第"步,构造函数F=F（x^y9z）?
y,E为地位平等的H变名
第二步.求兀Fy求F；,F；,F!
时，均视方
即求时，视,，z为常数，其余类似.
（三）应用
L极值
1）无条件极值：
求函数z=f（&y）的极值（重点）
Jfx=。
解方程组jf=0求出所有驻点，对于毎一个驻点（%y°）,令
入二頃（况,%）,8=f^y（Xn，Yn）9C二噸（Xq,%）,
2）条件极值：
求函数z=f（x.y）在条件Q（x.y）二。
下的极值（重点）
fk=o
解方程组
Ly=0
、例\y）二。
2,几何应用
1）曲线的切线与法平面
x=x（t）
曲线r：
z=z（t）
x-Xq_y-y0_z-^切线方程为：
顽了―诙了―不y法平面方程为：
4（to）（x—%）十y'（t°）（y—y°）+z'（to）（z—^）=0
2）曲面的切平面与法线（重点）
曲面S:
F（x,y,Z）=0,则£上一点M（况,知珀）处的切平面方程求法：
第…步,构造函数F=F（x,y,z）.
第二步•求吗Fy乙，求F；,F；,F!
时，均视方y,Z为地位平等的自变暈。
第三步，切平面的法向量
第四步：
切平而方程为
虬（气，丸，弓）（乂一况）+l\（xo?
yOJZo）（y-y0）+F2（xO5yo?
zr）Xz-zo）=O
x—七y-y0z—%
即求F：
时，视Z为常数，其余类似。
法线方程为：
已（％血4）FJ%%,%）已（如％，）
曲面E:
z=f（Ky）,则£上一点）处的切平面方程求法:
第一步,构造函数F=z-/（^）J）,
第二步,求气Fy氏，求F：
F：
F!
时，均视Jt,》，E为地位平等的自变量
即求片时,视y,z为常数，其余类似.
第三步.切平面的法向暈n=（-匚（為，光）,一乌（為，知,1）第四步：
切平而方程为
一£（如y°）（x一七）—fy（My°）（y-外）+伝-％）=°
Xfy-y0_Z一。
法线方程为：
孑顽T孑MF丁
第八章重积分
（一）二重积分
L性质
2,几何意义：
曲顶柱体的体积,3,二重积分计算（重点）:
1）直角坐标
X-型：
If（x.y）dxdy:
'Jja
D
Y-型:
^（y）2）极坐标
｝』f（&y）^y=J：
M
的（v）
g）
f（&y）dx
D=<（p屛）
pY（e）a<0
f3cos6.psm0）pdp
J"y）dxdy=J：
dg
D
3）交换积分次序（重点）
第九章曲线积分与曲面积分
（一）对弧长的曲线积分
1,定义的理解
2.性质：
1）J"/”f（长y）+伙為y）】*=°Jlv）出+0丄或此？
）亟
2）丄只及力也=匚f（%y）也.（l=l+l）
3）在L上，若f（x,y）＜g（x,y）＞则ff（x,y）ds＜fg（x,y）ds.
*Jj»
4）JLds=1（I为曲线弧匕的长度）（重点）
3、计算：
（重点）
x=伊（以
设f（x,y）在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为]小{a<\则Jlf（4y）ds=J：
f以t）]W万（t）+y/，（t）dt,（«
）
（—）对坐标的曲线积分
1,定义（理解）：
fLP（x.y）dx+Q（x7y）dy2,性质:
「一*■p-「—*■
（重点）
用匸表示L的反向孤,则，F（x,y）・dr=—LF（x.y）・dr
3.计算：
（重点）
设P（x,y）,Q（&y）在有向光滑弧L上有定义且连续，L的参数方程为
X=伊（以
（t:
Q—>川）,
、y*（t）,
则JlP（x,y）dx+Q（x,y）dy=J：
｛P"（t）,“（t）]0（t）+Q"（t）,^（t）]^（t））dt
4,两类曲线积分之间的关系:
设平面有向曲线孤为L:
*
x=9（t）
[y*（）L上点（x,y）处的切向量的方向角为:
成（t）
一々以t）
aRcoscr=fcos77=.
、’M（t）+/（t）'J茨（t）+—（t）9
则丄Pdx+Qdy=[（Pcosa+Qcos/?
）ds,
（三）格和公式（重点）
高等数学（下）纵识点
1>格林公式：
设区域。
是由分段光滑虫鱼曲线L围成，函数P（x,y）,Q（x,y）在
。
上具有连续一阶偏导数，则有/!
挙一袞|dxdy=fPdx+Qdyd\uxuyjl
2.G为一个单连通区域，函数P（\y）,Q（x.y）在G上具有连续一阶偏导数，则有如下四个等价命题：
祭=驀O曲线积分[Pdx+Qdy在G内与路径无关
o曲线积分§Pdx+Qdy=°
L
=P（x,y）dx+Q（x,y）dy在G内为某一个函數u（x,y）的全後分
第十章无穷级数
（-）常数项级数
L定义：
DD
1）无穷级数：
SX=%+%+%+…+乌+…
0=1
n
部分和：
S11=£uk=U|+J+4+-+iy
k^i
00
正项级数：
SUn>Un>0
如
00
交错级数：
爲no
n=l
com
2）级数收敛：
若limS^uS存在，则弥级数收敛，否则称级数发散
"5n=ln=l
88m
3）条件收敛：
工死收敛，而工|%|发散，称工七为条件收敛；（重点）
1a1n・1
mm
绝对收敛：
£KI收敛，称为绝对收敛（重点）
11-111-]
第I。
境共14页
2,性质（重点）：
1）改变有限项不影响级数的收敛性;
CO0000
2）级数云X，£塩收敛，则2/a「士bn）收敛；（重点）
11=111=1n—1
co
3）级数5>口收敛，则任意加括号后仍然收敛；
n-l
4）
«
必要条件：
级数廿妇收敛=>!
财.0.（注意：
不是充分条件！
）（重点）
11=1
<30
山】1以=0x级数收敛（重点）yn=l
ao
lmiun尹0=>级数发袱（重点）
IW»
11=1
11TS
3.审敛法
00
正项级数：
E^nfUn>0
n=l
1）定义：
Im】S口=S存在；（重点）
n—>oo
00
2）IX收敛0{S」有界;
n^l
3）
8
比较审敛法（重点）：
n=l
CD
»口为正项级数，且Un（n=1,2,3,…）
11=1
QQ000DCD
若收敛，则£%收敛；若云>也发散，则发散.
卜In^ln=ln^l
4）
比较法的推论（重点）：
，2vn为正项级数，若存在正整数m，当n〉m
n®ln»l
CO8
时,un4kv「，而Xvn收敛，则收敛；若存在正整数m，当n>m时，乌2kv^,
n^ln-l
00ro
而发散，则云％发散.
n*ln=l
如00U
5）比较法的极限形式：
2爲为正项级数，若哦广=1（°5<+s）,
n=1n=1Vjq
00CDUU0000
而如邕收敛，则IX收敛；若四『>°或四;=+°°,而发散，则£%发n=ln=l*nvnn=ln=l
散.
toUco
6）比值法：
旗X为正项级数，设四弋丄T，则当1<1时，级数擾乌收敛；则
iiTUnuT
coco
当1Al时，级数XX发散;当1二1时，级数工％可能收敛也可能发散（重点）
n=ln=l
ooco
7）根值法：
为正项级数，设11111=1-则当1<1时，级数工馬收敛；则
n=l"F41
00co
当i>i时，级数£%发散；当i=i时，级數可能收敛也可能发散,（重点）
n=1n=l
0000
8）极限审敛法：
工L为正项级数，若limivun>0或limi】u=+s，则级数云X
n-1n-1
oo
发散；若存在p>i,使得!
哩1卩多=1（owi<+8）,则级数MX收敛.
n=l
交错级数:
莱布尼茨审敛法：
交错级数：
旗（-1）”，0满足：
un+1n»l
co
且limun=0,则级数工（-1）”％收敛.（重点）
5n-1
任意项级数：
COCD
绝对收敛，则SUn收敛.（重点）
n-1n-1
皿［收敛，|q|<1
常见典型级数（重点）：
几何级数：
£aq”
z发散，q>1
收敛，P>1
［发散，P<1
（二）函数项级数
00
1.
定义：
函数项级数，>n（x）,收敛域，收敛半径，和函数;
n=l
8
2,
泰级数：
标准形式如>：
/\侦疽0）（重点）
n-0
收敛半径的求法：
R=^
an+l
3.
非标准形式（重点）：
转换为正项级数后用比值法或者柯西法（根值法），直接
求出收敛区间和收敛域
当R=O,级数仅仅在x=O收敛，当R=g,收敛区间（-叽+切）,当收数区间（-RR.对有缺项的幕级数（指缺无限多项），则直接取其后项与前项之比的绝对值取极限.耳函⑴
nn（x）
然后根据确定收敛半径R及收敛区间（-RR）»
（2）讨论（-昭R）的端点x=-R及x=R处级数Vax的收敛性，并写出收敛域（收敛区间加收敛的
51|=0
端点）•
4,利用逐项积分和逐项求导求级数的和函数（重点）
5,函数展开为赛级数：
间接展开法（重点）
®1
1）宜=£新乂二XE（-S,+8）；（重点）
n=0
①1
2）皿xgT"声顶X”xw（yg；（重点）
81
3）cosx=^（—1）由兩X%xe（-on,+M）.（重点）
1®
=xe（TD；（重点）
丄一Xn=0
100
5）77^=Z（T）"x>xe（—L1）（重点）丄十xn=0
®f_nn
6）ln（l+x）=^—~7xn+^xe（—1,1]（重点）
n=0IL十丄
7）
8）
i頌
—=£（-l）nx2\xe（-l.1）（重点）
丄十Xn=0
（1+x广=l+£m（m—l）…（m—n+l.,*瓦_】,】）
n-1
n!
第十一章微分方程
（1）理解微分方程,阶、解、通解,初始条件和特解等概念.
（2）掌握可分离变量方程（重点）
第一步：
分离变量，将方程变形为标准形式：
g（y）cly=f（x）dx第二步：
两端积分|g（y）dy=Jf（x）dx
（3）掌握一阶线性徹分方程（重点）.
第一步：
将方程变形为标准一阶线性方程：
/+P（x）y=q（x）第二步：
利用公式通解
y=」试"，［q（x）」机工气奴+C）
（4）会齐次方程通解的解法（重点）.
（5）会伯努力方程通解的解法（重点）
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