1高数下册重要知识点.docx
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1高数下册重要知识点
高等数学下册知识点
第六章空间解析几何与向量代数
(一)向量及其线性运算
1、单位向量,零向量,向量平行;
2,线性运算:
加减法,数乘;
3.向童的坐标分解式;
4,利用坐标做向量的运算:
设3=3宝岡凡),b=(bx,by,b2),
则a±b=(ax±bs,ay±byJaz±bz)>Aa=(2az,Aay,/aJ;(重点)
5、向量的模、方向角、投影:
1)向量的模:
r=+r;
2)两点间的距离公式:
IabI=J(X]—菴)i+(y?
—y)+(z?
—
3)方向角:
非零向量与三个坐标轴的正向的夹角"冒
—xy_z
4)方向余弦:
cos“=Hcos/?
=同,cos/二同(重点)
cos'a+cos2p+cos'y-1
5)投影:
p门拓=|a|co沖,并中伊为向量9与汀的夹角.
(二)数量积,向量积(重点)
1,数量积:
a-b=|aIbcos0
I)a-a=a_2)a±b<^>a-b=O
a-b-axbz+ayby+azbz
2,向量积:
c=axb
大小:
absin(9,方向:
a,b,c符合右手规则
2)a//b。
axb=0
a.
axb
byb2
运算律:
反交换律bxa=-axb
(三)曲面及其方程
K旋转曲面:
yoz面上曲线C:
f(y『z)=O,(非重点)
(重点)绕y轴旋转一周:
f(y,±Vx2+z°)=。
(重点)绕z轴旋转一周:
「(土Jx'+y\z)=O
(四)空间曲线及其方程
X=x(t)
2,参数方程:
fy=y(t),如螺旋线:
$y=asint
n=bt
Z=z(t)
空间曲线在坐标面上的投影
fF(x,y,z)=0
、c,消去z,得到曲线在面xoy上的投影*
[G(x,y,z)=0
(五)平面及其方程(重点)
1,
点法式方程:
A(x-+B(y-y0)+C(z-%)=。
法向量:
n=(AB,C),过点(byo*。
)
2,—般式方程:
Ax+By+Cz+D=O
xyz
截距式方程:
^+b+c=
3.
两平面的夹角:
n=(A,%C[),n2=(B2?
C2),
cosO=ft
Ja'+R+c:
」A+b;+c;
n,±n3<=>aa+B]B:
+CiC?
二o
AB]G□go如如q
4,点今)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离:
Ja\庁+c,
d=|Ax0+By0+Cz0+D|
(六)空间直线及其方程(重点)
7\x++C\z+D]=0
2、对称式(点向式)方程:
°靜=气匝=气血方向向量:
S=(mjLP),过点(
3、参数式方程:
y=y^+nt
Z=Zg+pt
|m1ni2+n1n2+p1p2
4,两直线的夹角:
%=(吗,珥,日),&=(11顼1卜%),
COS69=.
/11T/T1,
Jii】「+11j+p「・yjm;+n;+p;
L丄L。
11^1112+nxn2+Pip,=。
5,直线与平面的夹角:
直线与它在平面上的投影的夹角,
sin(p—
|Ani+Bn+Cp|
Ja21+B,+C、/十In?
+p?
L〃n=Am+Bn+Cp=O
ABCl丄口。
—_mnp
第七章多元函数徹分法及其应用
(_)基關念
L多元函数:
z=f(x,y)的定义域(重点)
2,极限:
r四1f(x,y)二A
(嵩y)—(吨.无)
3、连续:
「Innf(、y)二ffX,%)
(Xv)t(的,咒)
4、偏导数定义
5、计算偏导数以及二阶偏导数(重点)
6、方向导数:
(重点:
记住公式)
(二)性质
1,函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系:
(重点)
由方程F(x,y,z)=。
确定z=z(x,y),求竺当等,
味dy
方法:
第"步,构造函数F=F(x^y9z)?
y,E为地位平等的H变名
第二步.求兀Fy求F;,F;,F!
时,均视方
即求时,视,,z为常数,其余类似.
(三)应用
L极值
1)无条件极值:
求函数z=f(&y)的极值(重点)
Jfx=。
解方程组jf=0求出所有驻点,对于毎一个驻点(%y°),令
入二頃(况,%),8=f^y(Xn,Yn)9C二噸(Xq,%),
2)条件极值:
求函数z=f(x.y)在条件Q(x.y)二。
下的极值(重点)
fk=o
解方程组
Ly=0
、例\y)二。
2,几何应用
1)曲线的切线与法平面
x=x(t)
曲线r:
z=z(t)
x-Xq_y-y0_z-^切线方程为:
顽了―诙了―不y法平面方程为:
4(to)(x—%)十y'(t°)(y—y°)+z'(to)(z—^)=0
2)曲面的切平面与法线(重点)
曲面S:
F(x,y,Z)=0,则£上一点M(况,知珀)处的切平面方程求法:
第…步,构造函数F=F(x,y,z).
第二步•求吗Fy乙,求F;,F;,F!
时,均视方y,Z为地位平等的自变暈。
第三步,切平面的法向量
第四步:
切平而方程为
虬(气,丸,弓)(乂一况)+l\(xo?
yOJZo)(y-y0)+F2(xO5yo?
zr)Xz-zo)=O
x—七y-y0z—%
即求F:
时,视Z为常数,其余类似。
法线方程为:
已(%血4)FJ%%,%)已(如%,)
曲面E:
z=f(Ky),则£上一点)处的切平面方程求法:
第一步,构造函数F=z-/(^)J),
第二步,求气Fy氏,求F:
F:
F!
时,均视Jt,》,E为地位平等的自变量
即求片时,视y,z为常数,其余类似.
第三步.切平面的法向暈n=(-匚(為,光),一乌(為,知,1)第四步:
切平而方程为
一£(如y°)(x一七)—fy(My°)(y-外)+伝-%)=°
Xfy-y0_Z一。
法线方程为:
孑顽T孑MF丁
第八章重积分
(一)二重积分
L性质
2,几何意义:
曲顶柱体的体积,3,二重积分计算(重点):
1)直角坐标
X-型:
If(x.y)dxdy:
'Jja
D
Y-型:
^(y)2)极坐标
}』f(&y)^y=J:
M
的(v)
g)
f(&y)dx
D=<(p屛)
pY(e)
a<0
f3cos6.psm0)pdp
J"y)dxdy=J:
dg
D
3)交换积分次序(重点)
第九章曲线积分与曲面积分
(一)对弧长的曲线积分
1,定义的理解
2.性质:
1)J"/”f(长y)+伙為y)】*=°Jlv)出+0丄或此?
)亟
2)丄只及力也=匚f(%y)也.(l=l+l)
3)在L上,若f(x,y)<g(x,y)>则ff(x,y)ds<fg(x,y)ds.
*Jj»
4)JLds=1(I为曲线弧匕的长度)(重点)
3、计算:
(重点)
x=伊(以
设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续,L的参数方程为]小{a<\
则Jlf(4y)ds=J:
f以t)]W万(t)+y/,(t)dt,(«?
)
(—)对坐标的曲线积分
1,定义(理解):
fLP(x.y)dx+Q(x7y)dy2,性质:
「一*■p-「—*■
(重点)
用匸表示L的反向孤,则,F(x,y)・dr=—LF(x.y)・dr
3.计算:
(重点)
设P(x,y),Q(&y)在有向光滑弧L上有定义且连续,L的参数方程为
X=伊(以
(t:
Q—>川),
、y*(t),
则JlP(x,y)dx+Q(x,y)dy=J:
{P"(t),“(t)]0(t)+Q"(t),^(t)]^(t))dt
4,两类曲线积分之间的关系:
设平面有向曲线孤为L:
*
x=9(t)
[y*()L上点(x,y)处的切向量的方向角为:
成(t)
一々以t)
aRcoscr=fcos77=.
、’M(t)+/(t)'J茨(t)+—(t)9
则丄Pdx+Qdy=[(Pcosa+Qcos/?
)ds,
(三)格和公式(重点)
高等数学(下)纵识点
1>格林公式:
设区域。
是由分段光滑虫鱼曲线L围成,函数P(x,y),Q(x,y)在
。
上具有连续一阶偏导数,则有/!
挙一袞|dxdy=fPdx+Qdyd\uxuyjl
2.G为一个单连通区域,函数P(\y),Q(x.y)在G上具有连续一阶偏导数,则有如下四个等价命题:
祭=驀O曲线积分[Pdx+Qdy在G内与路径无关
o曲线积分§Pdx+Qdy=°
L
=P(x,y)dx+Q(x,y)dy在G内为某一个函數u(x,y)的全後分
第十章无穷级数
(-)常数项级数
L定义:
DD
1)无穷级数:
SX=%+%+%+…+乌+…
0=1
n
部分和:
S11=£uk=U|+J+4+-+iy
k^i
00
正项级数:
SUn>Un>0
如
00
交错级数:
爲no
n=l
com
2)级数收敛:
若limS^uS存在,则弥级数收敛,否则称级数发散
"5n=ln=l
88m
3)条件收敛:
工死收敛,而工|%|发散,称工七为条件收敛;(重点)
1a1n・1
mm
绝对收敛:
£KI收敛,称为绝对收敛(重点)
11-111-]
第I。
境共14页
2,性质(重点):
1)改变有限项不影响级数的收敛性;
CO0000
2)级数云X,£塩收敛,则2/a「士bn)收敛;(重点)
11=111=1n—1
co
3)级数5>口收敛,则任意加括号后仍然收敛;
n-l
4)
«
必要条件:
级数廿妇收敛=>!
财.0.(注意:
不是充分条件!
)(重点)
11=1
<30
山】1以=0x级数收敛(重点)yn=l
ao
lmiun尹0=>级数发袱(重点)
IW»
11=1
11TS
3.审敛法
00
正项级数:
E^nfUn>0
n=l
1)定义:
Im】S口=S存在;(重点)
n—>oo
00
2)IX收敛0{S」有界;
n^l
3)
8
比较审敛法(重点):
n=l
CD
»口为正项级数,且Un(n=1,2,3,…)
11=1
QQ000DCD
若收敛,则£%收敛;若云>也发散,则发散.
卜In^ln=ln^l
4)
比较法的推论(重点):
,2vn为正项级数,若存在正整数m,当n〉m
n®ln»l
CO8
时,un4kv「,而Xvn收敛,则收敛;若存在正整数m,当n>m时,乌2kv^,
n^ln-l
00ro
而发散,则云%发散.
n*ln=l
如00U
5)比较法的极限形式:
2爲为正项级数,若哦广=1(°5<+s),
n=1n=1Vjq
00CDUU0000
而如邕收敛,则IX收敛;若四『>°或四;=+°°,而发散,则£%发n=ln=l*nvnn=ln=l
散.
toUco
6)比值法:
旗X为正项级数,设四弋丄T,则当1<1时,级数擾乌收敛;则
iiTUnuT
coco
当1Al时,级数XX发散;当1二1时,级数工%可能收敛也可能发散(重点)
n=ln=l
ooco
7)根值法:
为正项级数,设11111=1-则当1<1时,级数工馬收敛;则
n=l"F41
00co
当i>i时,级数£%发散;当i=i时,级數可能收敛也可能发散,(重点)
n=1n=l
0000
8)极限审敛法:
工L为正项级数,若limivun>0或limi】u=+s,则级数云X
n-1n-1
oo
发散;若存在p>i,使得!
哩1卩多=1(owi<+8),则级数MX收敛.
n=l
交错级数:
莱布尼茨审敛法:
交错级数:
旗(-1)”,0满足:
un+1n»l
co
且limun=0,则级数工(-1)”%收敛.(重点)
5n-1
任意项级数:
COCD
绝对收敛,则SUn收敛.(重点)
n-1n-1
皿[收敛,|q|<1
常见典型级数(重点):
几何级数:
£aq”
z发散,q>1
收敛,P>1
[发散,P<1
(二)函数项级数
00
1.
定义:
函数项级数,>n(x),收敛域,收敛半径,和函数;
n=l
8
2,
泰级数:
标准形式如>:
/\侦疽0)(重点)
n-0
收敛半径的求法:
R=^
an+l
3.
非标准形式(重点):
转换为正项级数后用比值法或者柯西法(根值法),直接
求出收敛区间和收敛域
当R=O,级数仅仅在x=O收敛,当R=g,收敛区间(-叽+切),当收数区间(-RR.对有缺项的幕级数(指缺无限多项),则直接取其后项与前项之比的绝对值取极限.耳函⑴
nn(x)
然后根据确定收敛半径R及收敛区间(-RR)»
(2)讨论(-昭R)的端点x=-R及x=R处级数Vax的收敛性,并写出收敛域(收敛区间加收敛的
51|=0
端点)•
4,利用逐项积分和逐项求导求级数的和函数(重点)
5,函数展开为赛级数:
间接展开法(重点)
®1
1)宜=£新乂二XE(-S,+8);(重点)
n=0
①1
2)皿xgT"声顶X”xw(yg;(重点)
81
3)cosx=^(—1)由兩X%xe(-on,+M).(重点)
1®
=xe(TD;(重点)
丄一Xn=0
100
5)77^=Z(T)"x>xe(—L1)(重点)丄十xn=0
®f_nn
6)ln(l+x)=^—~7xn+^xe(—1,1](重点)
n=0IL十丄
7)
8)
i頌
—=£(-l)nx2\xe(-l.1)(重点)
丄十Xn=0
(1+x广=l+£m(m—l)…(m—n+l.,*瓦_】,】)
n-1
n!
第十一章微分方程
(1)理解微分方程,阶、解、通解,初始条件和特解等概念.
(2)掌握可分离变量方程(重点)
第一步:
分离变量,将方程变形为标准形式:
g(y)cly=f(x)dx第二步:
两端积分|g(y)dy=Jf(x)dx
(3)掌握一阶线性徹分方程(重点).
第一步:
将方程变形为标准一阶线性方程:
/+P(x)y=q(x)第二步:
利用公式通解
y=」试",[q(x)」机工气奴+C)
(4)会齐次方程通解的解法(重点).
(5)会伯努力方程通解的解法(重点)