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默认标题
默认标题-2011年6月5日
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一、解答题（共14小题）
1、已知：
如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．求证：
△ABD≌△CDB．
2、如图，点E在△ABC外部，点D在边BC上，DE交AC于F．若∠1=∠2=∠3，AC=AE，请说明△ABC≌△ADE的道理．
3、（2007•南充）如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE=CF．请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线？
请说明你判断的理由．
4、（2005•河南）如图，△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC于D，点E在上AD，且DE=CD，求证：
BE=AC．
5、（2002•呼和浩特）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．
求证：
（1）AE=CD；
（2）若AC=12cm，求BD的长．
6、如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E，F，那么，CE=DF吗？
7、已知：
如图，在△ABC中，∠C=90°，点E在AC上，且AE=BC，ED⊥AB于点D，过A点作AC的垂线，交ED的延长线于点F．
求证：
AB=EF．
8、把两个含有45°角的直角三角板如图放置，点D在BC上，连接BE，AD，AD的延长线交BE于点F．
说明：
AF⊥BE．
9、（2010•呼和浩特）已知：
如图，点A、E、F、C在同一条直线上，AD∥BC，AD=CB，AE=CF．求证：
BE=DF．
10、（2009•黄石）如图，C、F在BE上，∠A=∠D，AC∥DF，BF=EC．
求证：
AB=DE．
11、（2009•赤峰）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF是∠ABC的平分线，AF∥DC，连接AC，CF．求证：
CA是∠DCF的平分线．
12、（2009•北京）已知：
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，CE=BC，过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F．
求证：
AB=FC．
13、（2008•宜宾）已知：
如图，AD=BC，AC=BD．求证：
OD=OC．
14、（2008•苏州）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1=∠2，∠3=∠4．
求证：
（1）△ABC≌△ADC；
（2）BO=DO．
答案与评分标准
一、解答题（共14小题）
1、已知：
如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．求证：
△ABD≌△CDB．
考点：
全等三角形的判定。
专题：
证明题。
分析：
先用AB∥CD，AD∥BC得出∠ABD=∠CDB、∠ADB=∠CBD即可证明△ABD≌△CDB．
解答：
证明：
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ABD=∠CDB、∠ADB=∠CBD．
又BD=DB，
∴△ABD≌△CDB（ASA）．
点评：
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：
SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
2、如图，点E在△ABC外部，点D在边BC上，DE交AC于F．若∠1=∠2=∠3，AC=AE，请说明△ABC≌△ADE的道理．
考点：
全等三角形的判定。
专题：
证明题。
分析：
根据已知，利用有两组角对应相等的两个三角形相似得到△AEF∽△DCF，从而得到∠E=∠C，再由已知可得∠BAC=∠DAE，又因为AC=AE，所以根据AAS可判定△ABC≌△ADE．
解答：
解：
△ADF与△AEF中，
∵∠2=∠3，∠AFE=∠CFD，
∴∠E=∠C．
∵∠1=∠2，
∴∠BAC=∠DAE．
∵AC=AE，
∴△ABC≌△ADE．
点评：
此题考查学生对相似三角形的判定及全等三角形的判定的理解及运用．
三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
3、（2007•南充）如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE=CF．请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线？
请说明你判断的理由．
考点：
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质。
专题：
证明题。
分析：
我们可以通过证明两个直角三角形全等即Rt△BDE≌Rt△CDF来确定其为中线．
解答：
解：
AD是△ABC的中线．
理由如下：
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∵BE=CF，∠BDE=∠CDF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴BD=CD．
故AD是△ABC的中线．
点评：
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：
SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：
AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．做题时要根据实际情况灵活运用．
4、（2005•河南）如图，△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC于D，点E在上AD，且DE=CD，求证：
BE=AC．
考点：
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质。
专题：
证明题。
分析：
由∠ABC=45°，AD⊥BC可得到AD=BD，又知DE=CD，所以△BDE≌△ADC，从而得出BE=AC．
解答：
证明：
∵∠ABC=45°，AD⊥BC，
∴AD=BD，∠BDE=∠ADC=90°．
∵DE=CD，
∴△BDE≌△ADC．
∴BE=AC．
点评：
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：
SSS、SAS、SSA、HL．发现并利用BD=AD是正确解决本题的关键．
5、（2002•呼和浩特）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．
求证：
（1）AE=CD；
（2）若AC=12cm，求BD的长．
考点：
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质。
专题：
计算题；证明题。
分析：
（1）证两条线段相等，通常用全等，本题中的AE和CD分别在三角形AEC和三角形CDB中，在这两个三角形中，已经有一组边相等，一组角相等了，因此只需再找一组角即可利用角角边进行解答．
（2）由
（1）得BD=EC=
BC=
AC，且AC=12，即可求出BD的长．
解答：
证明：
（1）∵DB⊥BC，AF⊥DC，
∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°．
∴∠D=∠AEC．
又∵∠DBC=∠ECA=90°，
且BC=CA，
∴△DBC≌△ECA．
∴AE=CD．
（2）由
（1）得BD=EC=
BC=
AC，且AC=12．
∴BD=6．
点评：
三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
6、如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E，F，那么，CE=DF吗？
考点：
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质。
专题：
证明题。
分析：
相等，先利用HL来判定Rt△ABC≌Rt△BAD，得出AC=BD，∠CAB=∠DBA，再利用AAS判定△ACE≌△BDF，从而推出CE=DF．
解答：
解：
CE=DF．理由：
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴AC=BD，∠CAB=∠DBA．
在△ACE和△BDF中，
∴△ACE≌△BDF（AAS），
∴CE=DF．
点评：
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：
SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：
AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7、已知：
如图，在△ABC中，∠C=90°，点E在AC上，且AE=BC，ED⊥AB于点D，过A点作AC的垂线，交ED的延长线于点F．
求证：
AB=EF．
考点：
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质。
专题：
证明题。
分析：
求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，本题中证△AFE≌△CAB即可．
解答：
证明：
∵AD⊥EF，
∴∠ADE=∠ACB=90°；
∴∠DAE+∠DEA=∠DAE+∠B=90°，
即∠DEA=∠B；
∴∠FAE=∠C=90°，
又∵AE=BC，
∴△AFE≌△CAB（ASA）．
∴AB=EF．
点评：
此题考查简单的线段相等，可以通过全等三角形来证明，要注意利用此题中的图形条件，同角的余角相等．
8、把两个含有45°角的直角三角板如图放置，点D在BC上，连接BE，AD，AD的延长线交BE于点F．
说明：
AF⊥BE．
考点：
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质。
专题：
证明题。
分析：
可通过全等三角形将相等的角进行转换来得出结论．本题中我们可通过证明三角形BEC和ACD全等得出∠FBD=∠CAD，根据∠CAD+∠CDA=90°，而∠BDF=∠ADC，因此可得出∠BFD=90°，进而得出结论．那么证明三角形BED和ACD就是解题的关键，两直角三角形中，EC=CD，BC=AC，两直角边对应相等，因此两三角形就全等了．
解答：
证明：
AF⊥BE，理由如下：
∵△ECD和△BCA都是等腰Rt△，
∴EC=DC，BC=AC，∠ECD=∠ACB=90°．
在△BEC和△ADC中
EC=DC，∠ECB=∠DCA，BC=AC，
∴△BEC≌△ADC（SAS）．
∴∠EBC=∠DAC．
∵∠DAC+∠CDA=90°，∠FDB=∠CDA，
∴∠EBC+∠FDB=90°．
∴∠BFD=90°，即AF⊥BE．
点评：
本题考查了全等三角形的判定，通过全等三角形来将相等的角进行适当的转换是解题的关键．
9、（2010•呼和浩特）已知：
如图，点A、E、F、C在同一条直线上，AD∥BC，AD=CB，AE=CF．求证：
BE=DF．
考点：
全等三角形的判定与性质。
专题：
证明题。
分析：
在本题中有两组边相等，有一组平行，平行将会出现角相等，因此可通过边角边进行解答．
解答：
证明：
∵AD∥BC，
∴∠A=∠C．
∵AE=FC，
∴AF=CE．
在△ADF和△CBE中
，
∴△ADF≌△CBE．
∴BE=DF．
点评：
本题考查了全等三角形的判定及性质；解题关键是找准依据，从题中筛选条件，利用边角边公式进行解答．
10、（2009•黄石）如图，C、F在BE上，∠A=∠D，AC∥DF，BF=EC．
求证：
AB=DE．
考点：
全等三角形的判定与性质；平行线的性质。
专题：
证明题。
分析：
由AC∥DF可知求出∠ACB=∠DFE，因为∠A=∠D，BF=EC．根据三角形的判定定理可知△ABC≌△DEF，从而求出AB=DE．
解答：
证明：
∵AC∥DF，
∴∠ACE=∠DFB，
∴∠ACB=∠DFE．
又BF=EC，
∴BF﹣CF=EC﹣CF，即BC=EF．
又∠A=∠D，
∴△ABC≌△DEF．
∴AB=DE．
点评：
本题考查了平行线的性质及三角形全等的判定定理，比较简单．
11、（2009•赤峰）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF是∠ABC的平分线，AF∥DC，连接AC，CF．求证：
CA是∠DCF的平分线．
考点：
全等三角形的判定与性质。
专题：
证明题。
分析：
先证△ABF≌△CBF，得出AF=AC，利用等腰三角形的性质可知∠3=∠4，再利用平行线的性质可证出∠4=∠5，等量代换，可得：
∠3=∠5．那么AC就是∠DCF的平分线．
解答：
证明：
∵BF是∠ABC的平分线，
∴∠1=∠2，
又AB=BC，BF=BF，
∴△ABF≌△CBF，
∴FA=FC，
∴∠3=∠4，
又AF∥DC，
∴∠4=∠5，
∴∠3=∠5，
∴CF是∠DCF的平分线．
点评：
本题考查了角平分线的性质、判定，全等三角形的判定和性质；找着并利用△ABF≌△CBF是正确解答题目的关键．
12、（2009•北京）已知：
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，CE=BC，过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F．
求证：
AB=FC．
考点：
全等三角形的判定与性质。
专题：
证明题。
分析：
由已知说明∠FCE=∠B，∠FEC=∠ACB，再结合EC=BC证明△FEC≌△ACB，利用全等三角形的性质即可证明．
解答：
证明：
∵FE⊥AC于点E，∠ACB=90°，
∴∠FEC=∠ACB=90°．
∴∠F+∠ECF=90°．
又∵CD⊥AB于点D，
∴∠A+∠ECF=90°．
∴∠A=∠F．
在△ABC和△FCE中，
，
∴△ABC≌△FCE．
∴AB=FC．
点评：
此题考查简单的线段相等，可以通过全等三角形来证明，要注意利用此题中的图形条件，同角的余角相等．
13、（2008•宜宾）已知：
如图，AD=BC，AC=BD．求证：
OD=OC．
考点：
全等三角形的判定与性质。
专题：
证明题。
分析：
先利用SSS判定△ADB≌△ACB，从而得出对应角∠D=∠C，再利用AAS判定△ADO≌△BCO，从而得出对应边相等，即OC=OD．
解答：
证明：
连接AB
在△ADB与△ACB中
∴△ADB≌△ACB
∴∠D=∠C
∵∠DOA=∠COB，AD=CB
∴△ADO≌△BCO
∴OC=OD．
点评：
此题考查了全等三角形的判定及性质的运用．添加辅助线是解决本题的关键．
14、（2008•苏州）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1=∠2，∠3=∠4．
求证：
（1）△ABC≌△ADC；
（2）BO=DO．
考点：
全等三角形的判定与性质。
专题：
证明题。
分析：
用AAS判定△ABC≌△ADC，得出AB=AD，再利用SAS判定△ABO≌△ADO，从而得出BO=DO．
解答：
证明：
（1）在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC；
（2）∵△ABC≌△ADC，
∴AB=AD．
又∵∠1=∠2，AO=AO，
∴△ABO≌△ADO．
∴BO=DO．
点评：
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：
SSS、SAS、SSA、HL．
注意：
AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
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