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数学建模

2012安师院数学建模选拔赛

承诺书

我们仔细阅读了安师院数学建模选拔赛的竞赛规则。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）：

我们的参赛报名号为（务必填写准确）：

201201098

参赛队员（打印并签名）1.唐凤梅

2.何义峰

3.王雷

日期：

2012年4月3日

数学建模校内选拔赛

论文

论文题目：

足球生产计划问题研究报告

姓名：

何义峰学号：

070610091专业：

计算机科学与技术

姓名：

唐凤梅学号：

060110175专业：

数学与应用数学

姓名：

王雷学号：

060110133专业：

数学与应用数学

摘要

企业的生产计划有各种不同的情况，在工厂级要根据外部需求以最大利润为目标制定生产计划，在车间级则要根据产品的储存与生产成本为因素，以最小成本为目标制定生产批量计划。

本文讨论足球生产计划问题，在生产成本与存储成本之间需要找到一个平衡，而储存率正是把生产成本与储存成本连接起来，要使得总成本最优化，储存率就得找一个最优值，找一个符合公司本身的生产计划。

本模型则经此，通过线性规划为足球生产求解最优方案。

对问题一运用线性规划模型求解最优解，并通过编程验证。

对与问题二根据不同储存率得出不同的生产计划，通过分析生产计划中利润与成本得出储存率与生产计划的变化关系。

对问题三根据其关系得出储存率在一定范围的变化，存在某个储存率使储存容量在某点达到极限值。

关键字：

最优解线性规划穷举法极限值

一、问题重述

1.1问题描述

皮革公司在6个月的规划中根据市场调查预计足球需求量分别是10,000、15,000、30,000、35,000、25,000和10,000，在满足需求量的情况下使总成本最低，其包括生产成本及库存成本。

根据预测，今后六个月的足球的生产单位成本分别是$12.50、$12.55、$12.70、$12.80、$12.85和$12.95，而每一个足球在每个月中的持有成本是该月生产成本的5%。

目前公司的存货是5,000，每个月足球最大产量为30,000，而公司在扣掉需求后，月底的库存量最多只能储存5，000个足球。

1.2问题提出

（1）建立数学模型，并求出按时满足需求量的条件下，使生产总成本和储存成本最小化的生产计划。

（2）如若储存成本率降低，生产计划会怎样变化？

（3）储存成本率是多少时？

储存容量达到极限。

二、问题分析

基于问题求解满足需求的条件，分析生产总成本与储存成本最小化的生产计划和分析储存率变化时，生产计划的改变。

解决生产量，需求量，销售量，储存量以及生产总成本之间的关系，由未知量与已知量关系得到函数的极值。

解决此类的问题采用线性优化。

通过建立线性方程组和确定约束条件，通过计算机编程得出结论。

问题

（1）在按时满足需求量的条件下，每个月的产量不能超过最大产量，并且存储量不能超过库存量的最大容量建立优化方程，使生产总成本和储存成本之和最小。

分析步骤：

计算总生产成本=单位生产成本×生产总量

计算总储存成本=持有成本×库存量

计算总成本费用=生产总成本+总储存成本

问题

（2）求解储存成本率降低时，生产计划会的变化关系。

根据储存率的变化得出不同储存率情况下每个月的生产量，在代入线性方程通过约束条件得出生产计划，从而求解出储存成本率降低，生产计划会的变化。

问题（3）求解储存成本率使得储存容量达到极限，即求出储存容量峰值对应的变化率，问题（3）在问题

（2）的基础上，通过分析生产计划与储存成本率变化关系，通过穷举法采用函数极值的思想，观察表格与图像近似求出储存率的极限值。

三、基本假设

1.假设公司有一整个月的时间来生产，而需求则在月底发生

2．假设足球的销售金额和这次的生产决策无关

3.假设这个成本包含了库存的成本和将货物搁置在仓库的成本

4.假设最后一个月库存为零

5.假设六个月内不受其他风险因素影响

四、符号约束

月生产量Productpi

月需求量Demanddi

月库存量Capacityci

月销售量Salesi

单位生产成本ei

单位持有成本fi

储存率r

月成本hi

总生产成本G

总储存成本H

总生产费用Z

（i=1,2,3,4,5,6）

五、建立模型

月生产成本表（表5.1）

月份

一月

二月

三月

四月

五月

六月

单位生产成本ei

12.50

12.55

12.70

12.80

12.85

12.95

月需求量表（表5.2）

月份

一月

二月

三月

四月

五月

六月

月需求量di

10000

15000

30000

35000

25000

10000

5.1问题一模型

单位持有成本：

生产总成本：

月储存成本：

总储存成本：

总费用：

Z=G+H

约束条件：

5.2问题二模型

单位持有成本：

生产总成本：

月储存成本：

总储存成本：

总费用：

Z=G+H

约束条件：

5.3问题三模型

问题三是在问题二模型的基础上分析，并运用逼近的思想采用穷举法得出的结论。

六、模型求解

6.1问题一求解

根据

（1）的模型与表中数量关系建立数学关系式：

计算总储存成本

H=（5000+p1）*0.05*12.5

+（5000+p1-10000+p2）*0.05*12.55

+（p3+p2+5000+p1-10000-15000）*0.05*12.7

+（p4+p3+p2+5000+p1-10000-15000-30000）*0.05*12.80

+（p5+p4+p3+p2+5000+p1-10000-15000-30000-35000）*0.05*12.85

+（p6+p5+p4+p3+p2+p1+5000-10000-15000-30000-35000-25000）*0.05*12.95

通过matlab软件合并同类项得：

H=1527/400*p1+1277/400*p2+513/200*p3+193/100*p4+129/100*p5+259/400*p6-170550

计算生产成本

G=12.5*p1+12.55*p2+12.70*p3+12.80*p4+12.85*p5+12.95*p6

总费用Z=G+H

Z=6527/400*p1+6297/400*p2+3053/200*p3+1473/100*p4+707/50*p5+5439/400*p6-170550

由lingo软件编程（见附录2）得出满足需求量的条件下，使生产总成本和储存最优解为（表6.1）：

月份

一月

二月

三月

四月

五月

六月

月产量

5000

20000

30000

25000

10000

六个月最低总成本为1615212元。

6.2问题二模型求解

求解储存成本率降低时，生产计划会的变化关系。

根据储存率的变化得出不同储存率情况下生产计划总费用记录表格。

（表6.2）

储存率

4.5%

3.5%

总费用

1615212

1606616

1598020

1589424

1580828

（续上表）

储存率

2.5%

1.5%

0.5%

总费用

1572231

1563635

1555039

1546442

1537668

通过（附录1）程序计算出不同储存率下每月生产量记录表格。

（表6.3）

月产量

储存率

5000

20000

30000

25000

10000

4.5%

5000

20000

30000

25000

10000

5000

20000

30000

25000

10000

3.5%

5000

20000

30000

25000

10000

5000

20000

30000

25000

10000

2.5%

5000

20000

30000

25000

10000

5000

20000

30000

25000

10000

1.5%

5000

20000

30000

25000

10000

5000

20000

30000

25000

10000

0.5%

5000

20000

30000

5000

10000

15000

30000

5000

由（表6.3）可知，当储存率下降至1%到0%之间，生产计划会发生改变，进一步划分区间，研究储存率与生产计划之间的关系。

（表6.4）

储存率

0.9%

0.8%

0.7%

0.6%

总费用

1546442

1544723

1543004

1541234

1539451

（续上表）

储存率

0.5%

0.4%

0.3%

0.2%

0.1%

总费用

1537668

1535884

1534038

1532192

1530346

通过（附录1）程序计算出储存率在1%-0%之间每月生产量记录表格。

（表6.5）

月产量

储存率

5000

20000

30000

25000

10000

0.9%

5000

20000

30000

25000

10000

0.8%

5000

20000

30000

25000

10000

0.7%

5000

20000

30000

5000

0.6%

5000

20000

30000

5000

0.5%

5000

20000

30000

5000

0.4%

5000

20000

30000

5000

0.3%

10000

15000

30000

5000

0.2%

10000

15000

30000

5000

0.1%

10000

15000

30000

5000

20000

30000

25000

10000

通过上述表格绘制关于储存率与总费用关系图像和储存率与生产计划图像

储存率与总费用关系图像（图6.1）

储存率与生产计划图像（图6.2）

由储存率与总费用关系图像直观的得出当储存率从5%下降至1.5%总费用减少，之后趋于稳定。

由储存率与生产计划图像可知，当储存率在2.5%到0.1%之间时生产计划发生改变。

储存率与生产计划折线散点图（图6.3）

储存率与一月、二月生产量折线散点图（图6.4）

储存率与五月、六月生产量折线散点图（图6.5）

通过以上图表可知一月和二月生产计划之和为25000个，三月、四月生产量不变为30000个，五月、六月之和为35000个。

6.3问题三模型求解

问题三分析题意可知，当储存容量达到极限时，生产计划如下：

P1=10000P2=15000

P3=30000P4=30000

P5=30000P6=5000

根据模型二图（6.3）、表（6.5）可知满足条件的r的范围在[0,0.3%）

进一步分割r的精度（表6.6）

月产量

储存率

0.30%

5000

20000

30000

5000

0.29%

10000

15000

30000

5000

0.28%

10000

15000

30000

5000

0.27%

10000

15000

30000

5000

0.26%

10000

15000

30000

5000

0.25%

10000

15000

30000

5000

0.24%

10000

15000

30000

5000

0.23%

10000

15000

30000

5000

0.22%

10000

15000

30000

5000

0.21%

10000

15000

30000

5000

0.20%

10000

15000

30000

5000

储存率r的区间范围为[0,0.29%]

七、结果分析

（1）.对模型一求最优解采用线性规划模型（LP），用matlab软件合并同类项后用lingo软件对模型进行求解，求出结果符合要求。

（2）对模型二当储存率r下降时，生产计划的变化。

在已知条件下，利用穷举法改变r得到一系列生产计划，通过表格和图形将生产计划的变化展现出来，但由于穷举法的有限性不宜一一列举，故采取有限个值来观察生产计划的改变，其生产计划的改变由一定规律。

（3）对模型三的求解结果是根据已知条件：

在满足最大储存量的前提下，确定生产计划。

从而根据模型二的表格确定储存率r的变化范围，进一步细化r的精度,最终求解的r是一个范围值，并不是一个确定精确值，其结果有不足之处。

由于模型将一些问题过于理想化，也忽略了一些次要因素的影响。

因此，模型各量的取值将直接影响模型结果的稳定性和精确性。

变量的选取，取值的不稳定性，都影响着最终结果的判定。

用不同的数值方法会得不同的结果。

八、评价与改进

8.1模型的评价

优点：

（1）当决策变量为两个时,用图解法求解,简单而有效;当决策变量为三个以上时,用单纯形法求解,直观而有效.从而为分品种产量计划的优化,提供了一条有效的途径。

（2）运用线性规划模型优化产品产量,可以为我们提供在现有的生产条件下,如何挖掘生产潜力,增加利润的有效途径,如何在资金匾乏、融资渠道不畅的情况下,通过优化资源配置,实现扩大再生产,提供了理论的依据。

（3）穷举法模型有效的解决了储存率的改变与生产计划的关系。

（4）模型建立可行性强，方便理解,程序编写和调试方便。

（5）忽略了一些市场因素的影响，假定各个量在六个月内稳定不变，这就省去了修正各个量的步骤，使模型简单易求。

缺点：

（1）规划模型的缺点主要是在决策变量多时,无论是运用图解法,还是运用单纯形法,都比较麻烦,并且也不易求得最优解。

（2）穷举法操作复杂，且不能代表样本整体的关系。

因此需要我们充分运用现代科学技术手段,例如采用计算机来完成产量的优化和资源的优化配置工作.这一事实充分说明了,任何方法都有其适应条件和它的局限性,为了更精确地解决向题,要把各种优化方法综合运用。

8.2模型的改进

模型一决策变量过多，由问题二的表格和图像，开始可以通过线性约束条件精简变量，使得问题更加简洁明了。

运用分割逼近的思想省去了穷举法过多的运算，但依然有其弊端。

九、模型推广

线性规划模型可以提高企业的经济效益，企业各个领域中的大量问题都可以归结为线性规划问题。

近几十年来，线性规划在各个行业中都得到了广泛的应用。

根据美国《财富》杂志对全美前500家大公司的调查表明，线性规划的应用程度名列前茅，有85%的公司频繁地使用线性规划，并取得了提高经济效益的显著效果。

所谓线性规划，是求线性函数在线性（不等式或等式）约束下达最（小或大）值的问题。

线性规划广泛应用于工农业、军事、交通运输、决策管理与规划、科学实验等领域。

线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用,一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务。

常见的问题在：

物资调运问题、产品安排问题、下料问题。

穷举法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫完全归纳法.它广泛应用于数学理论的证明。

参考文献【】

【1】《数学模型》姜启源谢金星叶俊编高等教育出版社

【2】《精通MATLAB7》王正林，刘明..电子工业出版社,2002

【3】《lingo9.0》帮助手册

【4】《运筹学》教材编写组编/2005年06月/清华大学出版社

【5】谢金星，薛毅编著/2005年07月/《优化建模与LINGO》清华大学出版社【6】线性规划的数学模型及实际应用宿州教育学报2005年6月第8卷·第2期

【7】线性规划模型在生产管理中运用之浅见2001/04总第228期商业研究

附录1

Matlab程序

H=（5000+p1）*0.05*12.5

+（5000+p1-10000+p2）*0.05*12.55

+（p3+p2+5000+p1-10000-15000）*0.05*12.7

+（p4+p3+p2+5000+p1-10000-15000-30000）*0.05*12.80

+（p5+p4+p3+p2+5000+p1-10000-15000-30000-35000）*0.05*12.85

+（p6+p5+p4+p3+p2+p1+5000-10000-15000-30000-35000-25000）*0.05*12.95

H=1527/400*p1+1277/400*p2+513/200*p3+193/100*p4+129/100*p5+259/400*p6-170550

G=12.5*p1+12.55*p2+12.70*p3+12.80*p4+12.85*p5+12.95*p6

forr=0.05:

-0.001:

Z=G+H

End

s=-170550+6527/400*a1+6297/400*a2+3053/200*a3+1473/100*a4+707/50*a5+5439/400*a6

s=-167139+324823/20000*a1+313573/20000*a2+152137/10000*a3+73457/5000*a4+70571/5000*a5+271691/20000*a6

s=-163728+10103/625*a1+39037/2500*a2+18953/1250*a3+9158/625*a4+35221/2500*a5+33929/2500*a6

s=-160317+321769/20000*a1+311019/20000*a2+151111/10000*a3+73071/5000*a4+70313/5000*a5+271173/20000*a6

s=-156906+160121/10000*a1+154871/10000*a2+75299/5000*a3+36439/2500*a4+8773/625*a5+135457/10000*a6

s=-153495+63743/4000*a1+61693/4000*a2+30017/2000*a3+14537/1000*a4+14011/1000*a5+54131/4000*a6

s=-150084+79297/5000*a1+76797/5000*a2+37393/2500*a3+18123/1250*a4+34963/2500*a5+67599/5000*a6

s=-146673+315661/20000*a1+305911/20000*a2+149059/10000*a3+72299/5000*a4+69797/5000*a5+270137/20000*a6

s=-143262+157067/10000*a1+152317/10000*a2+74273/5000*a3+36053/2500*a4+17417/1250*a5+134939/10000*a6

s=-139851+312607/20000*a1+303357/20000*a2+148033/10000*a3+71913/5000*a4+69539/5000*a5+269619/20000*a6

s=-136440+7777/500*a1+1888/125*a2+1844/125*a3+1793/125*a4+6941/500*a5+3367/250*a6

s=-133029+309553/20000*a1+300803/20000*a2+147007/10000*a3+71527/5000*a4+69281/5000*a5+269101/20000*a6

s=-129618+154013/10000*a1+149763/10000*a2+73247/5000*a3+35667/2500*a4+8644/625*a5+134421/10000*a6

s=-126207+306499/20000*a1+298249/20000*a2+145981/10000*a3+71141/5000*a4+69023/5000*a5+268583/20000*a6

s=-122796+76243/5000*a1+74243/5000*a2+36367/2500*a3+17737/1250*a4+34447/2500*a5+67081/5000*a6

s=-119385+60689/4000*a1+59139/4000*a2+28991/2000*a3+14151/1000*a4+13753/1000*a5+53613/4000*a6

s=-115974+150959/10000*a1+147209/10000*a2+72221/5000*a3+35281/2500*a4+17159/1250*a5+133903/10000*a6

s=-112563+300391/20000*a1+293141/20000*a2+143929/10000*a3+70369/5000*a4+68507/5000*a5+267547/20000*a6

s=-109152+18679

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